宋利鋒，陳振鳴

（1.中國長峰機(jī)電技術(shù)研究設(shè)計(jì)院，北京 100854；2.北京航天情報(bào)與信息研究所，北京 100854）

近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中存在大量不確定信息，按不確定因素的產(chǎn)生機(jī)理和物理意義的不同，可分為隨機(jī)性，模糊性和未確知性。在過去幾十年中，基于概率統(tǒng)計(jì)和模糊數(shù)學(xué)逐漸建立起了2 種重要的可靠性理論——隨機(jī)可靠性和模糊可靠性[1-5]。近些年來，隨著國內(nèi)外學(xué)者對(duì)非概率的研究，也建立了相應(yīng)的非概率可靠性模型[6-8]。

本文基于一種非概率干涉可靠性模型，即用結(jié)構(gòu)安全域的體積與基本區(qū)間變量域的總體積之比作為結(jié)構(gòu)可靠性度量的模型[9]，推導(dǎo)了隨機(jī)變量，模糊變量和區(qū)間變量兩兩混合的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法，拓廣了此非概率干涉模型的應(yīng)用范圍，可用于計(jì)算工程中存在混合不確定信息的問題，其表達(dá)明確，應(yīng)用簡便，有很好的實(shí)際意義。實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了方法的有效性和可行性。

1 可靠度計(jì)算

在機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可表示為

式中：R，S 分別為結(jié)構(gòu)的廣義強(qiáng)度和廣義應(yīng)力，可為其他基本變量的函數(shù)。當(dāng)R，S 均為隨機(jī)變量時(shí)，可用常規(guī)的概率可靠性模型求解。在此考慮其他不確定變量組合情況下的可靠度計(jì)算，將隨機(jī)-區(qū)間、隨機(jī)-模糊、模糊-模糊和模糊-區(qū)間幾種混合模型轉(zhuǎn)化為區(qū)間-區(qū)間模型，基于體積比的非概率可靠性模型，建立了相應(yīng)的可靠度計(jì)算方法。由于體積比可靠性模型是建立在應(yīng)力-強(qiáng)度干涉的條件下，所以以下問題均在應(yīng)力-強(qiáng)度存在干涉的條件下進(jìn)行討論。

1.1 均為區(qū)間變量的可靠度計(jì)算

式（3）為標(biāo)準(zhǔn)化變量空間中的失效平面。

將應(yīng)力和強(qiáng)度轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量空間的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉關(guān)系如圖1 所示。

圖1 應(yīng)力-強(qiáng)度發(fā)生干涉的標(biāo)準(zhǔn)化空間示意圖

標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量被分成2 部分，即失效域和安全域，將失效域面積與基本變量區(qū)域總面積之比定義為失效度，即

將安全域面積與基本變量區(qū)域總面積之比稱為可靠度。即

王曉軍等[9]已證明該可靠性模型與概率可靠性模型的一致性。

1.2 隨機(jī)-區(qū)間模型可靠度計(jì)算

當(dāng)R 為隨機(jī)變量，S 為區(qū)間變量時(shí)，由于工程中構(gòu)件工作應(yīng)力和材料強(qiáng)度在大多數(shù)時(shí)服從正態(tài)分布情況，取隨機(jī)變量為正態(tài)變量。R～N（μ，σ2），應(yīng)力區(qū)間為，可將隨機(jī)變量R 轉(zhuǎn)換為區(qū)間變量，其中（若按工程要求一般可取Rr=3σ）。

結(jié)構(gòu)的失效概率為

結(jié)構(gòu)的可靠概率為

1.3 模糊-區(qū)間模型可靠度計(jì)算

當(dāng)R 為模糊變量，S 為區(qū)間變量時(shí)，假設(shè)R 為L-R型模糊數(shù)所限定的模糊變量，其可能性分布函數(shù)為πR（r），對(duì)任一截集水平α，R 退化為區(qū)間變量[10]，其上下界分別為

式（12）、式（13）中α∈[0，1]為單位區(qū)間變量，δR∈[-1，1]為標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量，從而有

結(jié)構(gòu)在截集水平α 下的失效概率為

則結(jié)構(gòu)的失效概率為對(duì)截集水平區(qū)間進(jìn)行積分，即

以下僅說明結(jié)構(gòu)在一定的水平截集α 下的失效或安全概率，結(jié)構(gòu)的失效和安全概率可按照式（16）在截集水平區(qū)間進(jìn)行積分計(jì)算。

結(jié)構(gòu)在截集水平α 下的安全概率為

同理，當(dāng)R 為區(qū)間變量RI=[R，R]，S 為模糊變量時(shí)，設(shè)S 可靠性分布函數(shù)為πS（S），則S 可退化為區(qū)間變量S=S（Cα）+S（rα）δS。

則在截集水平α 下失效概率為

相應(yīng)的在水平截集α 下可靠概率為

1.4 隨機(jī)-模糊模型可靠度計(jì)算

當(dāng)R 為隨機(jī)變量，S 為模糊變量時(shí)，設(shè)R～N（μ，σ2），S 的可能性分布函數(shù)為πS（S），則R，S 分別退化為區(qū)間變量，其上下界分別為

同理當(dāng)R 為模糊變量，S 為隨機(jī)變量時(shí)，R 可能性分布函數(shù)為πR（r），S～N（μ，σ2），R，S 分別轉(zhuǎn)換為區(qū)間變量，得

1.5 模糊-模糊模型可靠度計(jì)算

當(dāng)R，S 均為模糊變量時(shí)，其可能性分布函數(shù)分別為πR（r），πS（S），則對(duì)任一截集α，R，S 退化為區(qū)間變量，其上下界分別為[11]

2 數(shù)值算例

2.1 算例一

考慮如圖2 所示懸臂梁，在固定端處為b1=2.0，b2=5.0 處分別作用2 個(gè)集中載荷P1和P2，取|mmax|≥mcr時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，其中mcr為極限彎矩，mmax為梁中最大彎矩值，設(shè)基本區(qū)間變量為分別服從正態(tài)分布，P1～N1（5，0.22），P2～N2（2，0.12）。

圖2 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖

建立結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

利用本文提出的隨機(jī)－區(qū)間可靠度計(jì)算模型，可得

2.2 算例二

已知某結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度可靠性分布為如下三角形式

作用在結(jié)構(gòu)上的隨機(jī)應(yīng)力服從正態(tài)分布S～N（180，21.62）。

取k=3，由本文提出的隨機(jī)-模糊可靠度計(jì)算公式，可得表1。

表1 幾種截集水平下可靠性分布

對(duì)截集水平區(qū)間積分可得結(jié)構(gòu)的可靠概率為

2.3 算例三

承受均布載荷的簡支梁，其長度l=4 000 mm，截面寬度b=120 mm，截面高度h=240 mm，如圖3 所示，載荷q 為隨機(jī)變量并服從參數(shù)為μ1=217.6 和σ1=19.5 的正態(tài)分布，即q～N（μ1，σ21）N·mm-1，梁的材料為45 鋼，其強(qiáng)度R 為模糊變量，其隸屬函數(shù)分布為正態(tài)分布，即

圖3 簡支梁受力圖

式中：μ2=463.5；σ2=35.5。計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度。

由材料力學(xué)可知，該簡支梁最大應(yīng)力為

進(jìn)而可求得應(yīng)力S 的均值和方差分別為μS=377.7，σS=33.9。

取k=3，由本文提出的隨機(jī)-模糊可靠度計(jì)算公式，可得可能性分布情況，見表2。

表2 幾種截集水平下可靠性分布

對(duì)截集水平區(qū)間積分可得結(jié)構(gòu)的可靠概率為

2.4 算例四

以典型的十桿桁架為例。如圖4 所示。已知兩跨跨長L=9.144 m，桿件材料的密度為ρ=2 768 kg·m-3，材料的彈性模量為區(qū)間變量，其分布區(qū)間為EI=[6.956 9e10，7.032 7e10]N·m-2，作用的載荷為區(qū)間變量，其分布區(qū)間分別為F1I=F2I=[400.32，489.28]kN，F(xiàn)3I=[1 601.28，1 957.12]。各桿的強(qiáng)度約束為[σi]=1.723 7e8 N·m-2，（i=1，2，…，8，10），[σ9]=5.171 1e8 N·m-2。節(jié)點(diǎn)2 處的鉛垂方向的最大容許位移為模糊變量，其隸屬函數(shù)分布為

圖4 十桿桁架結(jié)構(gòu)

取各桿的截面面積為設(shè)計(jì)變量，各桿截面面積的下限取為6.4e-5 m2。進(jìn)行該結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化設(shè)計(jì)。

此十桿桁架結(jié)構(gòu)的區(qū)間-模糊可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為

式中：prob 為節(jié)點(diǎn)2 處的位移約束對(duì)應(yīng)的區(qū)間-模糊可靠度；[prob]為可靠度指標(biāo)下限。確定性優(yōu)化及考慮不確定因素的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果見表3。

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

結(jié)論：當(dāng)考慮不確定因素的影響時(shí)，不確定優(yōu)化得到的重量比確定優(yōu)化重量大，結(jié)果偏于保守。這正是考慮了材料及載荷的不確定性影響，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中加入了可靠性設(shè)計(jì)的結(jié)果，要獲得更高的可靠性需要犧牲一定的目標(biāo)函數(shù)值。說明實(shí)際工程中如果結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)可以適當(dāng)放寬，應(yīng)該適當(dāng)考慮不確定因素對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，加入結(jié)構(gòu)的可靠性設(shè)計(jì)，以提高結(jié)構(gòu)的安全性。

3 結(jié)論

由于工程中存在大量隨機(jī)模糊及未知然而有界等多種不確定信息，各種不確定信息的混合使得求解問題可靠性時(shí)不能單純地利用隨機(jī)概率可靠性和模糊可靠性方法求解。因此，有必要對(duì)混合不確定可靠性進(jìn)行研究。文中基于體積比的非概率可靠性模型推導(dǎo)出的各種不確定組合的可靠度計(jì)算公式，可適用于相應(yīng)的不確定工程問題，計(jì)算簡便，意義明確，可作為混合不確定可靠性分析方法的一種補(bǔ)充。文中算例說明了本文方法的應(yīng)用。