代重陽(yáng)，陳智軍，王春濤，徐 君，鐘雪燕

(1.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，南京 211106；2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 結(jié)冰與防除冰重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，綿陽(yáng) 621000；3.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南京 210031)

飛機(jī)結(jié)冰會(huì)對(duì)飛機(jī)的氣動(dòng)特性、操穩(wěn)特性和起降特性產(chǎn)生嚴(yán)重影響[1]，因此結(jié)冰探測(cè)對(duì)于保障飛機(jī)安全飛行極為重要[2]。超聲導(dǎo)波憑借其可異面檢測(cè)、探測(cè)距離遠(yuǎn)和裝置體積小等優(yōu)勢(shì)，成為飛機(jī)結(jié)冰無(wú)損檢測(cè)技術(shù)中的佼佼者。目前采用超聲導(dǎo)波進(jìn)行結(jié)冰探測(cè)的研究主要針對(duì)的仍然是鋁板結(jié)構(gòu)[3-5]，而“一代材料，一代飛機(jī)”，飛機(jī)機(jī)體材料已經(jīng)從以鋁合金為主跨入了以復(fù)合材料為主的新階段[6]，飛機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)合材料化是世界航空裝備發(fā)展的趨勢(shì)[7]。碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)具有比強(qiáng)度與比模量高、抗疲勞與耐腐蝕性能好和可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[8]。飛機(jī)機(jī)體表面?zhèn)鞑サ某晫?dǎo)波屬于板波，根據(jù)偏振方向的不同可分為蘭姆波和水平剪切波。水平剪切(SH)波不存在沿板厚方向的位移，所以在飛機(jī)結(jié)冰探測(cè)中采用SH波可以消除水和防冰液等液體造成的干擾[9]。

超聲導(dǎo)波在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)具有多模態(tài)和頻散的特點(diǎn)，文章利用數(shù)值計(jì)算技術(shù)，著重研究了SH波在覆冰CFRP板中的傳播特性，為在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的飛機(jī)結(jié)冰探測(cè)提供理論依據(jù)。采用計(jì)算速度更快的轉(zhuǎn)移矩陣法建立了波導(dǎo)結(jié)構(gòu)模型，繪制了相速度與群速度頻散曲線，分析了結(jié)冰對(duì)CFRP板中SH波傳播特性的影響。

1 材料剛度矩陣獲取

CFRP板是一種典型的各向異性材料，其對(duì)載荷的響應(yīng)與各向同性的鋁板不同，導(dǎo)波傳播特性也更為復(fù)雜[10]。單層CFRP板由基體中加入單向碳纖維組成(見(jiàn)圖1，圖中坐標(biāo)軸x1為超聲導(dǎo)波的傳播方向，x2為水平剪切方向，x3為板厚方向，xf為碳纖維方向)。由于單向碳纖維填充排列的隨機(jī)性，單層CFRP板可視作正交各向異性材料，即垂直于xf的任何方向上的材料性質(zhì)幾乎相同。

圖1 單層CFRP板結(jié)構(gòu)示意

描述單層CFRP板的性能時(shí)，常采用的工程常數(shù)有拉伸彈性模量E1、E2、E3，剪切彈性模量G12、G23、G31，縱向泊松比υ12、υ21、υ13、υ31，橫向泊松比υ23、υ32，其中，E1、E2、G12、υ12和υ23是可由試驗(yàn)測(cè)得的5個(gè)獨(dú)立量，在此基礎(chǔ)上可以分別計(jì)算出υ21和G23，又由于正交各向異性材料具有對(duì)稱(chēng)性，可得E3=E2、G31=G12、υ13=υ12、υ32=υ23、υ31=υ21。

采用Einstein求和約定的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系

εij=Sijklσkl

(1)

式中：εij與σkl分別為應(yīng)變與應(yīng)力矩陣：Sijkl為柔度矩陣，下標(biāo)變量i、j、k、l的取值范圍均為1，2，3。

結(jié)合工程常數(shù)可以得到

(2)

式中：ε1，ε2，ε3為正應(yīng)變；ε4，ε5，ε6為剪應(yīng)變；σ1，σ2，σ3為正應(yīng)力；σ4，σ5，σ6為剪應(yīng)力。

由剛度矩陣與柔度矩陣的關(guān)系，可知單層CFRP板的材料剛度矩陣C為

C=S-1=

(3)

式(3)所示的形式僅為碳纖維方向xf與坐標(biāo)系x1方向重合時(shí)的情況。但在實(shí)際應(yīng)用中，總是將多個(gè)單層CFRP板通過(guò)有規(guī)律的鋪層形成層合板結(jié)構(gòu)[11]，此時(shí)材料剛度矩陣將不滿足式(3)所示0°鋪層情況下的形式。在應(yīng)力和應(yīng)變分析中加入偏軸角度θ，可以推導(dǎo)出由0°鋪層到θ鋪層的材料剛度矩陣變換方法，即

Copqr=βmiβnjβokβplCijkl(o,p,q,r,i,j,k,l=1,2,3)

(4)

式中：Copqr為θ鋪層的材料剛度矩陣；Cijkl為0°鋪層的材料剛度矩陣；β為轉(zhuǎn)換矩陣。

(5)

CFRP板引入的材料各向異性問(wèn)題大大增加了波導(dǎo)建模的復(fù)雜度，文章將材料的各向異性體現(xiàn)在剛度矩陣中，并提出了由CFRP板的獨(dú)立工程常數(shù)獲取材料剛度矩陣(任意角度鋪層)的方法。

2 層狀波導(dǎo)模型建立

從整體分析的角度出發(fā)，飛機(jī)機(jī)體表面結(jié)冰后形成了“復(fù)合材料板+冰層”的雙層結(jié)構(gòu)波導(dǎo)。由第1部分可知，若對(duì)復(fù)合材料板進(jìn)行逐層分析，則建立起的波導(dǎo)模型更加準(zhǔn)確。因此，文章建立的波導(dǎo)模型基于層狀結(jié)構(gòu)，組成部分中既存在正交各向異性的單層CFRP板，又包含各向同性的冰層。目前，針對(duì)層狀結(jié)構(gòu)的建模方法主要有有限元分析法、全局矩陣法和轉(zhuǎn)移矩陣法等，其中有限元分析法在傳播距離較長(zhǎng)時(shí)網(wǎng)格劃分的數(shù)量和全局矩陣法在層數(shù)較多時(shí)特征方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)都極為龐大，所以文章提出采用轉(zhuǎn)移矩陣法建立層狀波導(dǎo)模型。鑒于0°和90°鋪層方式的廣泛應(yīng)用，著重研究了SH波在該波導(dǎo)中的建模方法。

根據(jù)平面簡(jiǎn)諧波的假設(shè)有

ui=Aieik(x1+αx3-cpt)

(6)

式中：ui為位移矢量的分量；Ai為振幅；k為波數(shù)；x1和x3為對(duì)應(yīng)方向上的位置；α為x3方向上的衰減系數(shù)；cp為相速度；t為時(shí)間。

由牛頓第二定律和應(yīng)力-應(yīng)變、應(yīng)變-位移的關(guān)系可推導(dǎo)出每一層結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)方程

(7)

式中：ρ為該層材料的密度。

將位移分量代入波動(dòng)方程，可得到Christoffel方程

KA=0

(8)

式中：矩陣A為[A1A2A3]T；矩陣K為3×3的系數(shù)矩陣。

各分量的具體表達(dá)式為

(9)

結(jié)合第1部分可知，冰層與0°/90°鋪層CFRP板材料剛度矩陣中的非零項(xiàng)都分布在相同的位置處，所以式(9)中的K12、K21、K23和K32都為0。因此，可以將式(8)分解為

(10)

(11)

式(10)和(11)表明，在由特殊角度(0°和90°)鋪層的CFRP板與各向同性的冰層所組成的波導(dǎo)介質(zhì)中，偏振方向在x1-x3平面內(nèi)的蘭姆波和偏振方向在x2方向上的SH波是解耦的，這種解耦現(xiàn)象為單獨(dú)研究SH波的傳播特性創(chuàng)造了條件。同時(shí)也揭示了蘭姆波和SH波的解耦不僅會(huì)發(fā)生在各向同性的介質(zhì)中，也會(huì)發(fā)生在一些特殊的各向異性材料中。

由式(11)可知，當(dāng)振幅A2具有非零解時(shí)，K22的值為零。K22是關(guān)于α的二次多項(xiàng)式，依據(jù)部分波理論，每一層結(jié)構(gòu)可得到兩個(gè)SH型部分波的解。在確定了α的值后，可將每一層結(jié)構(gòu)中x2方向上的位移分量大小u2描述為兩個(gè)部分波的線性組合

exp(ik(x1-cpt))

(12)

式中：αm為K22等于零的條件下得到的x3方向的衰減系數(shù)；A2m為對(duì)應(yīng)的振幅；Bm為兩個(gè)部分波對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)。

式(12)中的加權(quán)系數(shù)Bm需要結(jié)合邊界條件進(jìn)行確定，邊界條件涉及位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)，將每一層結(jié)構(gòu)中x3-x2平面內(nèi)的應(yīng)力分量σ4表示成部分波的解

(ik)exp(ik(x1-cpt))

(13)

在建立層狀結(jié)構(gòu)波導(dǎo)模型時(shí)，需要對(duì)聲場(chǎng)分量進(jìn)行構(gòu)造，以便于后續(xù)矩陣計(jì)算時(shí)的消元。在忽略公共簡(jiǎn)諧項(xiàng)exp[ik(x1-cpt)]的前提下，用Γ矩陣來(lái)表述聲場(chǎng)矢量，由式(12)和式(13)可以得到

(14)

將Γ矩陣進(jìn)一步分解為三部分

Γ=XWB

(15)

式中：X為2×2的矩陣，是波數(shù)k和相速度cp的函數(shù)；W也為2×2的矩陣，是波數(shù)k、相速度cp和x3方向上位置的函數(shù)；B為2×1的矩陣，是加權(quán)系數(shù)Bm的函數(shù)。

通過(guò)轉(zhuǎn)移矩陣法建立N層CFRP板+冰層結(jié)構(gòu)波導(dǎo)模型的方法如圖2所示[n為多層板中的任意一層，N為多層板中的最后一層；上標(biāo)“+”表示上表面，“-”表示下表面；上標(biāo)“(ice)”表示冰層]。

圖2 轉(zhuǎn)移矩陣法建立N層CFRP板+冰層結(jié)構(gòu)波導(dǎo)模型示意

在該N+1層結(jié)構(gòu)中建立N+1個(gè)局域坐標(biāo)系，則每層結(jié)構(gòu)底部的x3值為0，這將使得W矩陣成為單位矩陣，從而可簡(jiǎn)化聲場(chǎng)分量為

Γ(n)-=X(n)B(n)

(16)

同時(shí)，在每層結(jié)構(gòu)的頂部，聲場(chǎng)分量又可以表述為

Γ(n)+=X(n)(W(n)|h(n))B(n)

(17)

式中：h(n)為每層結(jié)構(gòu)的厚度。

由式(16)和式(17)可知，每一層上表面的聲場(chǎng)可由下表面的聲場(chǎng)表示，即

Γ(n)+=Ψ(n)Γ(n)-

(18)

式中：Ψ(n)矩陣為第n層的轉(zhuǎn)移矩陣。

由于相鄰兩層結(jié)構(gòu)的連接處，界面位移和應(yīng)力滿足連續(xù)性條件，故可以得到

Γ(n)+=Γ(n+1)-

(19)

將式(19)代入式(18)可進(jìn)一步得到

Γ(n+1)-=Ψ(n)Γ(n)-

(20)

將式(20)所示的關(guān)系應(yīng)用于N+1層結(jié)構(gòu)內(nèi)部的N個(gè)連接處，有

Γ(ice)+=Ψ(ice)Γ(n)+=Ψ(ice)Ψ(n)…Ψ(1)Γ(1)-=

(21)

式(21)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)移矩陣法的優(yōu)勢(shì)：總轉(zhuǎn)移矩陣Ψ的階數(shù)與層數(shù)無(wú)關(guān)，始終為2×2。

在此基礎(chǔ)上，再將N+1層結(jié)構(gòu)上、下表面處，界面應(yīng)力滿足自由邊界條件考慮進(jìn)來(lái)，得到

(22)

拆分出式(22)中的一部分，有

(23)

式(23)也稱(chēng)作SH波傳播的特征方程。由于u2(1)-有非零解，當(dāng)波數(shù)k和相速度cp滿足Ψ21等于零時(shí)，就能得到頻散曲線。

相比于計(jì)算繁瑣的全局矩陣法[12]，文章所采用的轉(zhuǎn)移矩陣法可通過(guò)矩陣相乘的方式消除內(nèi)部的連續(xù)性條件，只保留上、下表面的邊界條件，特征方程的階數(shù)與層狀結(jié)構(gòu)的層數(shù)無(wú)關(guān)，顯著提高了計(jì)算速度。

3 導(dǎo)波傳播特性分析

超聲導(dǎo)波多模態(tài)和頻散的特點(diǎn)可以很直觀地體現(xiàn)在頻散曲線上，因此通過(guò)建立“CFRP板+冰層”波導(dǎo)模型，結(jié)合繪制的頻散曲線對(duì)SH波的傳播特性進(jìn)行分析。為了提高模型的實(shí)用價(jià)值，以IM7/977-3(被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)機(jī)身蒙皮)CFRP材料為例，其ρ=1.608 g/cm3，E1=172 GPa，E2=9.8 GPa，G12=6.1 GPa，υ12=0.37，υ23=0.55[13]。

模型中的CFRP層合板為8層結(jié)構(gòu)，每個(gè)單層板厚度為0.2 mm，采用一種典型的鋪層方式，鋪層代碼為[(0/90)s]2。由兩種不同鋪層角度的8層CFRP板和冰層組成的層狀結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 8層CFRP板+冰層結(jié)構(gòu)

飛行過(guò)程中，飛機(jī)表面形成的冰層主要有明冰、霜冰和混合冰，其力學(xué)參數(shù)如表1所示[14]。

表1 3類(lèi)冰層的力學(xué)參數(shù)

3類(lèi)冰層中，以明冰對(duì)飛行的危害最為嚴(yán)重，所以首先分析明冰對(duì)CFRP板中SH波傳播特性的影響。CFRP板表面形成明冰前后對(duì)應(yīng)的頻散曲線如圖4所示(f為頻率,cg為群速度)，其中表面明冰層厚度為1 mm。

圖4 CFRP板表面有無(wú)冰層時(shí)SH波的頻散曲線

由圖4可知：① 在相同的頻率和速度范圍內(nèi)，CFRP板表面結(jié)冰與否所對(duì)應(yīng)的頻散曲線數(shù)目是不同的；② 在相速度頻散曲線中，高階SH模態(tài)導(dǎo)波的截止頻率會(huì)受冰層的影響而顯著減?。虎?當(dāng)CFRP板表面無(wú)冰時(shí)，其SH0模態(tài)導(dǎo)波的相速度與群速度都為常數(shù)，但結(jié)冰會(huì)改變這一現(xiàn)象，并且群速度的變化更為明顯；④ 結(jié)冰所引起的SH0模態(tài)導(dǎo)波變化主要發(fā)生在頻率較高處，而在低頻處仍表現(xiàn)為常數(shù)，不過(guò)該常數(shù)值的大小會(huì)發(fā)生微小改變。

對(duì)于冰層對(duì)CFRP板中SH波傳播特性的影響，不僅可進(jìn)行定性分析，也可進(jìn)行定量研究。圖5為CFRP板表面明冰層厚度分別為0.25，0.50，0.75 mm時(shí)的頻散曲線。

圖5 CFRP板表面冰層厚度不同時(shí)SH波的頻散曲線

由圖5可知：① 在明冰層厚度由0.25 mm開(kāi)始均勻遞增至0.75 mm的過(guò)程中，相同區(qū)間內(nèi)頻散曲線數(shù)目增加了1條；② 以SH1模態(tài)導(dǎo)波為例，其相速度截止頻率由464.1 kHz經(jīng)424.7 kHz減小至384.7 kHz，即明冰層厚度每增加0.1 mm會(huì)引起約16 kHz的截止頻率變化量；③ SH0模態(tài)導(dǎo)波的相速度和群速度都會(huì)隨著明冰層厚度的增加而減小，例如在頻率為1.5 MHz處，3種明冰層厚度條件下的群速度相較于未結(jié)冰時(shí)分別減小了約17，55，92 m/s；④ 在低頻的50 kHz附近，SH0模態(tài)導(dǎo)波的速度都保持不變且相速度與群速度相等，但不同明冰層厚度對(duì)應(yīng)的速度分別約為1.940，1.934，1.928 km/s。

除了冰層厚度，CFRP板表面冰層類(lèi)型的差異也會(huì)引起傳播特性的變化。當(dāng)CFRP板表面冰層厚度都為0.25 mm時(shí)，冰層類(lèi)型為明冰、霜冰和混合冰所對(duì)應(yīng)的頻散曲線如圖6所示。

圖6 CFRP板表面冰層類(lèi)型不同時(shí)SH波的頻散曲線

由圖6可以看出，明冰與混合冰對(duì)SH波傳播特性的影響較為接近，僅在SH0模態(tài)高頻處以及高階模態(tài)處具有明顯差異，而霜冰的影響卻與二者不同，尤其反映在高階模態(tài)的相速度和SH0模態(tài)的群速度上，隨著模態(tài)的增高，霜冰對(duì)應(yīng)的相速度截止頻率與明冰所對(duì)應(yīng)截止頻率的差距逐漸擴(kuò)大；對(duì)于SH0模態(tài)的群速度，霜冰產(chǎn)生的影響是一種截然不同的趨勢(shì)，在0.5～1.5 MHz頻率區(qū)間內(nèi)，群速度劇烈減小。

這些反映在頻散曲線上的差異可以指導(dǎo)基于SH波的結(jié)冰探測(cè)研究，合理利用這些傳播特性的變化規(guī)律，能夠準(zhǔn)確地對(duì)有無(wú)冰層、冰層厚度和冰層類(lèi)型進(jìn)行探測(cè)。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)以CFRP層合板為主的復(fù)合材料，提出了一種由工程常數(shù)獲得任意角度鋪層的單層CFRP板材料剛度矩陣的方法。將轉(zhuǎn)移矩陣法應(yīng)用于建立SH波在CFRP板+冰層介質(zhì)中的傳播模型，利用矩陣相乘的方式消除層狀結(jié)構(gòu)內(nèi)部的連續(xù)性邊界條件，使得計(jì)算時(shí)矩陣的階數(shù)與層狀結(jié)構(gòu)的層數(shù)無(wú)關(guān)，顯著提高了計(jì)算速度。以材料IM7/977-3、鋪層方式為[(0/90)s]2的典型CFRP層合板作為示例，結(jié)合繪制的頻散曲線，分析了有無(wú)結(jié)冰、冰層厚度和冰層類(lèi)型對(duì)SH波傳播特性的影響；歸納了這些待測(cè)量引起頻散曲線變化的規(guī)律，為基于SH波的航空復(fù)合材料結(jié)冰探測(cè)研究提供了理論基礎(chǔ)。