李孝敏

江蘇省揚州市邗江區(qū)瓜洲初級中學 225100

幾何綜合題的圖形往往是眾多幾何特性的組合，掌握圖形拆解、性質(zhì)分析是解題的關鍵，而從不同視角探究問題，對方法進行優(yōu)化則有助于提升解題能力.下面將對一道幾何綜合題開展解法探究，并深入探索問題，優(yōu)化解題方法.

問題呈現(xiàn)

問題：（2021年江蘇南通市中考卷第25題）如圖1所示，在正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A和D重合），點A關于直線BE的對稱點為點F，連接CF，設∠ABE=α.

圖1

（1）求∠BCF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；

（2）過點C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG.判斷DG與CF的位置關系，并說明理由；

（3）將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點E的對應點為點H，連接BF，HF.當△BFH為等腰三角形時，求sinα的值.

解法探究

本題為幾何綜合題，以正方形為背景，融合了對稱、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)等知識.問題共分三問，分別探究角度關系、分析兩線的位置關系，依托幾何求角度的三角函數(shù)值，解析過程要充分把握圖形結(jié)構，結(jié)合對應知識來構建思路，下面逐問探究.

（1）該問求∠BCF的大小，需用α來表示其大小，實則是探究角度之間的大小關系.題干設定點F與A關于直線為對稱關系，可作輔助線BF，則BE就為AF的垂直平分線，其中存在等角關系，結(jié)合正方形性質(zhì)及三角形內(nèi)角可推導角度關系.

連接BF，如圖2所示，BE為AF的垂直平分線，則有∠BAF=∠BFA，AB=BF.已 知∠ABE=α，則∠BFA=90° -α，∠EBF=α.四邊形ABCD為正方形，由正方形性質(zhì)可推得∠FBC=90°-2α.又知AB=BF=BC，則△BFC為等腰三角形，即∠BFC=∠BCF.結(jié)合三角形內(nèi)角和可推得∠BCF==45°+α.

圖2

（2）該問探究CF與DG的位置關系，在幾何綜合中線段關系一般為相交、平行、垂直，探究時可結(jié)合角度來確定.

設FG與DC的交點為M，AF與BE的交點為N，如圖3所示.由（1）問可知∠ABE=∠FBE=α，∠BAF=∠BFA=90°-α，∠BCF=∠BFC=45°+α，所以∠AFC=∠AFB+∠CFB=135°，∠CFG=180°-∠AFC=45°.又知CG⊥AF，則△CFG為等腰直角三角形，所以.結(jié)合正方形的性質(zhì)可推得△ADC為等腰直角三角形，所以.由條件可推知∠NAE=∠ABE=α.

圖3

（3）該問引入了三角形旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)前后的三角形為全等關系，探究△BFH為等腰三角形時sinα的值，沒有設定三角形的腰，故有三種情形需要分別討論，構建等腰三角形后，利用直角三角形的三邊關系來求sinα的值.

當△BFH為等腰三角形，有三種情形，①FH=BH，②BF=FH，③BF=BH.

①當FH=BH時，過點H作BF的垂線，設垂足為M，如圖4所示.可設AB=BF=BC=a，根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知∠CBH=∠ABE=α，BH=BE，可推知∠FBH=∠ABC-∠ABF=90°-α.由條件可得∠FHB=2α.由于△BFH為等腰三角形，且FH=BH，則∠BHM=∠FHM=α，由等腰三角形的“三線合一”可得BM=MF=.由條件可證Rt△ABE≌Rt△MHB，可得BM=AE=，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得，則sinα=

圖4

②當BF=FH時，設FH與BC的交點為O，如圖5所示，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠CBH=∠ABE=α，結(jié)合（1）問可得∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°-α.因為BF=FH，可推得∠BOH=180°-∠CBH-∠BHF=90°，此時∠BOH與∠BCH相重合，與題目不符，故舍去.

圖5

③當BF=BH時，可設AB=BF=a，由正方形性質(zhì)可得AB=BC=a，從而可推得BF=BH=BC=a，題目中BC、BH分別為Rt△BCH的直角邊和斜邊，故不可相等，顯然與題目不相符，將其舍去.

優(yōu)化探索

上述對一道幾何綜合題進行了解法探究，圖形的綜合性強，所涉三問的問題形式較為常見，但融合了眾多考點，重點考查學生對幾何性質(zhì)定理的靈活運用.上述呈現(xiàn)了問題的基本解法，但從問題的構建過程來看，解題難度大、步驟繁雜，尤其是考題的后兩問，多次運用特殊三角形和特殊關系來推導等角和線段比例.下面進一步探索考題后兩問的解法，開展解法優(yōu)化探究.

1.優(yōu)化第（2）問解法——四點共圓推角度

第（2）問構建了正方形ABCD外的垂足G，探究DG與CF的位置關系，實際上可以利用隱圓模型，即A，D，G，C四點共圓，具體過程如下.

由（1）問可知∠BCF=45°+α，又知∠BCD=90°，所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=45°-α.連接AC，設AC的中點為O，再連接OD，OG.因為∠ADC=∠AGC=90°，所以OD=OA=OC=OG，由圓的定義可知A，D，G，C四點共圓，故可知點O為圓心，以AO為半徑畫圓，如圖6所示.由圓的性質(zhì)可得∠CDG=∠CAG，又知∠CAG=∠CAD-∠DAG=45°-α，所以∠CDG=45°-α=∠DCF，從而有DG∥CF，即兩線為平行關系.

圖6

2.優(yōu)化第（3）問解法——簡化討論情形

上述基于等腰三角形的三種情形進行了分別討論，而其中的兩種情形是不成立，實際上可以在解答的初始就對部分情形簡單分析，具體如下.

情形一：當BF=FH時，有∠FBH=∠FHB=∠BAF=∠BFA，可證△ABF∽△HFB，由相似性質(zhì)可得，所以，代入線段長可得，可解得a=b.因為0＜b＜a，所以BF不等于FH，即該情形不成立.

圖7

評析上述對考題的后兩問進行了解法優(yōu)化，其中第（2）問把握幾何特性構建隱圓模型，由圓的特性推得了關鍵的等角關系；而第（3）問則首先討論了三角形內(nèi)的邊長關系，排除了其中的一種情形，顯著的簡化討論過程.

解后反思

考題探究的重點有兩點：一是引導學生掌握問題解法，二是提升學生解題思維.故完成解題教學后還需要進一步開展反思考題，拓展學生思維，下面提出幾點教學建議.

1.重視結(jié)構分析，提取圖形特性

幾何綜合題圖形往往較為復雜，最為顯著的特點是考查學生對復合圖形的分析能力，即結(jié)合幾何條件理解圖形，把握幾何要素之間的關系，從中剖離特殊圖形，提取幾何特性.因此在實際教學中，需要引導學生掌握讀題構形，特性提取的方法，充分提升學生的圖形分析、構建與拆解模型的能力.教學中可分三個階段進行：第一階段，理解幾何語言，歸納總結(jié)幾何特性；第二階段，指導模型的解讀方法，幫助學生積累圖形拆解經(jīng)驗；第三階段，開展復合圖形分析教學，指導學生掌握圖形解析的步驟及方法.

2.開展解法優(yōu)化，拓展學生思維

綜合性問題的解法往往不唯一，可從不同視角切入解析，構建相應的解題思路，而不同解法之間存在差異，開展方法對比，解法優(yōu)化是十分必要的.如上述探索了問題的常規(guī)解法之外，對方法思路進行了優(yōu)化，第一問構建四點共圓模型，利用模型直接推導等角關系；而第二問討論等腰三角形的情形，簡化了討論的過程.因此教學中要重視考題的方法總結(jié)及優(yōu)化，使學生充分理解方法，可合理開展一題多解，引導學生從不同視角分析圖形，探索方法.探究過程要注意給學生留足思考空間，以提升學生的數(shù)學思維為教學重點.

3.滲透數(shù)學思想，提升綜合素養(yǎng)

從上述幾何綜合題的解析過程可知，其中滲透了化歸轉(zhuǎn)化、構造模型、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法，即在數(shù)學思想的指導下轉(zhuǎn)化問題，解讀構建模型，通過數(shù)形結(jié)合構建思路，逐個討論破解.因此在實際教學中，不僅要指導學生掌握解題方法，還應合理滲透數(shù)學思想，讓學生在解題中感悟思想，理解思想的精髓，達到內(nèi)化吸收的效果.同時章節(jié)教學中可結(jié)合對應內(nèi)容來滲透數(shù)學思想，如函數(shù)與圖像教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，等腰三角形教學中分步討論特性等，讓學生逐步感知思想，體會思想真諦.