文/林宇杰

引 言

初中數(shù)學“圓”部分涉及很多的概念與定理，既需要學生牢固記憶與掌握，又需要學生做好解題總結，掌握不同題型的破題技巧和注意事項[1]。在教學實踐中，為使學生掌握豐富的解題經驗，避免在解題中走彎路，促進其解題水平與能力的有效提升，教師既要做好解題理論知識的講解，又要做好解題示范。

一、與“圓”相關的角度類問題

與“圓”相關的角度類問題主要包括求解某一角度的具體值、求解兩個角度的大小比值、求解某一角度的三角函數(shù)值三種類型[2]。中考中對該類問題的考查常與其他幾何知識結合起來，主要有四邊形、三角形等。解答這三種類型問題時，學生需要在明確解題思路的基礎上，靈活運用“圓”與其他幾何圖形的性質，構建已知條件與要求解角度之間的內在聯(lián)系。該問題的解題思路為：認真審題，明確哪些角度、線段已經給出；結合給出的已知條件，思考蘊含在背后的等量關系，如知道某一角度、線段后，結合圓、幾何圖形的性質，還可以推理出哪一角度大小、線段長度；然后，通過相關計算以及角度、線段的等量代換，得出最終結果。

例題：如圖1，已知圓內接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C圓的切線和AD的延長線交于點E，若點D是弧AC的中點，∠ABC=70°，則∠AEC的值為（ ）。

圖1

A.80° B.75° C.70° D.65°

該題考查圓內接四邊形的性質，即四邊形的對角互補、“圓”等弧所對的圓周角相等以及“圓”的弦切角定理等。在解題時，為方便找到角度間的等量關系，可將給出的角度標注在圖形中，而后結合圖形性質逐一進行分析、推理，直到將要求解的角度大小計算出來[3]。

由題意可知，ABCD是圓的內接四邊形，且∠ABC=70°，則∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。點D是弧AC的中點，即AD=DC，則∠EDC=2 ∠EAC，由∠ADC+∠EDC=180°，可得∠EDC=180°-∠ADC=180°-110°=70°，則∠EAC=35°，由CE為圓的切線可知，∠ECA=∠ABC=70°，則在△AEC中∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-35°-70°=75°，選擇B 項。

二、與“圓”相關的線段類問題

與“圓”相關線段類問題是中考的常考問題。縱觀整個初中數(shù)學可知，求解線段長度需要用到的知識點主要有勾股定理、三角形全等、三角形相似等。從這一點來看，解題時需要充分利用已知條件向這三個方面靠攏[4]。為迅速地突破該類問題，應運用以下思路進行分析：首先分析要求解的問題，在此基礎上進行逆向推理，思考要想求出最終的結果，需要先求解出哪些參數(shù)；確定已知條件中給出的線段長度、角度關系，看給出已知條件是否能夠集中到一個圖形中，若不能則需要考慮是否滿足三角形相似、三角形全等的判定條件，其中三角形相似可借助對應邊的比例相等，三角形全等可借助對應邊相等，求出相關參數(shù)。

例題：如圖2，在直角三角形ABC中AC⊥BC，E為AB上一點，以AE為直徑的圓O和BC相切于點D，且AE=5，AC=4，則BE的長為（ ）。

圖2

C.3 D.1

該題要求BE的長，而題干中已經給出圓O的直徑，便間接地告知EO、AO的長。思考BE和已知的線段之間存在哪些關系呢？根據已知條件可知△ABC為直角三角形，而且連接OD不難得出△OBD也為直角三角形。通過設出BE的長運用三角形相似，構建對應線段的比例關系，便可順利求解出BE的長。

連接OD，因點D是圓的切點，因此，∠ODC=90°。而AC⊥BC，則∠ACB=90°。則△ODB∽△ACB。OB/AB=OD/AC，由AE=5，AC=4，可知圓O的半徑為，即OD=OE=2.5，OB=BE+OE，AB=AE+BE，即，解得，選擇A 項。

三、與“圓”相關的坐標類問題

在中考中，與“圓”相關坐標類問題常結合平面直角坐標系設問[5]。解答該類問題的關鍵在于能夠靈活運用轉化思想，將要求解點的坐標轉化為線段的長度，然后運用相關幾何知識進行作答。解答該類問題的思路多種多樣，特別是解答與動點最值相關的坐標類問題時需要找到動點運動過程中變與不變的量，通過做出輔助線路線對應的圖形，運用圖形性質確定最大值或最小值時動點的具體位置，再結合圖形性質、角度關系計算出坐標。該類問題技巧性較強，因此，教學實踐中教師應注重與學生積極互動，給予其有針對性的啟發(fā)，使其逐漸找到解題思路。

例題：如圖3，已知在平面直角坐標系xOy中點P為直線y=2 上的一個動點，圓P的半徑為1，直線OQ和圓P切于點Q，當線段OQ為最小值時，Q點的坐標為_____。

圖3

為了幫助學生更好地找到解題思路，提高其解題的自信，在實踐中可設計如下問題，要求其思考、作答：（1）連接PQ，思考點P運動過程中PQ的長度以及和OQ直線的關系是否發(fā)生變化，為什么？（2）如何使用勾股定理表示出OQ的長度？（3）OQ最小時對應OP的長度是怎樣的？當學生正確地回答上述問題時，也就不難找到解題思路。

連接OP，由Q點為OQ和圓P的切點可知，∠PQO=90°，則由勾股定理得到：PQ為圓P的半徑1，且長度保持不變。因此，當OQ最小時，OP應最短。顯然到點P在y軸上時OP最短，此時OP=2，則設點Q的橫坐標為x，則在△POQ中，由面積相等可知代入數(shù)據解得，則Q點的縱坐標為因此，點Q的坐標為

四、與“圓”相關的證明類問題

在中考中，與“圓”相關的證明類問題，主要包括證明角度與角度的相等關系、證明線段與線段的相等關系、證明三角形相似和全等、證明線段之間的乘積或比例相等等情境。其中不同的情形有著有針對性的解題思路，證明時可運用逆向思維進行推理[6]。其中，證明三角形相似或全等時，有時需要應用其他三角形的相似或全等進行過渡，以確定角度、線段的關系。另外，證明線段乘積相等關系時應注重將其轉化為線段之間的比例關系，借助三角形相似得出最終結論。

例題：如圖4，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E，連接BD。

圖4

求證：（1）△EDA∽△EBD；（2）ED·BC=AO·BE。

對于問題（1） 根據經驗只需要證明∠ADE=∠DBA即可，而聯(lián)系圓的弦切角定理可知，只需要證明CD是圓O的切線，連接OD后，證明∠CDO=90°，因此只需證△CDO≌△CBO；問題（2）可將線段乘積轉化成線段比例，通過等量代換將其轉化到兩個三角形中，證明三角形相似即可。

（1）連接OD，由弦AD//OC可知∠DAO=∠COB，由AO=OD，可得∠DAO=∠ADO，而∠ADO=∠DOC，則∠DOC=∠COB，由DO=OB，CO=CO，則△CDO≌△CBO，∠CDO=∠CBO，因BC為圓O的切線，則∠CBO=90°，因此，∠CDO=90°，則直線CD也是圓O的切線，則∠ADE=∠DBA，而∠E=∠E，則△EDA∽△EBD。

（2）由（1）可知∠EDO=∠EBC=90°，∠E=∠E，△EDO∽△EBC，則ED/BE=DO/BC，而AO=DO，則ED/BE=AO/BC，即ED·BC=AO·BE。

五、與“圓”相關的最值類問題

與“圓”相關的最值類問題難度較大，在中考中屬于拉分題型[7]。該類問題之所以拉分在于部分學生不會運用轉化思想化動為靜。在教學實踐中，為使學生更好地找到該類問題的解題思路，教師應注重為學生講解轉化思想的重要性，引導其在心理上不能有畏懼感，應樹立必勝的信心。

例題：已知圓O是一個半徑為2 的圓，P是圓O上一頂點。A、B為圓O上的兩個動點，且∠APB=30°，C為PB的中點（如圖5），則A、B兩點運動的過程中，線段AC的最大長度為（ ）。

圖5

該題涉及圓上的兩個動點，難度較大。解題時應注重及時做出輔助線，充分利用點C是PB的中點這一關系構建對應的三角形，確定AB運動過程中不變的量。同時，分析要求解的線段與其他線段構成什么樣的圖形，聯(lián)系圖形性質找到其最大值。如該題中需要應用到三角形的三邊關系。

根據題意連接OA、OB、OP，取OB的中點為點M，連接CM，AM。由∠APB=30°可知，∠AOB=60°，△AOB為等邊三角形。圓O的半徑為2，因此由勾股定理可得由C為PB的中點，可知在△POB中，CM為其中位線。由中位線的性質可知，OP=1。在△AMC中，結合三角形三邊關系可知，，因此AC的最大值為，此時A、M、C三點共線，選擇B 項。

結 語

能否取得理想的中考成績、升入理想的高中，中考數(shù)學成績起著決定性作用。中考數(shù)學中“圓”是必考知識點，相關習題占有較高分值。在教學實踐中，為提高學生解答“圓”問題的能力，提高學生數(shù)學考試成績，教師應做好“圓”基礎知識的講解，使學生真正地理解與掌握。同時，結合教學進度做好經典例題的講解，并積極組織學生開展有針對性的訓練活動，使其及時將學到的解題思路應用到具體的解題過程中，提高應用的靈活性，真正做到學以致用、舉一反三。