古土城

廣東省廣州市江南外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 510240

課例背景

2020年12月，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)教師教育專家工作室與廣州市王杰航名教師工作室、廣州市鄭燕名教師工作室聯(lián)合舉辦西蒙數(shù)學(xué)研討會(huì)，其主題為“認(rèn)知心理學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)”，此課例是研討會(huì)上的一節(jié)展示課.

教材內(nèi)容分析

本節(jié)是義務(wù)教育教科書人教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第4章“幾何圖形初步”第3節(jié)“4.3.2角的比較與運(yùn)算”的教學(xué)內(nèi)容.角的和差、角平分線的定義性質(zhì)等，是比較基礎(chǔ)的幾何知識(shí)點(diǎn)，有著廣泛的應(yīng)用，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、四邊形等內(nèi)容的必備基礎(chǔ).本節(jié)課主要是通過(guò)對(duì)線段求值與角度求值的比較與歸類，探索角的和差表示、角平分線的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用.因此，除了具體的知識(shí)技能外，還需要讓學(xué)生感受類比的思想方法，為今后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

學(xué)情分析

七年級(jí)學(xué)生初具抽象思維能力、邏輯思維能力，直觀思維比較突出，模仿學(xué)習(xí)能力較強(qiáng).任教的7班，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好，經(jīng)過(guò)3個(gè)月的磨合后，他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣更加濃厚.再結(jié)合他們的年齡和心理特征，可采用“問(wèn)題解決”“題組教學(xué)”的形式貫穿課堂，盡可能多地讓學(xué)生動(dòng)手操作、運(yùn)算、及時(shí)反饋，突出新知識(shí)的探索過(guò)程.習(xí)題設(shè)置須注意梯度的設(shè)置，并搭建腳手架助其理解應(yīng)用.

考慮到任教班學(xué)生的整體學(xué)習(xí)能力較好，將“角的比較與運(yùn)算”的內(nèi)容分2課時(shí)完成，在課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加拓展內(nèi)容，促其深度學(xué)習(xí).在第1課時(shí)中，學(xué)生探究了角的比較、無(wú)圖形背景的純角度計(jì)算（含度、分、秒等單位）.本節(jié)課是第2課時(shí)，在線段求值、角度的大小比較的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)角度求值，學(xué)生比較容易接受.在學(xué)生對(duì)“利用和差、中點(diǎn)等特殊點(diǎn)的性質(zhì)、方程思想”求線段，有所理解之后，再遷移到學(xué)習(xí)角度的求值就水到渠成.同時(shí)，要把文字語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言匹配起來(lái)，對(duì)部分學(xué)生而言仍較困難，因此教學(xué)重點(diǎn)放在，通過(guò)類比，學(xué)習(xí)角的和差、角平分線的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用.解決無(wú)圖問(wèn)題時(shí)，輔以適當(dāng)?shù)氖纠敢龑W(xué)生對(duì)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的準(zhǔn)確表達(dá).

目標(biāo)分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）類比線段的學(xué)習(xí)方法，理解角的和差，發(fā)現(xiàn)、理解角平分線定義、幾何意義及由其推出的數(shù)量關(guān)系，并會(huì)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行綜合描述.

（2）在應(yīng)用以上方法求角度過(guò)程中，體會(huì)整體思想、方程思想、分類討論等思想方法.

2.教學(xué)重點(diǎn)

類比線段的和差、中點(diǎn)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)角度的和差表示方法、角平分線的定義、性質(zhì).

3.教學(xué)難點(diǎn)

復(fù)雜圖形中角的識(shí)別及和差表示，缺圖時(shí)根據(jù)文字材料對(duì)應(yīng)畫出圖形.

教學(xué)過(guò)程

1.知識(shí)建構(gòu)

（1）情境導(dǎo)入

①泊松分酒問(wèn)題

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)一個(gè)有趣味的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生從事理到數(shù)理的思考，為學(xué)習(xí)新知識(shí)設(shè)懸念，激發(fā)求知欲.為避免不良影響，課堂導(dǎo)入時(shí)將“分酒”改為“分水”.

提問(wèn)：給出長(zhǎng)度分別為15 cm、10 cm兩條線段，你能畫出多長(zhǎng)的線段？

②用三角板畫特殊角

將已知長(zhǎng)度的兩條線段疊合，可得到新長(zhǎng)度的線段.同樣，將不同角的邊疊合在一起，使其頂點(diǎn)重合，且其中一邊重合，可得到新的角.

試用一副三角板畫出盡可能多的特殊角（30°，60°，90°，75°，15°角除外）.

設(shè)計(jì)意圖利用實(shí)物進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生充分動(dòng)手操作，在觀察、想象、展示等活動(dòng)中，感受角的和差的產(chǎn)生過(guò)程.

（2）角的和、差

①如圖1、圖2所示，根據(jù)所畫圖形，識(shí)別角的和與差.

圖1

圖2

◆∠AOB 是______與_______的和，記作∠AOB=______+_______；

◆∠ACB 是_______與_______的和，記作∠ACB=_______+________；

◆類似地，∠HOG 是______ 與______的差，記作∠HOG=_____ -______.∠HFG 是______與______的差，記作∠HFG=_____-______.

在∠AOB的外部OA左側(cè)多畫一條射線OD，則∠CO D=______+_______=_____-______.

②如圖3所示，射線OC，OD在∠AOB內(nèi)部，∠AOB=80°，∠AOD=60°，∠BOC=45°，求∠DOC的度數(shù).

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)示例演練、“例中學(xué)”，學(xué)生可以不必經(jīng)過(guò)陳述性知識(shí)階段而是通過(guò)程序式獲得感知.學(xué)生經(jīng)過(guò)兩個(gè)題目的仿照練習(xí)，在演練中不知不覺(jué)地明確角的和、差表示方法.

（3）角的平分線

類比線段中點(diǎn)，嘗試說(shuō)出角平分線的定義：__________________叫角平分線（二等分線）.

符號(hào)語(yǔ)言：如圖4所示，因?yàn)镕G是∠HFO的平分線，所以∠OFG=∠HFG=∠HFO，∠HFO=2∠HFG=______.

圖4

類似地，還有三等分線、四等分線、五等分線……n等分線.

設(shè)計(jì)意圖從線段中點(diǎn)到角的平分線，形成正遷移，發(fā)展學(xué)生合理猜想的能力，體會(huì)類比思想.同時(shí)通過(guò)“幾何模型—圖形—文字— 符號(hào)”的學(xué)習(xí)程序，讓學(xué)生多方位理解角平分線的性質(zhì).

2.學(xué)習(xí)遷移

（1）已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分線，則∠BOM=______.

（2）如圖5所示，∠AOB=80°，若OC，OD，OE，OF 是∠AOB 的五等分線，則∠AOF=_______°，∠EOB=________°，∠COF=______∠DOB.

圖5

設(shè)計(jì)意圖第（1）題直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)，第（2）題通過(guò)五等分線求角度、角之間的關(guān)系，體會(huì)角度的倍、分關(guān)系.“做中學(xué)”體現(xiàn)學(xué)生由模仿學(xué)習(xí)到再創(chuàng)造，在解決問(wèn)題中體驗(yàn)成功的快樂(lè)，又能獲得大量的隱性知識(shí)，增強(qiáng)題感，訓(xùn)練直覺(jué)思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的獲取和認(rèn)知技能的發(fā)展.

（3）已知∠AOB=80°，OM平分∠AOB，以射線OB為一邊的∠BOC=30°，求∠COM的度數(shù).

（4）已知∠AOB=80°，以射線OB為一邊的∠BOC=30°，OM平分∠AOC，求∠COM的度數(shù).

小結(jié)：__________________

設(shè)計(jì)意圖第（3）（4）題缺圖，滲透分類討論思想，當(dāng)圖形位置未定時(shí)，要考慮存在不同情況.第（4）題改編于七年級(jí)《陽(yáng)光學(xué)業(yè)評(píng)價(jià).數(shù)學(xué)》下冊(cè)（廣州市教育研究院研發(fā)）第119頁(yè)中的問(wèn)題探究“已知線段AB=8 cm，直線AB上有一點(diǎn)C，且BC=3 cm，M是線段AC的中點(diǎn)，求AM的長(zhǎng).”從線段的分類遷移到求角度的分類，體會(huì)“角與角組合時(shí)，當(dāng)角的一邊位置不確定時(shí)，可以得到不同大小的角”.

（5）如圖6所示，O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=53°18′，若OM，ON分別平分∠AOC、∠BOC.①∠BOC=______；②∠AOM=______；③求∠NOM的度數(shù)；④題目中的∠AOC度數(shù)改為α°，其他條件不變，求∠NOM的度數(shù).

圖6

小結(jié)：__________________

設(shè)計(jì)意圖本題源自人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第136頁(yè)例1，將原題中的“∠AOC=53°17′”改為“∠AOC=53°18′”，同時(shí)增加用平分線求角度，改度數(shù)是為了降低計(jì)算對(duì)角平分線性質(zhì)應(yīng)用的影響.第④問(wèn)，讓學(xué)生感受整體思想、從特殊到一般的思想，進(jìn)一步理解出現(xiàn)雙平分線時(shí)，局部角度的大小，不影響整體的結(jié)果.

3.能力拓展

已知∠AOB內(nèi)部有兩條射線OM，ON，OM將∠AOB分成兩部分，∠AOM ∶∠MOB=2 ∶3.ON也將∠AOB分成兩部分，∠AON ∶∠NOB=4 ∶1，且∠MON=30°.求∠AOM，∠NOB的度數(shù).

設(shè)計(jì)意圖題目不配圖，需根據(jù)文字材料對(duì)應(yīng)畫圖才能解決問(wèn)題，且涉及角度和差、比例等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，更能訓(xùn)練優(yōu)等生的數(shù)學(xué)思維和規(guī)范表達(dá)能力.形式不同的習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生解題的變通性、靈活性和創(chuàng)造性.尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需求.

4.總結(jié)與反思

求角的方法有：________________

以怎樣的方式去研究角度求值：_________________________________

易錯(cuò)點(diǎn)：______________________

數(shù)學(xué)思想方法：________________

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生自行小結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法，使知識(shí)系統(tǒng)化.

5.課后作業(yè)

（1）如圖7所示，用“=”“＞”或“＜”填空.

圖7

①∠AOC_____∠AOB+∠BOC；

②∠AOC____∠AOB；

③∠BOD-∠BOC____∠COD；

④∠AOD____∠AOC+∠BOD；

⑤如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC____∠BOD.

（2）射線OC 在∠AOB內(nèi)部，下列選項(xiàng)不能判定OC 是∠AOB 平分線的是（ ）

A.∠AOB=2∠AOC

B.∠AOC=0.5∠AOB

C.∠AOC+∠BOC=∠AOB

D.∠AOC=∠BOC

（3）如圖8所示，已知O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=63°，射線OD，OE 將∠BOC三等分，則∠AOD=________°.

圖8

（4）如圖9所示，已知O是直線CD上一點(diǎn)，OA平分∠BOC，∠AOC=35°，求∠BOD的度數(shù).

圖9

（5）如圖10 所示，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度數(shù).

圖10

6.板書設(shè)計(jì)

4.3.2 角的比較與運(yùn)算（2）

——角的和差 例題

1.角的和差 練習(xí)

2.角平分線定義與性質(zhì)：

符號(hào)語(yǔ)言：

7.附件

“線段求值”認(rèn)知工作單（此處略）.

教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

1.教法

本節(jié)課以“類比法”為主線開展教學(xué)活動(dòng).教學(xué)中通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，借助研究線段求值的方法，不斷提出富有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，類比發(fā)現(xiàn)角度的和差、角平分線的定義、性質(zhì)和求法.

2.學(xué)法

借助“西蒙數(shù)學(xué)”理論設(shè)計(jì)認(rèn)知工作單，用于導(dǎo)思、導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)練，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)有章可循.“西蒙數(shù)學(xué)”源自美國(guó)科學(xué)家赫伯特·西蒙（H.A.Simon）.三十多年前，身披“認(rèn)知心理學(xué)家”“人工智能之父”“諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主”之譽(yù)的西蒙，因?yàn)檎J(rèn)知心理學(xué)上的共識(shí)，與中國(guó)科學(xué)院心理學(xué)家朱新明雙劍合璧，對(duì)“自適應(yīng)產(chǎn)生式系統(tǒng)”進(jìn)行深入的研究，并建構(gòu)了“示例演練”學(xué)習(xí)模型［1］.近二十年來(lái)，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院謝明初教授，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科“高度概括和抽象”等特點(diǎn)，在原有的模型基礎(chǔ)上，運(yùn)用建構(gòu)主義和情境認(rèn)知理論，從教法學(xué)法等多個(gè)角度，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行哲學(xué)的闡述，提出了“西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法”［2-6］.這是建立在“人類自適應(yīng)學(xué)習(xí)”理論基礎(chǔ)上，將人工智能和現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究成果運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)代教學(xué)法，其核心理念是將部分陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)“例中學(xué)、做中學(xué)”幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

利用工作單，以問(wèn)題串的形式，一步步引導(dǎo)學(xué)生積極思考，同時(shí)借鑒前面所學(xué)的線段求值的思路、方法，探索角度的求法，促其從“被動(dòng)學(xué)習(xí)”變?yōu)椤爸鲃?dòng)學(xué)習(xí)”，經(jīng)歷“觀察、類比、發(fā)現(xiàn)、歸納”的過(guò)程，多種感官參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，真正成為學(xué)習(xí)的主體，在探索中發(fā)展運(yùn)算能力、推理能力.

教學(xué)反思

1.立足建構(gòu)主義，設(shè)“工作單”導(dǎo)思導(dǎo)學(xué)

建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)活動(dòng)并非對(duì)已有知識(shí)的簡(jiǎn)單接受，而是以主體已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)，這種建構(gòu)是無(wú)法由他人來(lái)代替的.“西蒙數(shù)學(xué)”主張以“知識(shí)建構(gòu)——學(xué)習(xí)遷移——能力拓展——總結(jié)與反思”的框架，設(shè)計(jì)、編寫認(rèn)知工作單，把數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)認(rèn)知工作單的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿魇降慕?gòu)學(xué)習(xí).

本節(jié)課中，在知識(shí)建構(gòu)的環(huán)節(jié)，先是以“泊松分酒”的數(shù)學(xué)名題，創(chuàng)設(shè)了趣味性情景，引發(fā)學(xué)生思考其與新知的聯(lián)系；再通過(guò)以三角板畫特殊角的活動(dòng)，并以產(chǎn)生式理論為指導(dǎo)設(shè)計(jì)問(wèn)題，形成題組，讓學(xué)生在“做中學(xué)”體會(huì)角的和差表示.這些設(shè)計(jì)根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有水平，遵循“小步教學(xué)、及時(shí)反饋”的原則，以示例的方式助學(xué)生建構(gòu)新的知識(shí).后面的學(xué)習(xí)遷移，以問(wèn)題串的形式呈現(xiàn)求角的變式練習(xí)，學(xué)生即思即做即評(píng)，及時(shí)反饋，強(qiáng)化學(xué)生的自我效能感；能力拓展環(huán)節(jié)，設(shè)置涉及方程思想、整體思想，綜合性更強(qiáng)的題目，供學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)；總結(jié)與反思，用以歸納求線段與求角的異同、解題規(guī)律、思想方法，這些環(huán)節(jié)體現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的精加工.

2.遵循認(rèn)知規(guī)律，學(xué)習(xí)遷移求“聯(lián)”求“變”

按照教育心理學(xué)的觀點(diǎn)［7］，初中生思維發(fā)展的主要特點(diǎn)是思維逐步符號(hào)化，但在抽象概括事物屬性時(shí)，大多數(shù)仍依賴感性經(jīng)驗(yàn).如果解決問(wèn)題所需的抽象概括水平超出他們的心理水平，思維自然也就中斷，從而成為思維障礙.因此多位學(xué)者提出建議，要遵循認(rèn)知規(guī)律，在數(shù)學(xué)教學(xué)的疑難抽象處，使用形象直觀的方法有效化解難點(diǎn).因此，在開始的三角板畫特殊角及定義角平分線的環(huán)節(jié)，都是以直觀的方式，讓學(xué)生感知圖形與幾何語(yǔ)言的匹配，再逐漸深入知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用.

另一方面，本節(jié)課主要采用類比的方式展開教學(xué)活動(dòng).認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，類比學(xué)習(xí)的一般過(guò)程主要包含信息輸入、模式匹配、檢驗(yàn)、修正等步驟［8］.在線段求值到角求值的類比學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)先對(duì)角的和差表示等內(nèi)容進(jìn)行表征，再根據(jù)求線段長(zhǎng)度的策略、方法的相似性，建立兩者之間的聯(lián)系，再通過(guò)同化或順應(yīng)，獲得解決求角相關(guān)問(wèn)題的方法.

在較復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程中，布魯納、維果斯基等建構(gòu)主義者皆有共識(shí)，他們提出要搭建認(rèn)知支架，對(duì)高層次的學(xué)習(xí)而言尤為重要.本節(jié)課的學(xué)習(xí)遷移部分，以題組的形式呈現(xiàn)應(yīng)用角平分線求角的變式訓(xùn)練，并進(jìn)行題后小結(jié).前兩題較簡(jiǎn)單，屬于較低的認(rèn)知起點(diǎn)，通過(guò)樣例學(xué)習(xí)即可解答，第（3）（4）題開始增加難度，從有圖到無(wú)圖，前后聯(lián)結(jié)，形成有梯度的認(rèn)知序列，助學(xué)生遷移到較高級(jí)的學(xué)習(xí)，再通過(guò)小結(jié)方法，從具體到抽象概括，形成規(guī)律.這樣的設(shè)計(jì)，落實(shí)了“四基”中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，也切合了西蒙數(shù)學(xué)“知識(shí)求聯(lián)、技能求變”的理念.

3.精講在關(guān)鍵處，學(xué)法指導(dǎo)貫徹始終

西蒙數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)為主，教師予以學(xué)法指導(dǎo)，在合適時(shí)機(jī)啟發(fā)思考、指引方向.這與自新課改以來(lái)“將更多時(shí)間還給學(xué)生”的理念如出一轍.

從課型的角度分類，本節(jié)課屬于數(shù)學(xué)規(guī)則課，教學(xué)指向發(fā)現(xiàn)角的和差表示的規(guī)則，并以此規(guī)則去解決求角大小的問(wèn)題.根據(jù)廣州市教育研究院譚國(guó)華的研究［9］，數(shù)學(xué)規(guī)則課型的教學(xué)，可結(jié)合皮連生所創(chuàng)的“六步三段兩分支”教學(xué)模型，在第二個(gè)轉(zhuǎn)化階段，提供合適的學(xué)習(xí)樣例，并通過(guò)變式練習(xí)，幫助學(xué)生明確、熟悉運(yùn)用規(guī)則解決問(wèn)題的程序與步驟.

本節(jié)課已提供了學(xué)習(xí)材料，學(xué)生在認(rèn)知工作單的學(xué)習(xí)中，通過(guò)“例中學(xué)”熟悉規(guī)則，在學(xué)習(xí)遷移的“做中學(xué)”應(yīng)用規(guī)則，教師只需在學(xué)生對(duì)概念、性質(zhì)的認(rèn)識(shí)模棱兩可時(shí)，歸納知識(shí)要點(diǎn)時(shí)，在其疑惑處或認(rèn)知障礙處，以設(shè)問(wèn)、追問(wèn)的方式加以點(diǎn)撥.本節(jié)課的難點(diǎn)在于，解決無(wú)圖問(wèn)題時(shí)要根據(jù)文字材料對(duì)應(yīng)畫出圖形，再利用角平分線的性質(zhì)及角的和差表示方法求解.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)漏時(shí)，筆者并非直接點(diǎn)破，而是提出問(wèn)題：“當(dāng)題目沒(méi)有配圖時(shí)，要注意什么問(wèn)題？只有某種情形嗎？”

還有另一處細(xì)節(jié)，在復(fù)習(xí)提問(wèn)“給出長(zhǎng)度分別為15 cm、10 cm兩條線段，你能畫出多長(zhǎng)的線段？”時(shí)，筆者追問(wèn)“怎樣畫？”并以兩支鉛筆示意，啟發(fā)性地提問(wèn)：“把鉛筆看成兩條線段，兩筆拼接時(shí)，不共線可以拼成原來(lái)的長(zhǎng)度和的線段嗎？”幫助學(xué)生從“線段的和差必須共線共端點(diǎn)”的認(rèn)識(shí)，過(guò)渡到后面理解“角的和差必須共頂點(diǎn)且一邊重合”.

另外，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要求學(xué)生帶上前面學(xué)習(xí)使用的“線段求值”認(rèn)知工作單，進(jìn)行類比學(xué)習(xí).在知識(shí)建構(gòu)環(huán)節(jié)中的線段、角的和差表示，中點(diǎn)、角平分線的定義、性質(zhì)，還有學(xué)習(xí)遷移環(huán)節(jié)中的分類討論求線段、角度，能力拓展環(huán)節(jié)中的方程思想求線段、角度，以及最后的“總結(jié)與反思”等部分，皆以類比的方式設(shè)計(jì)的.當(dāng)學(xué)生無(wú)法繼續(xù)向下進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，都可以通過(guò)對(duì)照“線段求值”認(rèn)知工作單，回顧相關(guān)的方法，并將其遷移，解決求角問(wèn)題，整堂課皆有學(xué)法指導(dǎo)貫穿其中.

4.注重歸納總結(jié)，數(shù)學(xué)思想無(wú)痕滲透

西蒙數(shù)學(xué)注重概括總結(jié)，有題后小結(jié)、課堂總結(jié)，歸納知識(shí)要點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法等.如在學(xué)習(xí)遷移第4題后，要求學(xué)生小結(jié)應(yīng)用角平分線性質(zhì)求角的基本思路及無(wú)圖時(shí)的注意事項(xiàng)、分類討論的思想方法.課堂教學(xué)不能僅限于完成練習(xí)、就題論題，更重要的是通過(guò)分析、處理問(wèn)題，尋求題目當(dāng)中蘊(yùn)含的精髓，通過(guò)解一道題，融會(huì)貫通之后，晉級(jí)為解一類題，并能分析、歸納解決問(wèn)題的方法，從中學(xué)出新意.

數(shù)學(xué)教學(xué)除了歸納知識(shí)外，還要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透.新課改強(qiáng)調(diào)“四基”，其中之一就是基本的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)知識(shí)是具體化的、顯而易見(jiàn)的，而思想方法是隱性的、抽象的.本節(jié)課涉及類比思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、整體思想，這些思想的滲透體現(xiàn)在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，猶如一個(gè)人修煉內(nèi)功，因此，在平常的教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生提升無(wú)形的能力.

5.把控教學(xué)節(jié)奏，合理利用生成資源

重新審視本節(jié)課，尚有一些不足之處.

一是課堂節(jié)奏前松后緊.畫角活動(dòng)耗時(shí)過(guò)多，對(duì)后面的學(xué)習(xí)造成影響.此環(huán)節(jié)可做以下優(yōu)化：設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，（1）類比線段的和差，利用長(zhǎng)度為45 cm和30 cm的線段，可畫出長(zhǎng)度為75 cm、15 cm的線段.類似地，利用45°、30°的角，可畫出多大的角？（2）三角板中還有哪些角度？?jī)蓛山M合，能畫出多大的角？（3）這些角有何共同特征？之后可分組請(qǐng)同學(xué)板書演示或投影展示，隨后再順理成章帶出“利用和差表示角”.

二是未能充分利用課堂生成的錯(cuò)誤資源.請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)展示時(shí)，學(xué)生出錯(cuò)，未能及時(shí)得到正確答案，遂請(qǐng)其他同學(xué)更正.學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中不可避免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，一個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，也可能是其他學(xué)生出現(xiàn)的同類錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤暴露出他們思維的誤區(qū)，或是對(duì)角的認(rèn)識(shí)不足，或是未能找到和差的本質(zhì).這是生成性的錯(cuò)誤資源，更應(yīng)充分利用.可細(xì)加引導(dǎo)，讓其自行改錯(cuò)，助其建立信心，然后再即興作簡(jiǎn)單變式，讓其他學(xué)生鞏固和差求角的知識(shí)點(diǎn).

借助西蒙數(shù)學(xué)理論，以認(rèn)知工作單為載體展開教學(xué)，問(wèn)題成串設(shè)計(jì)，形成題組，利于引發(fā)學(xué)生的思考，促其有意識(shí)地發(fā)現(xiàn)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)、歸納知識(shí).學(xué)生在各個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)，提取出概念、理解原理，不知不覺(jué)中習(xí)得新知與技能，獲得問(wèn)題的解決方法，再應(yīng)用法則、規(guī)律，加深認(rèn)知理解.只要材料組織合理，使其適合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，學(xué)生便能自行學(xué)習(xí)，或在教師的指導(dǎo)下拾階而上，掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，并積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，習(xí)得基本思想方法.