王莉璠

江蘇省無錫市僑誼古運(yùn)河中學(xué) 214000

很多數(shù)學(xué)題都有多種解法，我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)中要讓學(xué)生養(yǎng)成發(fā)散思維的習(xí)慣，讓學(xué)生從不同的角度思考問題，以此探尋同一問題不同的解法，這樣有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與解題能力.下面以一道初中求線段長(zhǎng)度最值題為例，談?wù)勅绾螐牟煌慕嵌人伎肌⒎治鰡栴}，進(jìn)而得到不同的解題方法.

題目與分析

如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，連接AC，BD.若BD⊥CD，求AC長(zhǎng)度的最大值.

圖1

這是一道求線段長(zhǎng)度的最值問題，主要考查學(xué)生利用知識(shí)解決問題的能力.解決此題有多種方法，下面進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

思路與解法

視角1將B，C視為定點(diǎn)，D視為主動(dòng)點(diǎn)，A視為從動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)主從動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，利用主動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡判斷從動(dòng)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，再利用點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡解題.

解法1如圖2所示，因?yàn)椤螧DC=90°，BC=4，所以點(diǎn)D在以BC為直徑的圓O上運(yùn)動(dòng).因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形.所以BD=BA.將△BDC及其外接圓O繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△BAC′和圓O′，連接O′A，O′C，C′C.因?yàn)锽C′=BC，∠C′BC=60°，所以△C′BC是等邊三角形.因?yàn)镺′為BC′的中點(diǎn)，所以O(shè)′C=.因?yàn)镺′A為圓O′的半徑，所以O(shè)′A=BC′=BC=2.因?yàn)镃為定點(diǎn)，A為定圓O′上的動(dòng)點(diǎn)，所以AC長(zhǎng)度的最大值=O′A+O′C=

圖2

點(diǎn)評(píng)因?yàn)锽C的長(zhǎng)為定值（BC=4），它所對(duì)的∠BDC 也為定值（∠BDC=90°），因此可將B，C視為定點(diǎn)，D視為動(dòng)點(diǎn).因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，因此點(diǎn)A可視為由點(diǎn)D繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到的.故動(dòng)點(diǎn)D為主動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A為從動(dòng)點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)D在圓O上，因此點(diǎn)A在圓O′（圓O′為圓O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得）上.于是可將求AC的最大值問題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)C與定圓O′上動(dòng)點(diǎn)A之間的距離最大值問題.

視角2將B，C視為定點(diǎn)，因?yàn)镈，A為動(dòng)點(diǎn)，它們之間又有固定的關(guān)系，于是通過旋轉(zhuǎn)把動(dòng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到動(dòng)點(diǎn)D的位置，再利用動(dòng)點(diǎn)D的軌跡解題.

圖3

點(diǎn)評(píng)將B，C視為定點(diǎn)，A，D視為動(dòng)點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)，將動(dòng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到動(dòng)點(diǎn)D的位置，把求AC長(zhǎng)度的最大值問題轉(zhuǎn)化為求DC′長(zhǎng)度的最大值問題.

視角3將∠BDC視為定角，B，C分別視為DB，DC上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)定角對(duì)定邊的三角形的外接圓的半徑為定值的特性，利用三角形的外接圓的圓心構(gòu)造折線段解題.

圖4

點(diǎn)評(píng)將△BAC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到△BDC′，把求AC長(zhǎng)度的最大值轉(zhuǎn)化為求DC′長(zhǎng)度的最大值.因?yàn)椤螧DC為定值（∠BDC=90°），它所對(duì)的邊BC為定值（BC=4），因此將∠BDC視為定角，B，C分別視為射線DB，DC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BDC外接圓的半徑為定值.由于∠BDC=90°，因此△BDC外接圓的圓心O為BC的中點(diǎn).根據(jù)△BDC外接圓的半徑為定值這一特性，利用圓心O在D，C′兩點(diǎn)之間構(gòu)造一條折線段，且組成這條折線段的兩條線段的長(zhǎng)度均為定值，再利用三角形的三邊關(guān)系求DC′長(zhǎng)度的最大值，即得AC長(zhǎng)度的最大值.

視角4將B，C視為定點(diǎn)，將線段BD的長(zhǎng)度視為變量，構(gòu)造關(guān)于線段AC長(zhǎng)度的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.

圖5

點(diǎn)評(píng)因?yàn)椤鰾AD是等邊三角形，BC是定值（BC=4），因此把B，C視為定點(diǎn)，當(dāng)線段BD的長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，會(huì)引起D，A兩點(diǎn)的位置變化，從而引起線段AC長(zhǎng)度的變化.所以設(shè)線段BD的長(zhǎng)度為變量x，構(gòu)造關(guān)于線段AC長(zhǎng)度的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.

求線段長(zhǎng)度最值的常用方法有：軌跡法、構(gòu)造折線段法、構(gòu)造函數(shù)法.根據(jù)這些方法求線段長(zhǎng)度的最值，要么尋找動(dòng)點(diǎn)的軌跡，將所求最值問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線間距離的最值；要么構(gòu)造折線段，利用三角形的三邊性質(zhì)求最值；要么構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.