羅文軍

（秦安縣第二中學，甘肅 天水 741600）

一、整體評價

2022 年使用教育部考試院命制的新高考Ⅱ卷的省市有海南、遼寧和重慶。2022 年新高考Ⅱ卷以《普通高中數(shù)學課程標準》（2017 年版2020 年修訂本）和《中國高考評價體系》為依據，著重考查了考生對高中數(shù)學必備知識、基本方法和基本技能的掌握情況，突出考查考生的獨立思考能力、閱讀理解能力、運算求解能力、邏輯思維能力、空間想象能力、數(shù)學建模能力、創(chuàng)新能力、分析問題和解決問題的能力。試題涉及的高中數(shù)學必備知識面廣，保持了2021 年新高考Ⅱ卷突出對函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計和數(shù)列等高中數(shù)學主干知識重點考查的特色，彰顯基礎性、綜合性、創(chuàng)新性和選拔性，整套試卷落實了《中國高考評價體系》中的“一核、四層、四翼”的考查要求，落實了立德樹人的根本任務，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對中學素質教育的實施具有積極的導向作用，對中學數(shù)學開展教育教學改革具有很好的促進作用。

二、數(shù)學卷試題布局及特征分析

從附表可以看出，2022 年新高考Ⅱ卷共有8 道單項選擇題、4 道多項選擇題、4 道填空題和6 道解答題。選擇題第1、2、4、5、6、9、11 題，填空題第13 題，解答題第18 題、第19 題源于課本或者歷年高考真題，注重基礎，注重對基本方法的考查。第3 題、7 題、8 題、9 題、10 題、12題、15 題、16 題、17 題、18 題、20 題、21 題、22題都考到了函數(shù)與方程思想。第3 題、7 題、10題、11 題、15 題、16 題、20 題和21 題都考查了數(shù)形結合思想。第6 題、7 題、8 題、9 題、12 題、15 題、17 題、18 題、21 題和22 題都考查了化歸與轉化思想。第14 題、17 題、21 題和22 題都考查了分類討論思想。解答題的考查內容和順序有所調整，2021 年新高考Ⅱ卷解答題的順序為第17 題數(shù)列、18 題解三角形、19 題立體幾何、20 題解析幾何、21 題概率與統(tǒng)計、22 題函數(shù)與導數(shù)，2022 年新高考Ⅱ卷解答題的順序為第17題數(shù)列、18 題解三角形、19 題概率與統(tǒng)計、20題立體幾何、21 題解析幾何、22 題函數(shù)與導數(shù)，調整了立體幾何、解析幾何和概率與統(tǒng)計試題的順序。

附表：2022年全國新高考Ⅱ卷數(shù)學卷試題布局一覽表

三、部分試題賞析

例1（3 題）圖1 是中國古代建筑中的舉架結構AA′、BB′、CC′、DD′，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2 是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1、CC1、BB1、AA1是舉，OD1、DC1、CB1、BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為已知k1、k2、k3成公差為0.1 的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3=（ ）

圖1

圖2

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

解：由題設OD1=DC1=CB1=BA1=d，由題設CC1=k1DC1=k1d=（k3-0.2）d，BB1=k2CB1=（k3-0.1）d，AA1=k3BA1=k3d，又因為，

解得k3=0.9，故選答案D.

【賞析】本題以中國古代建筑中的舉架結構為背景，以探索創(chuàng)新情境為載體，考查了等差數(shù)列的定義、直線斜率的定義和解直角三角形，考生在讀懂題目的基礎上，抓住題目中的關鍵信息，設這些相等的步的數(shù)值為d，再根據舉步之比把舉用步表示，運用等差數(shù)列的定義把k1和k2都用k3表示，再根據直線的斜率定義表示出直線OA的斜率，最后通過運算可以求出k3的值。本題以中國建筑藝術文化為情境，以舉架結構為載體，設計新穎，面向全體考生，重基礎、重創(chuàng)新、重生產和生活實際，考查了考生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。試題的設計讓考生感受到我國古代建筑文化的博大精深，體會到中國古建筑的對稱美與和諧美以及其中蘊含的“注重現(xiàn)實和天人合一”的哲學思想。本題還可以引導考生通過了解中國古代建筑文化，體會數(shù)學知識方法在認識改造現(xiàn)實世界中的重要作用，體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學文化的學科素養(yǎng)和數(shù)學的人文價值，落實了應用性和創(chuàng)新性的考查要求，落實了數(shù)學文化內涵的整體育人功能，落實了立德樹人的根本任務。

例2（7 題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）

A.100π B.128π C.144π D.192π

圖3

設球的半徑為R，則軸截面中由幾何知識可得解得R=5，所以該球的表面積為4πR2=4π×25=100π.

故選：A.

【賞析】試題以正三棱臺的外接球為背景，以課程學習情境為載體，棱臺的外接球問題在近五年的全國各省市高考題中均沒出現(xiàn)過，因此說本題背景具有一定的新穎性，需要考生將學過的處理棱錐的外接球的方法遷移過來，即將空間問題轉化為平面幾何問題，最后將幾何量集中在一個梯形中。本題考查了正弦定理、正三棱臺的幾何性質、球的幾何性質以及球的表面積公式，體現(xiàn)了高考試題注重在知識交匯處命題的特點，難度比較大。本題以課程學習情境為載體，對考生分析問題和解決問題的能力有比較高的要求，具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

例3（8 題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則

【賞析】本題是一道抽象函數(shù)問題，以探索創(chuàng)新情境為載體，要求考生在讀懂題目的基礎上，通過推理論證得出函數(shù)f（x）的周期，計算出該抽象函數(shù)的部分函數(shù)值，從而得出解答.本題考查了考生的邏輯思維能力與運算求解能力，具有很好的區(qū)分度。

例4（10 題）已知O為坐標原點，過拋物線C：y2=2px（p＞0）焦點F的直線與C交于A、B兩點，其中A在第一象限，點M（p，0）.若，則（ ）

A.直線AB的斜率為

D.∠OAM+∠OBM＜180°

解法1：如圖4，

圖4

【賞析】試題考查了拋物線的焦點弦和焦半徑的性質，以課程學習情境為載體，考查了考生對直線與拋物線的通性通法的掌握情況；考查了數(shù)形結合思想及化歸與轉化思想；考查了運算求解能力、邏輯思維能力；考查了考生分析問題和解決問題的能力。拋物線的焦點弦問題在課本中有相關例子，本題立足于對基礎知識和基本方法的考查，注重對關鍵能力的考查，突出對數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，試題解法多樣，有利于不同學習程度的考生作答，試題具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

【賞析】試題考查利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的切線方程，以課程學習情境為載體，考查了分類討論思想、函數(shù)的對稱性、運算求解能力、邏輯推理和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。試題設計了兩空，加大了試題的區(qū)分度，題目側重于對函數(shù)與導數(shù)知識的理解和應用，對中學數(shù)學函數(shù)與導數(shù)的教學具有積極的引導作用。

例6（17 題）已知｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是公比為2 的等比數(shù)列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）證明：a1=b1；

解：（1）證明：設等差數(shù)列｛an｝的公差為d，

【評析】本題以課程學習情境為載體，考查了等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、集合以及指數(shù)函數(shù)的單調性?？疾榭忌鷮?shù)列、集合與函數(shù)等高中數(shù)學必備知識的掌握程度和靈活應用能力。本題體現(xiàn)了高考試題注重在知識交匯處命題的特點，考查了運算求解能力和邏輯思維能力，對高中數(shù)學數(shù)列部分的教學有積極的導向作用。

例7（19 題）在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100 位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據的頻率分布直方圖：

（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20，70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40，50）的人口占該地區(qū)總人口的16%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001.）.

解：（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：=5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+45 ×0.023 ×10+55 ×0.020×10+65×0.017×10+75 ×0.006 ×10+85 ×0.002×10=47.9歲.

（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70）的頻率為：（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10=0.89，

∴估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間【20，70），的概率為0.89.

（3）設從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間【40，50）為事件B，此人患這種疾病為事件C，則0.0014.

【賞析】試題以某地區(qū)進行流行病學調查為背景，體現(xiàn)了命題以社會生活實踐情境為載體。第（1）問和第（2）問旨在考查考生對頻率分布直方圖的理解和掌握情況以及用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征、用頻率估計概率的方法。第（3）問考查了條件概型的應用，著力考查了考生的閱讀理解能力、分析和處理數(shù)據的能力、運算求解能力；考查了數(shù)學運算、數(shù)據分析和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)；考查了考生的數(shù)學應用意識。本題可以使考生體會到概率與統(tǒng)計知識在社會生活實踐中的應用價值，對概率與統(tǒng)計學的教學改革具有促進作用。

（1）求C的方程；

（2）過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A、B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y＞0.過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

y，其中k為直線PQ的斜率；

若選擇①②：設直線AB的方程為y=k（x-2），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

若選擇①③：

當直線AB的斜率不存在時，點M即為點F（2，0），此時不在直線上，矛盾，當直線AB的斜率存在時，設AB直線的方程為y=m（x-2）（m≠0），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

因此PQ∥AB.

若選擇②③：設直線AB的方程為y=k（x-2），并設A的坐標為（x3，y3），B的坐標為（x4，y4），

即點M恰為AB中點，故點M在直線AB上.

【賞析】本題是一道結構不良試題，以探索創(chuàng)新情境為載體。這道題的模式是給出三個條件，讓考生選擇把其中兩個作為條件，另一個作為結論，并進行證明。本題考查了雙曲線的幾何性質、直線與雙曲線的位置關系；考查了設而不求思想、方程思想以及化歸與轉化思想；考查了運算求解能力和邏輯思維能力，具有很好的選拔功能，落實了服務選才的功能。