張嘉茹 吳偉志 楊 燁

粒計算(Granular Computing, GrC)[1-4]是人工智能領(lǐng)域活躍的研究方向之一.它模擬人類問題思考模式,以粒(Granule)為基本計算單位,通過信息?；仁侄芜_到簡化復(fù)雜問題求解的主要目標(biāo).粒計算的研究主要集中在粒的描述、表示與構(gòu)造,粒的多層次合成與分解,具有多層次或多粒度結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的信息粒的變換、最優(yōu)粒度或尺度的選擇,蘊含在數(shù)據(jù)集上的粒與粒之間的IF-THEN規(guī)則的提取,以及粒結(jié)構(gòu)的不確定性分析等.目前,粒計算已成為大數(shù)據(jù)挖掘與決策分析的一種重要研究方法[5-9].

粗糙集[10]是推動和發(fā)展粒計算研究的一個重要數(shù)據(jù)分析模型,它以各種各樣的信息系統(tǒng)(Information Systems)或決策系統(tǒng)(Decision Systems)為數(shù)據(jù)分析對象,通過定義在數(shù)據(jù)樣本集上的二元關(guān)系構(gòu)造“粒”,?；撚蚧驑颖究臻g,并通過屬性約簡方法挖掘蘊含在數(shù)據(jù)集上的決策規(guī)則集.傳統(tǒng)粗糙集數(shù)據(jù)分析呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)集大都是單尺度形式的,即信息系統(tǒng)中每個對象在每個屬性上只取唯一的值.然而,在實際生活中,人們可能需要在多粒度或多尺度環(huán)境下處理和分析數(shù)據(jù),要在不同尺度下對同一對象在同一屬性下的數(shù)據(jù)進行觀察、分析并做出相應(yīng)決策.為此,Wu等[11]提出多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析模型,處理的數(shù)據(jù)集稱為多尺度信息系統(tǒng),系統(tǒng)中的每個對象在同個屬性下根據(jù)不同的尺度呈現(xiàn)不同標(biāo)記的值,并且從細尺度的屬性值到粗尺度的屬性值都有相應(yīng)的信息粒度變換.這種數(shù)據(jù)處理模型又稱為Wu-Leung模型[12].在該模型中,較細尺度對應(yīng)的數(shù)據(jù)所含信息較詳細,但是意味著獲取信息成本較高,而較粗尺度對應(yīng)的數(shù)據(jù)所含信息較少,獲取信息成本也較低.在實際問題研究中,選取合適尺度去解決問題就顯得至關(guān)重要.多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的核心思想是：根據(jù)決策目標(biāo)，對每個屬性選擇一個合適的尺度或粒度(稱為最優(yōu)尺度)，構(gòu)成一個新的單尺度信息系統(tǒng),再在保持相同目標(biāo)約束要求下使用粗糙集方法給出屬性約簡，做出最終的決策(如分類、聚類或排序決策等).因此,多尺度信息系統(tǒng)或多尺度決策系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度選擇是從該類數(shù)據(jù)集上獲取知識的關(guān)鍵步驟，現(xiàn)已成為多尺度粗糙集數(shù)據(jù)分析的一個重要研究方向[13-21].

經(jīng)典Wu-Leung模型的一個基本假設(shè)是數(shù)據(jù)集上所有屬性具有相同的尺度個數(shù),并且在數(shù)據(jù)分析時只能取同層尺度.然而在實際問題中,數(shù)據(jù)集上不同屬性可能具有不同的尺度個數(shù),為此,Li等[12]引入尺度組合的概念，提出廣義多尺度信息系統(tǒng)的知識獲取模型.近年來,針對各類廣義多尺度信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合及知識獲取的研究受到相關(guān)研究人員的關(guān)注,并取得重要進展[22-30].由于Li等[12]提出的廣義多尺度決策表的決策屬性是單尺度的,在實際應(yīng)用中,同一對象的決策屬性也可能根據(jù)不同尺度取不同的值.為此,Huang等[31]提出決策屬性也是多尺度的廣義多尺度信息系統(tǒng)(簡稱為廣義決策多尺度信息系統(tǒng))的數(shù)據(jù)分析模型,研究協(xié)調(diào)廣義決策多尺度信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇方法.

證據(jù)理論,又稱Dempster-Shafer證據(jù)理論[32](簡稱D-S證據(jù)理論),是處理不精確和不確定性問題的數(shù)學(xué)工具之一.它的核心思想是通過由信任結(jié)構(gòu)導(dǎo)出的一對信任函數(shù)與似然函數(shù)刻畫概念的不確定性.粗糙集理論的下近似集與上近似集和證據(jù)理論的信任測度與似然測度可分別看作是對同個不確定概念(集合)的定性和定量不確定性表示,因此,兩個理論具有很強的關(guān)聯(lián)性.相關(guān)研究已證實,由粗糙近似空間導(dǎo)出的集合的下近似概率和上近似概率一定是某個信任結(jié)構(gòu)下的信任測度與似然測度,反之,任給一個信任結(jié)構(gòu)及其導(dǎo)出的信任函數(shù)與似然函數(shù),一定可表示為某個粗糙近似空間下的下近似概率和上近似概率[33-35].基于這兩個理論之間的關(guān)系,學(xué)者們提出利用證據(jù)理論進行粗糙集數(shù)據(jù)分析,取得很多重要成果[36].近幾年,使用證據(jù)理論刻畫多尺度環(huán)境下的最優(yōu)尺度選擇也取得一些研究進展.

眾所周知,多屬性決策或排序是粗糙集數(shù)據(jù)分析中一類重要的研究問題,也是現(xiàn)實生活中較常見的數(shù)據(jù)處理問題.Greco等[37-39]定義序信息系統(tǒng)中屬性(在序信息系統(tǒng)中又稱為準(zhǔn)則)子集導(dǎo)出的優(yōu)勢關(guān)系,提出基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集方法(Domi-nance-Based Rough Set Approach, DRSA),解決序信息系統(tǒng)或序決策系統(tǒng)的序IF-THEN規(guī)則的提取或排序問題.隨后,針對不同數(shù)據(jù)類型的DRSA也相繼被提出[40-43].Xu等[44]使用證據(jù)理論的信任函數(shù)與似然函數(shù)，研究序信息系統(tǒng)的屬性約簡問題,而Du等[45]使用證據(jù)理論的信任函數(shù)與似然函數(shù)，討論序決策系統(tǒng)的屬性約簡問題.

近年來,針對多尺度環(huán)境下信息系統(tǒng)的多屬性決策、排序等問題已受到相關(guān)領(lǐng)域研究人員的關(guān)注[46-48].Zheng等[20]研究Wu-Leung模型下多尺度序信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇問題,使用證據(jù)理論中的信任函數(shù)與似然函數(shù)等價刻畫協(xié)調(diào)和不協(xié)調(diào)多尺度序決策系統(tǒng)中下近似最優(yōu)尺度和上近似最優(yōu)尺度的特征.

盡管多尺度環(huán)境下很多數(shù)據(jù)類型的最優(yōu)尺度選擇和知識獲取方面的研究取得重要進展,但迄今未有學(xué)者對決策屬性也是多尺度的多尺度序信息系統(tǒng)(稱為決策多尺度序信息系統(tǒng))的知識獲取方面展開研究.本文在文獻[20]和文獻[31]基礎(chǔ)上,探索研究協(xié)調(diào)決策多尺度序信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇及其相應(yīng)的序決策規(guī)則提取問題.

1 基本知識

在本文中,對于給定的非空有限集合U={x1,x2,…,xr}(也稱為論域),記P(U)為U的冪集.對于X∈P(U),記～X為X在U上的補集,即

～X=U-X={x∈U|x?X}.

定義1[10]稱S=(U,A)為一個信息系統(tǒng),其中U={x1,x2,…,xr}為一個非空有限對象集,稱為論域,A={a1,a2,…,am}為一個非空有限屬性集,對于?a∈A,有a∶U→Va,即a(x)∈Va,x∈U,其中

Va={a(x)|x∈U}

為屬性a的值域.

對于信息系統(tǒng)S=(U,A),B?A,記

RB={(x,y)∈U×U|a(x)=a(y),?a∈B},

RB為由屬性子集B誘導(dǎo)的不可分辨關(guān)系,RB可將U中元素分成兩兩不相交的等價類,即

[x]B={y∈U|(x,y)∈RB}, ?x∈U,

它們構(gòu)成U的一個劃分,即

U/RB={[x]B|x∈U}.

對于X∈P(U),X關(guān)于屬性子集B的下近似和上近似定義如下:

1.1 廣義決策多尺度信息系統(tǒng)

定義2[31]稱S=(U,C∪esiu0ck)為一個具有多尺度決策的廣義多尺度信息系統(tǒng),簡稱為廣義決策多尺度信息系統(tǒng),其中，

為一個廣義多尺度信息系統(tǒng),d?C為具有n個尺度的決策屬性,S也可表示為

在廣義決策多尺度信息系統(tǒng)

即

使得

即

定義3[31]設(shè)

為一個廣義決策多尺度信息系統(tǒng)，若將條件屬性aj(1≤j≤m)限制在該屬性的第ij(1≤ij≤Ij)尺度下,則

K=(i1,i2,…,im)

稱為S的條件屬性的一個尺度組合,記S的條件屬性尺度組合全體為K.若在此基礎(chǔ)上將決策屬性d限制在第t(1≤t≤n)尺度下,則

Q=(i1,i2,…,im,t)

稱為S的一個尺度選擇.記S的尺度選擇全體為Q,則每個尺度選擇

(i1,i2,…,im,t)=Q∈Q

形成一個單尺度決策表SQ=(U,CK∪{dt}),其中

定義4設(shè)

為一個廣義決策多尺度信息系統(tǒng).對于兩個尺度組合

設(shè)

為一個廣義決策多尺度信息系統(tǒng),Q為S的尺度選擇全體.對于

定義

其中，

且

t1∧t2=min{t1,t2},t1∨t2=max{t1,t2},

則可驗證

Q1?Q2?Q1∧Q2=Q1?Q1∨Q2=Q2.

且(Q,?,∧,∨)為一個有界格,其中(1,1,…,1,n)為最小元,(I1,I2,…,Im,1)為最大元.

1.2 序信息系統(tǒng)

定義5稱二元組(L,≤)為一個全序集,其中L≠?稱為標(biāo)記集,≤為L上的二元關(guān)系,滿足

1)自反性.對于?x∈L,x≤x.

2)傳遞性.對于?x∈L,y∈L,z∈L,x≤y,y≤z蘊含x≤z.

3)≤是線性序.對于?x∈L,y∈L,或x≤y,或y≤x.

定義6對于2個全序集(L1,≤1)和(L2,≤2),若映射

g∶(L1,≤1)→(L2,≤2),

對?l∈L1,s∈L1,有

l≤1s?g(l)≤2g(s),

則稱映射g為保序的.

不失一般性,本文討論序信息系統(tǒng)中的屬性取值按照優(yōu)先級遞增排序.在信息系統(tǒng)S=(U,A)中,若屬性a的值域是全序集,則稱屬性a為一個標(biāo)準(zhǔn)或準(zhǔn)則.設(shè)a∈A為一個準(zhǔn)則,在a的值域Va上建立偏序關(guān)系≥a,對于x∈U,y∈U,y≥ax意為關(guān)于準(zhǔn)則a,對象y至少和對象x一樣優(yōu),或者說對象y支配對象x.若對于準(zhǔn)則集B?A,y≥Bx,意為對于?a∈B,y≥ax,即對于B中的任意準(zhǔn)則,對象y至少和對象x一樣優(yōu).

定義7[40]設(shè)S=(U,A)為一個信息系統(tǒng),若S的條件屬性集A={a1,a2,…,am}中每個屬性都是標(biāo)準(zhǔn)或準(zhǔn)則,則稱S為一個序信息系統(tǒng)(Ordered Information System, OIS).

在序信息系統(tǒng)中,對于B?A,記

定義8[40]稱S=(U,A∪cqcaoy0)為一個序決策系統(tǒng)(Ordered Decision System, ODS),若S=(U,A)為一個序信息系統(tǒng),決策屬性d?A也是標(biāo)準(zhǔn)或準(zhǔn)則,記

1.3 證據(jù)理論

定義9[32]設(shè)U為一個非空有限集合,對于一個集合函數(shù)m∶P(U)→[0,1],若滿足

則稱m為一個mass函數(shù)或一個基本概率指派.

對于一個集合X∈P(U),若m(X)>0,則稱X為函數(shù)m的一個焦元.記

M={X∈P(U)|m(X)>0}

為m的全體焦元構(gòu)成的集合,則稱序?qū)?M,m)為U上的一個信任結(jié)構(gòu).

任何一個信任結(jié)構(gòu)可導(dǎo)出一對信任函數(shù)與似然函數(shù).

定義10[32]設(shè)(M,m)為U上的一個信任結(jié)構(gòu),在U上定義信任函數(shù)Bel∶P(U)→[0,1]和似然函數(shù)Pl∶P(U)→[0,1]如下:

可驗證,信任函數(shù)和似然函數(shù)是對偶的,即

Bel(X)=1-Pl(～X),

Pl(X)=1-Bel(～X),

其中～X為X在U中的補集.

粗糙集理論和D-S證據(jù)理論之間具有較強的聯(lián)系,已證實,信息系統(tǒng)中每個屬性子集導(dǎo)出的集合的下近似概率與上近似概率分別為該集合在某個信任結(jié)構(gòu)下的信任度與似然度.

定理1[33]設(shè)S=(U,A)為一個信息系統(tǒng),對于?X∈P(U),B?A,記

其中,

|X|為X的基數(shù),則

Bel∶P(U)→[0,1]，Pl∶P(U)→[0,1]

分別為U上的信任函數(shù)與似然函數(shù),對應(yīng)的mass函數(shù)為:

2 廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)

2.1 基本概念

定義11設(shè)

為一個廣義決策多尺度信息系統(tǒng),若對于

Q1=(1,1,…,1)∈Q,SQ1=(U,CK1∪{d1})

由定義11知,只要

SQ1=(U,CK1∪{d1})

為序決策系統(tǒng),且條件屬性的信息粒度變換和決策屬性的信息粒度變換都是保序的,則對于S的任意一個尺度選擇

Q=(K,t)∈Q,K∈K,

對應(yīng)的決策系統(tǒng)

SQ=(U,CK∪{dt})

都是一個序決策系統(tǒng).

定義12設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K=(i1,i2,…,im)∈K,

記

類似于文獻[20],可證明命題1成立.

命題1設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

X∈P(U),Y∈P(U),K∈K,Q=(K,t)∈Q,

則如下性質(zhì)成立:

6)若X?Y,則

8)若K′∈K,K?K′,則

9)若記

Kmin=(1,1,…,1)∈K,Kmax=(I1,I2,…,Im)∈K,

則對于?K∈K,有

定義13設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

?x∈U,K∈K,Q=(K,t)∈Q,

記

類似于文獻[20],可得命題2.

命題2設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),對于

?x∈U,K∈K,K′∈K,K?K′,

則

t∈{1,2,…,n-1},

5)PosCK′(dt)?PosCK(dt),

r(CK′,dt)≤r(CK,dt),

6)PosCK(dt)?PosCK(dt+1),

r(CK,dt)≤r(CK,dt+1),

t∈{1,2,…,n-1},

7)若Kmin=(1,1,…,1)∈K,

Kmax=(I1,I2,…,Im)∈K,

則對于?K∈K,都有

r(CKmax,dt)≤r(CK,dt)≤r(CKmin,dt).

2.2 證據(jù)理論

類似于文獻[44]和文獻[45]可得,廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中每個尺度組合下集合的下近似集與上近似集的概率一定是某個信任結(jié)構(gòu)下該集合的信任度與似然度.

定理2設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),K∈K,對于X∈P(U),記

則

分別為U上一對對偶的信任函數(shù)與似然函數(shù),對應(yīng)的mass函數(shù)為:

其中，

推論1設(shè)

3 協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的尺度選擇

尺度選擇是從多尺度信息系統(tǒng)中知識獲取的一個關(guān)鍵步驟,在廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中,尋找最優(yōu)尺度選擇的目的是從系統(tǒng)中選擇一個合適的單尺度序決策系統(tǒng),用于最終的決策規(guī)則提取.

3.1 廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的尺度選擇

定義14設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K1=(1,1,…,1)∈K

定義15設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),對于

K=(i1,i2,…,im)∈K,

對應(yīng)一個具有多尺度決策的單尺度信息系統(tǒng)

定理3設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),K∈K,K′∈K,若K?K′,且SK′是協(xié)調(diào)的,則SK也是協(xié)調(diào)的.

SK=(U,CK∪0qmayki)

也是協(xié)調(diào)的.

證畢.

定理4設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

Q1=(K1,t1)∈Q,Q2=(K2,t2)∈Q,Q1?Q2,

若序決策系統(tǒng)SQ2是協(xié)調(diào)的,則SQ1也是協(xié)調(diào)的.

證畢.

定義16設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),對于

Q=(K,t)∈Q,

若滿足

2)對任意滿足QQ′的Q′=(K′,t′)∈Q,SQ′是不協(xié)調(diào)的,即

則稱Q=(K,t)為S的一個最優(yōu)尺度選擇,并稱

SQ=(U,CK∪{dt})

為S的一個最優(yōu)協(xié)調(diào)序決策系統(tǒng).

由定義16可見,一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)S=(U,C∪o8sc000)的一個最優(yōu)尺度選擇

Q=(K,t)∈Q

是Q中使SQ是協(xié)調(diào)的最粗的尺度選擇,因此,尋求協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的一個最優(yōu)尺度選擇問題可轉(zhuǎn)化為求以下最優(yōu)解問題:

滿足上述最優(yōu)解問題的一個尺度選擇Q就是S的一個最優(yōu)尺度選擇.

定義17設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K1=(1,1,…,1)∈K,Q=(K,t)∈Q,

則

1)若對于?x∈U,有

則稱SQ關(guān)于S是下近似協(xié)調(diào)的; 若SQ關(guān)于S是下近似協(xié)調(diào)的,且對于任意滿足QQ′的

Q′=(K′,t′)∈Q,

?y∈U,使得

即SQ′關(guān)于S不是下近似協(xié)調(diào)的,則稱Q=(K,t)是S的一個下近似最優(yōu)尺度選擇.

2)若對于?x∈U,都有

則稱SQ關(guān)于S是上近似協(xié)調(diào)的;若SQ關(guān)于S是上近似協(xié)調(diào)的,且對于任意滿足QQ′的

Q′=(K′,t′)∈Q,

?y∈U,使得

即SQ′關(guān)于S不是上近似協(xié)調(diào)的,則稱Q=(K,t)是S的一個上近似最優(yōu)尺度選擇.

定義18設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K1=(1,1,…,1)∈K,Q=(K,t)∈Q,

則

1)若對于?x∈U,都有

則稱SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的;若SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的,且對于任意滿足QQ′的

Q′=(K′,t′)∈Q,

?y∈U,使得

即SQ′關(guān)于S不是信任協(xié)調(diào)的,則稱Q=(K,t)是S的一個信任最優(yōu)尺度選擇.

2)若對于?x∈U,都有

則稱SQ關(guān)于S是似然協(xié)調(diào)的; 若SQ關(guān)于S是似然協(xié)調(diào)的,且對于任意滿足QQ′的

Q′=(K′,t′)∈Q,

?y∈U,使得

即SQ′關(guān)于S不是似然協(xié)調(diào)的,則稱Q=(K,t)是S的一個似然最優(yōu)尺度選擇.

定理5設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

Q=(K,t)∈Q,

則

1)SQ關(guān)于S是下近似協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的.

2)Q是S的下近似最優(yōu)尺度選擇當(dāng)且僅當(dāng)Q是S的信任最優(yōu)尺度選擇.

3)SQ關(guān)于S是上近似協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)SQ關(guān)于S是似然協(xié)調(diào)的.

4)Q是S的上近似最優(yōu)尺度選擇當(dāng)且僅當(dāng)Q是S的似然最優(yōu)尺度選擇.

證明先證1).充分性.設(shè)SQ關(guān)于S是下近似協(xié)調(diào),則對?x∈U,有

從而

即

因此,SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的.

必要性.若SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的,則對?x∈U,

即

又由于

于是可得

因此,SQ關(guān)于S是下近似協(xié)調(diào)的.

再證2).由結(jié)論1)即得.

再證3)充分性.設(shè)SQ關(guān)于S是上近似協(xié)調(diào)的,則對于?x∈U,有

從而

即

因此,SQ關(guān)于S是似然協(xié)調(diào)的.

必要性.若SQ關(guān)于S是似然協(xié)調(diào)的,則對于?x∈U,有

即

又由于

于是可得

因此,SQ關(guān)于S是上近似協(xié)調(diào)的.

最后證明4).由結(jié)論3)即得.

證畢.

定理6設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

Q=(K,t)∈Q,

則SQ是協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的.

證明充分性.設(shè)SQ是協(xié)調(diào)的,則?x∈U,有

由命題1知,

這樣就證明

又由于K1=(1,1,…,1)是最細的尺度組合,因此

從而

即序決策系統(tǒng)S(K1,t)也是協(xié)調(diào)的,從而也有

成立,于是

再由定理5知

即SQ關(guān)于S是信任協(xié)調(diào)的.

必要性.設(shè)SQ是關(guān)于S信任協(xié)調(diào)的,由定理5知,對于?x∈U,有

證畢.

定義19設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K1=(1,1,…,1)∈K,

對于t∈{1,2,…,n},S的信任和Mt與似然和Nt分別定義為

其中,

為決策屬性d在第t個尺度下決策優(yōu)勢類全體.

定理7設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

Q=(K,t)∈Q,

則

1)SQ是協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)

2)Q=(K,t)∈Q為S的最優(yōu)尺度選擇當(dāng)且僅當(dāng)

且對任意滿足QQ′的

Q′=(K′,t)∈Q,

有

證明由定理6和推論1即證明1).由結(jié)論1)即證明2).

證畢.

定理8設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

Q=(K,t)∈Q,

則

1)SQ是似然協(xié)調(diào)的當(dāng)且僅當(dāng)

2)Q=(K,t)∈Q是S的似然最優(yōu)尺度選擇當(dāng)且僅當(dāng)

且對任意滿足QQ′的Q′=(K′,t)∈Q,有

證明類似于定理7的證明.

證畢.

由上述結(jié)論可見,保持序決策系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的最粗尺度選擇(即最優(yōu)尺度選擇)與下近似最優(yōu)尺度選擇和信任最優(yōu)尺度選擇都是等價的,而上近似最優(yōu)尺度選擇與似然最優(yōu)尺度選擇也是等價的.因此,定義16～定義18給出的5種類型的最優(yōu)尺度選擇概念實際上只有2種不同的類型.

3.2 示例

例1表1為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)

其中,

U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12},C={a1,a2}.

條件屬性a1、a2都有3個尺度,決策屬性d有2個尺度.條件屬性a1、a2和決策屬性

d={dt|t=1,2}

的信息粒度變換分別如下.對于x∈U:

其中,數(shù)值型值域Va1j和Vd1按自然順序排序,條件屬性值域Va2j,Va3j和決策屬性值域Vd2上的全序關(guān)系分別為

B>C>D>E, N>M>K.表1 一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)Table 1 A generalized decision multi-scale ordered information system

圖1為S的全體尺度選擇的格結(jié)構(gòu).

圖1 尺度選擇的格結(jié)構(gòu)Fig.1 Lattice structure of scale selections

1)判斷S是否是協(xié)調(diào)的;2)確定S的最優(yōu)尺度選擇;3)確定S的上近似最優(yōu)尺度選擇、下近似最優(yōu)尺度選擇、信任最優(yōu)尺度選擇和似然協(xié)調(diào)最優(yōu)尺度選擇.

即

{x1,x4,x7,x8,x11},{x5,x7,x8,x12},

{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x12},{x7},{x7,x8,x12},

{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x12},

{x1,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x11,x12},{x12}}.

對于d1,有

則

{x7,x12},{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x12}}.

對于d2,有

即

{x1,x2,x4,x7,x8,x12},{x1,x5,x7,x8,x12},

{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x12},{x7},

{x1,x7,x8,x12},

{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x12},

{x1,x2,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x11,x12}},

因此

{x1,x2,x3,x4,x7,x8,x12},{x1,x4,x7,x8,x12},

{x5,x7,x8,x12},{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x12},

{x7},{x7,x8,x12},

{x1,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x12},

{x1,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x11,x12},{x12}},

因此

因此

所以S有唯一的最優(yōu)尺度選擇(2,1,1).

且對于x12,有

成立.

且對于x12,有

所以S有唯一的下近似最優(yōu)尺度選擇(2,1,1).

所以(3,3,1)是S的上近似最優(yōu)尺度選擇.

求S的信任最優(yōu)尺度選擇.當(dāng)t=1時,

當(dāng)t=2時,

因此,(2,1,1)為S的信任最優(yōu)尺度選擇.

求S的似然最優(yōu)尺度選擇.由于(3,3,1)是S的上近似最優(yōu)尺度選擇,只需驗證K9=(3,3)和t=1時即可.

有

(3,3,1)為S的似然最優(yōu)尺度選擇.

對于S,(2,1,1)為最優(yōu)尺度選擇、下近似最優(yōu)尺度選擇和信任最優(yōu)尺度選擇,(3,3,1)為上近似最優(yōu)尺度選擇和似然最優(yōu)尺度選擇.

4 協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的約簡與規(guī)則提取

4.1 廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的約簡

定義20設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

定理9設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K1∈K,K2∈K,K1K2,Q1=(K1,t)∈Q,Q2=(K2,t)∈Q.

若B是S的Q2-尺度協(xié)調(diào)集,則B是S的一個Q1-尺度協(xié)調(diào)集.

證明由定義20與定理3可證.

證畢.

定義21設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

K=(i1,i2,…,im)∈K,Q=(K,t)∈Q,

定義

其中

定義22設(shè)

為一個協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),

B?C,K∈K,Q=(K,t)∈Q,

定義

為S在尺度選擇Q上的可辨識函數(shù),其中,∧為合取,∨為析取.

類似于文獻[37]～文獻[39],將上式給出的合取式轉(zhuǎn)化為極小析取范式,則該極小析取范式中每個合取式中的屬性集合就是系統(tǒng)的一個Q-尺度約簡.

4.2 廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的序決策規(guī)則

獲取

本節(jié)在最優(yōu)尺度選擇約簡的基礎(chǔ)上給出蘊含在廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中的序決策規(guī)則.

定義23設(shè)

為一個廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),對于B?C,

蘊含在決策信息系統(tǒng)中的命題知識可使用決策規(guī)則的形式表示:t→s,其中，t為規(guī)則的前件,s為規(guī)則的后件,表示由t可得出s.對同時滿足規(guī)則的前件和后件的對象,稱為支持這條規(guī)則.

對于協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng),結(jié)合原子公式的概念,類似于Greco等[37-39]提出序決策規(guī)則,可得蘊含在系統(tǒng)中基于優(yōu)勢關(guān)系的確定性序決策規(guī)則如下:

例2(接例1) 由于S的最優(yōu)尺度選擇為Q=(2,1,1),則可得到在尺度選擇Q下S的可辨識矩陣如表2所示.

由于

該規(guī)則支持的對象為x1,x7,x8,x12.

該規(guī)則支持的對象為x1,x2,x4,x5,x7,x8,x12.

該規(guī)則支持的對象為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x12.

該規(guī)則支持的對象為U.

表2 尺度選擇Q下S的可辨識矩陣Table 2 Discernibility matrix of S under scale selection Q

5 結(jié) 束 語

最優(yōu)尺度選擇是多尺度信息系統(tǒng)知識獲取的一個關(guān)鍵步驟,最優(yōu)尺度選擇的作用是從多尺度信息系統(tǒng)中找到一個符合目標(biāo)條件的最優(yōu)子表用于最終的決策(如聚類、分類或排序).本文針對協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中的知識獲取問題,分別使用粗糙集理論和證據(jù)理論定義下近似最優(yōu)尺度選擇與上近似最優(yōu)尺度選擇、信任最優(yōu)尺度選擇與似然最優(yōu)尺度選擇的概念,證明保持序決策系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的最粗尺度選擇(即最優(yōu)尺度選擇)與下近似最優(yōu)尺度選擇和信任最優(yōu)尺度選擇都是等價的,而上近似最優(yōu)尺度選擇與似然最優(yōu)尺度選擇也是等價的.并在最優(yōu)尺度選擇基礎(chǔ)上,進一步使用粗糙集辨識矩陣方法給出屬性約簡,最終獲得蘊含在協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中的序決策規(guī)則集.在后續(xù)研究中：一方面,可進一步研究在協(xié)調(diào)和不協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)中局部最優(yōu)尺度選擇及規(guī)則提取問題; 另一方面,其它更復(fù)雜數(shù)據(jù)類型(如不完備廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)等)的最優(yōu)尺度選擇及序決策規(guī)則提取也是值得研究的問題.