孫穎倩，周立群，王 宇，張詩茹，張渝佶

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

二次規(guī)劃問題是一類非線性規(guī)劃問題，其在投資組合、決策規(guī)劃和資源分配等方面具有廣泛應(yīng)用.由于非線性規(guī)劃問題難以求得精確解，多數(shù)情況采用近似或局部最優(yōu)解代替.文獻(xiàn)[1]給出了一類利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解線性規(guī)劃問題的良好方案，但僅能保證局部最優(yōu)解.為優(yōu)化非線性規(guī)劃問題的求解方案，文獻(xiàn)[2]引入了時滯項，利用Lagrange函數(shù)構(gòu)造時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，解決了一類等式約束的二次規(guī)劃問題，給出了解的存在性和系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[3]在不涉及Lagrange乘子，不考慮原始對偶問題的情況下，利用投影的方法求解了一類有界約束的凸二次優(yōu)化問題.文獻(xiàn)[4-7]利用不同的時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解，分別利用線性矩陣不等式、Lyapunov泛函和內(nèi)積的性質(zhì)研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點的穩(wěn)定性.

比例時滯是一種無界時變時滯，其無界性給比例時滯系統(tǒng)的動力學(xué)研究帶來許多困難.2011年，周立群將比例時滯引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，對比例時滯項的處理提出了一些較好的方法.目前，比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究已經(jīng)取得了一些進(jìn)展.如，文獻(xiàn)[8-9]分別利用特殊線性變換和Poincaré映射證明了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點的存在性，利用M矩陣的性質(zhì)和Lyapunov泛函研究了全局漸近穩(wěn)定性和多項式穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10]利用同胚映射證明了多比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點的存在性，并利用時滯微分不等式給出全局指數(shù)穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[11]利用不動點定理的方法證明了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的周期解的存在性，通過構(gòu)造時滯微分不等式得到了系統(tǒng)反周期解的指數(shù)穩(wěn)定性的判定準(zhǔn)則.文獻(xiàn)[12]應(yīng)用Lyapunov泛函的方法給出了具比例高階廣義細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)周期性的充分條件.文獻(xiàn)[13-14]利用Lyapunov泛函和非線性矩陣不等式，討論了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步性、多項式同步性和無源性.此外，文獻(xiàn)[15]利用內(nèi)積性質(zhì)和Lyapunov泛函分析了一類具比例時滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的散逸性.

本文在文獻(xiàn)[6，15]的基礎(chǔ)上，針對一類二次規(guī)劃問題，利用Lagrange函數(shù)法和鞍點定理構(gòu)建比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用范數(shù)性質(zhì)研究該網(wǎng)絡(luò)的解的存在性，通過非線性變換和構(gòu)造合適的Lyapunov泛函以及內(nèi)積的性質(zhì)探討了比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性，并說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點即為二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解.最后通過數(shù)值算例及其仿真驗證了所得準(zhǔn)則的合理性和有效性.

1 預(yù)備知識和模型建立

記I∈Rn×n為單位矩陣.對任意矩陣X∈Rn×n，X＞0表示X為正定矩陣.C（[qt0，t0]，Rn）表示從[qt0，t0]到Rn的所有連續(xù)函數(shù)φ構(gòu)成的集合.PΩ：Rn→Ω為一個投影算子，且對任意x〈·，·〉表示內(nèi)積，〈y，y〉=‖y‖2，y∈Rn.‖·‖為歐幾里得范數(shù)，對任意，其中λmax（ATA）為矩陣ATA的最大特征值.

考慮二次規(guī)劃問題

其中：x=（x1，x2，…，xn）T為決策變量，b∈Rn，Q為半正定矩陣，可行域Ω?Rn為一閉凸集.

針對問題（1）構(gòu)造具比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：x（t）=（x1（t），x2（t），…，xn（t））T為神經(jīng)元在t時刻的狀態(tài)變量為比例時滯因子，滿足0＜q≤1，qt=t-（1-q）t，（1-q）t=τ（t）為時滯函數(shù)，當(dāng)q≠1，t→+∞時，（1-q）t→+∞，即時滯函數(shù)為無界函數(shù)；x（s）=φ（s）為初值函數(shù)，t0≥1，φ（s）∈C（[qt0，t0]，Rn）.

定義1設(shè)稱為Q的對稱分支.若M（Q）為實對稱正定矩陣，則稱Q為亞對稱正定矩陣；若M（Q）為半正定矩陣，則稱Q為亞半正定矩陣.

定義2[16]稱系統(tǒng)（2）的解x*是全局漸近穩(wěn)定的，若x*是穩(wěn)定的，且對任意初始函數(shù)ξ（t），有

定義3對于二次規(guī)劃問題

其中h（x，v）=x-v.問題（3）的Lagrange函數(shù)定義為

其中：v=（v1，v2，…，vn）T，w=（w1，w2，…，wn）T，wi＜0，i=1，2，…，n.滿足

的（x*，v*，w*）稱為L（x，v，w）的鞍點.

引理1[6]（投影定理）x*是變分不等式問題（xx*）TG（x*）≥0的解，當(dāng)且僅當(dāng)x*滿足投影方程

其中ε為任意正數(shù).

引理2[17]令x（s）和u（t）為定義在[a，b]上的非負(fù)實值連續(xù)函數(shù)，u（t）≥0且在[a，b]上可積，若對任意t∈[a，b]，有成立，且g（t）是單調(diào)不減的函數(shù)，則有

引理3[18]設(shè)Ω?Rn為一閉凸集，投影算子PΩ有如下性質(zhì)：

（1）對任意x、y∈Rn，有

（2）對任意w∈Rn，r∈Ω，有

引理4[16]對任意φ（t）∈C（[qt0，t0]，Rn），系統(tǒng)（2）在[t0，T]上存在唯一的連續(xù)解x（t），滿足初始條件x（t）=φ（t），t∈[qt0，t0]，且x（t）在[t0，T]上有界，從而系統(tǒng)（2）的解的存在區(qū)間可以延拓到[t0，+∞）.

引理5問題（3）的解x*=（x*1，x*2，…，x*n）T滿足（x*，v*，w*）是L（x，v，w）=f（x）-wTh（x，v）的鞍點，其中v*=（v*1，v*2，…，v*n）T，當(dāng)且僅當(dāng)存在x*∈Ω（Ω?Rn為非空凸集），w*=（w*1，w*2，…，w*n）T，w*i≤0，滿足如下條件：

證明首先證明，若存在x*、v*和w*，使得（x*，v*，w*）滿足引理5的條件（1）～（3），其中x*為問題（3）的解，則（x*，v*，w*）是L（x，v，w）的鞍點.

由條件（1）可得

由條件（2）以及Lagrange乘子w≤0可得

將x*和v*代入L（x，v，w），由式（5）可得

因此，由式（4）和式（6）可得

由定義3知，（x*，v*，w*）為L（x，v，w）的鞍點.

下面證明若（x*，v*，w*）為L（x，v，w）的鞍點，則x*為問題（3）的解.

設(shè)（x*，w*，v*）為L（x，v，w）的鞍點，則（x*，v*，w*）滿足

由式（7）的第1個不等式，對任意w∈Rn，有（w-w*）T·（x*-v*）≤0成立，所以x*=v*，x*∈Ω.由式（7）的第2個不等式得

將x*=v*代入式（8），得

由w*i≤0，i=1，2，…，n，x-v≤0可得f（x*）＜f（x）.因此x*是問題（3）的解.引理證畢.

注1由上述證明可知，問題（3）的Lagrange函數(shù)的鞍點（x*，v*，w*）滿足x*∈Ω，且f（x*）≤f（x），x∈Rn.因此x*也是問題（1）的解，求解問題（1）即求解問題（3）的Lagrange函數(shù)的鞍點.

下面證明問題（1）的解x*為系統(tǒng)（2）的平衡點.

由引理5的證明知，若（x*，v*，w*）為問題（3）的Lagrange函數(shù)L（x，v，w）的鞍點，由式（8）有

所以，對于x∈Rn，f（x）-（w*）Tx在x=x*取得最小值.

對任意x∈Rn，xTQx=xTM（Q）x，M（Q）是正定矩陣，因而當(dāng)x=x*時，凸函數(shù)（x-Q）取最小值.所以x*和w*滿足

假設(shè)存在v，使得（w*）T（v-v*）＜0.由式（8），對任意x∈Rn，有

而當(dāng)x=x*時上式不成立.所以，對任意v∈Ω，（w*）T（v-v*）≥0.根據(jù)投影定理，上式等價于

將v*=x*代入式（11）得

將式（10）代入式（12）得

因此，由式（13）可給出問題（1）的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（2）.

綜上，系統(tǒng)（2）的平衡點為問題（1）的解，當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點穩(wěn)定時，該平衡點為二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

2 主要結(jié)果

定理1對任意φ（t）∈C（[qt0，t0]，Rn），系統(tǒng)（2）在[t0，+∞）上存在唯一的連續(xù)解x（t）.

證明設(shè)

若φ、γ∈Rn同時為系統(tǒng)（2）的解，則有

故g（x（t））在C（[qt0，t0]，Rn）上是Lipschitz連續(xù)的.從而對于φ（t）∈C（[qt0，t0]，Rn），系統(tǒng)（2）在[t0，T]上存在符合初始條件的唯一的連續(xù)解x（t）.

記x*為系統(tǒng)（2）的平衡點，則有

其中：λ1=4+ε‖M（Q）‖，λ2=3+ε‖M（Q）‖.

對任意t∈[t0，T]，有和x（t）=φ（t），t∈[qt0，t0]，從而有

由引理2可得

故x（t）在[t0，T]有界.根據(jù)引理4，系統(tǒng)（2）在[t0，+∞）存在連續(xù)解x（t）.定理證畢.

定理2若M（Q）是半正定的，則系統(tǒng)（2）的解x*是全局漸近穩(wěn)定的.

證明設(shè)y（t）=x（et），求導(dǎo)得

取τ=-lnq≥0，則系統(tǒng)（2）變換為

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

其中：

設(shè)y*為系統(tǒng)（14）的平衡點，容易驗證y*=x*.

對V1（t）沿系統(tǒng)（14）的軌跡求導(dǎo)，得

利用內(nèi)積的性質(zhì)可得

結(jié)合式（17）和式（18），利用引理4可得

對V2（t）求導(dǎo)可得

對式（15）求導(dǎo)，并將式（19）和式（20）代入，得

當(dāng)且僅當(dāng)y（t）=y*時，，此時x（t）=x*.由定義2知，系統(tǒng)（14）的解是漸近穩(wěn)定的.當(dāng)t→+∞時，‖y（t）‖→+∞，此時V（t）→+∞，又因為y（t）=x（et），則系統(tǒng)（2）的解是全局漸近穩(wěn)定的，此時的平衡點就是二次規(guī)劃問題（1）的全局最優(yōu)解.定理證畢.

注2由式（13）可以給出問題（1）的形式更一般的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中μ、σ均為正數(shù).若M（Q）為半正定矩陣，則系統(tǒng)（22）是全局漸近穩(wěn)定的.事實上，只需將定理2證明中的Lyapunov函數(shù)的V2（t）改為

其余部分及證明過程同定理2一致.

注3在系統(tǒng)（2）中取q=1，或在系統(tǒng)（22）中取q=μ=σ=1，則得到無時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（23），本文的結(jié)論仍然成立.

3 數(shù)值算例及仿真

例1考慮二次規(guī)劃問題：

圖1 問題（24）對應(yīng)的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相軌跡Fig.1 Phase trajectories of projection neural network with proportional delays corresponding to Problem（24）

圖2 問題（24）對應(yīng)的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間響應(yīng)曲線Fig.2 Time response curves of projection neural network with proportional delays corresponding to Problem（24）

例2考慮二次規(guī)劃問題：

故M（Q）為正定矩陣，從而矩陣Q為亞正定矩陣，由定理2可知，二次規(guī)劃問題（25）有唯一的最優(yōu)解，該最優(yōu)解為問題（25）對應(yīng)的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（2）的平衡點x*=（-2.747 0，1.417 9，2.655 4）T，并且它是全局漸近穩(wěn)定的.問題（25）對應(yīng)的投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相軌跡和時間響應(yīng)曲線分別見圖3和圖4，可以看出，不同初值的解軌跡最終收斂到平衡點x*.

圖3 問題（25）對應(yīng)的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相軌跡Fig.3 Phase trajectories of projection neural network with proportional delays corresponding to Problem（25）

圖4 問題（25）對應(yīng)的比例時滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時間響應(yīng)曲線Fig.4 Time response curves of projection neural network with proportional delays corresponding to Problem（25）

4 結(jié)論

本文針對一類閉凸集上的二次規(guī)劃問題，利用投影定理和Lagrange函數(shù)法構(gòu)造比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，說明了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點就是二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解.基于變換后的系統(tǒng)構(gòu)造Lyapunov泛函，證明了該網(wǎng)絡(luò)在一定條件下是全局漸近穩(wěn)定的.本文結(jié)果是對以往的凸二次規(guī)劃問題的推廣，并且給出了比例時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型平衡點和二次規(guī)劃問題最優(yōu)解的關(guān)系.最后通過數(shù)值算例及仿真驗證了全局漸近穩(wěn)定性準(zhǔn)則的有效性.