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        拉普拉斯-龍格-楞次守恒量在天體運(yùn)動中的應(yīng)用*

        2022-10-17 04:40:28李開瑋劉順彭趙亞運(yùn)
        物理通報(bào) 2022年10期
        關(guān)鍵詞:角動量天體矢量

        李開瑋 劉順彭 趙亞運(yùn)

        (廣東理工學(xué)院智能制造學(xué)院 廣東 肇慶 526100)

        張智明

        (廣東理工學(xué)院大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心 廣東 肇慶 526100)

        當(dāng)物體受到平方反比的有心力作用時(shí),有一些物理量是守恒量,如角動量守恒、機(jī)械能守恒,除此之外還存在另一個(gè)守恒量Laplace-Runge-Lenz矢量(以下簡稱LRL矢量),該矢量在經(jīng)典力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[1,2],能夠使許多物理問題的求解得到極大的簡化,本文討論LRL矢量在天體運(yùn)動問題中的應(yīng)用.

        在天體運(yùn)動中,天體受到萬有引力作用,其動力學(xué)方程為

        (1)

        其中k=GmM,LRL矢量為

        (2)

        1 LRL守恒量的證明

        如圖1所示,地球位于橢圓右焦點(diǎn)F(c,0),衛(wèi)星在地球引力下運(yùn)動軌跡為橢圓.

        圖1 天體運(yùn)動示意圖

        設(shè)衛(wèi)星軌跡方程為

        (3)

        參數(shù)方程為

        (4)

        設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)速度為v1,遠(yuǎn)地點(diǎn)速度為v2,根據(jù)機(jī)械能守恒

        (5)

        又根據(jù)角動量守恒可得

        (a-c)mv1=(a+c)mv2

        (6)

        由式(5)、(6)解得

        (7)

        將式(7)代入式(5)可得衛(wèi)星機(jī)械能為

        代入式(6)可得角動量大小為

        (8)

        其方向與衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系.

        設(shè)衛(wèi)星在軌跡上任一點(diǎn)速度為v,可得

        (9)

        r=a-ccosθ

        (10)

        由式(9)、(10)解得

        (11)

        相對于地球(焦點(diǎn)處)位置也可以用矢量表示

        r=(acosθ-c)i+bsinθj

        (12)

        衛(wèi)星動量與角動量相互垂直,由式(8)、(11)可得

        (13)

        (14)

        由式(10)、(14)可得

        (15)

        由式(14)、(15)可得LRL矢量

        (16)

        因此LRL守恒量與橢圓離心率相關(guān),方向?yàn)闄E圓長軸指向近地點(diǎn)的方向.這說明了LRL矢量能夠確定天體運(yùn)動的軌跡形狀及長軸的指向,而事實(shí)上由LRL守恒量也可以很方便地推導(dǎo)出天體運(yùn)動軌跡

        A·r=(p×L)·r-mkr=
        L2-mkr=Arcosφ

        (17)

        由式(17)可得

        該式即為離心率為e的橢圓軌跡方程極坐標(biāo)系下表達(dá)式.

        接下來利用LRL守恒量解決2021年物理杯競賽中一道天體運(yùn)動問題,體現(xiàn)LRL守恒量在簡化計(jì)算方面的技巧.

        2 LRL守恒量的應(yīng)用

        【2021年物理杯試題】一個(gè)彗星,在自己的軌道上兩個(gè)點(diǎn)的速度矢量分別是v1和v2,這兩個(gè)速度矢量滿足:(1)互相垂直;(2)|v1|=2|v2|.請問,這個(gè)彗星的軌道可能的離心率e最小是多少?

        分析:該道題要求最小的離心率,給出的已知條件為軌跡上兩點(diǎn)的速度關(guān)系,離心率與軌道形狀有關(guān),能夠把離心率、速度聯(lián)系在一起的就是LRL守恒量,如圖2所示為這兩點(diǎn)的LRL守恒量的幾何圖像,因?yàn)関1⊥v2,|v1|=2|v2|,角動量L為z軸方向的守恒量,故兩點(diǎn)處|p1×L|=2|p2×L|,(p1×L)⊥(p2×L),由于兩點(diǎn)處的LRL矢量相同,可以將兩點(diǎn)處的LRL幾何圖像平移到一起,如圖3所示,OC為LRL矢量,AC和AO分別為速度為v1處的(p1×L)和mkr10,BC和BO分別為速度為v2處的(p2×L)和mkr20,其中r10,r20為兩點(diǎn)處的徑向單位矢量,圖3中有幾何條件:AO=BO;AC=2BC;AC⊥BC.該圓半徑即為mk,連接AB,并取其中點(diǎn)D,連接OD和CD,可得以下幾何結(jié)論.

        圖2 彗星在軌跡上兩點(diǎn)的LRL矢量

        圖3 兩點(diǎn)LRL矢量合并圖

        (18)

        (19)

        在△ODC中根據(jù)余弦定理有

        (mke)2=(mksinδ)2+(mkcosδ)2-
        2(mk)2sinδcosδcosφ

        (20)

        (21)

        (22)

        (23)

        3 討論與總結(jié)

        LRL矢量與角動量一樣是一個(gè)守恒量,是平方有心力系統(tǒng)的一個(gè)結(jié)論,而且更進(jìn)一步生動地反映了天體運(yùn)動的軌跡形狀及長軸的指向,其結(jié)果中有離心率參數(shù),LRL中包括了天體的速度、角動量、位置矢量,利用LRL矢量可以方便地將許多物理問題幾何化,使求解簡潔,計(jì)算量大大減小.

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