劉暢

廣東省東莞市南城陽光實驗中學 523012

筆者在教學“直線與圓的位置關(guān)系”時，為了能夠引導學生進行深度思考，結(jié)合教學內(nèi)容精心籌備，在數(shù)學思維的助力下，去培養(yǎng)學生自主分析問題和自主解決問題的能力，進而提高他們的數(shù)學核心素養(yǎng).

直覺思維促源起

數(shù)學直覺思維是對數(shù)學對象的最直接感悟，雖然其具有一定的瞬間性和不確定性，但卻是開啟學生思維的起點.在新知教學中，教師需要調(diào)動學生的一切與問題相關(guān)的數(shù)學意識，從而開啟認知的大門，促使他們領(lǐng)悟數(shù)學對象的本質(zhì).要想啟發(fā)學生的直覺思維，教師應將課堂教學主體定位于學生，將教學的引入點定位于學生的已有認知或已有經(jīng)驗，進而讓學生的數(shù)學思維在開放的、平等的空間內(nèi)不斷提升.

環(huán)節(jié)1：借助生活現(xiàn)象，感悟位置關(guān)系

師：我們都看過日出，你眼中的日出與視頻的相比哪個更美呢？（教師用視頻展示太陽從海平面逐漸升起的畫面.）

生齊聲答：視頻里的美！

借助生活情境為后面問題的引出奠定了基礎(chǔ)，同時結(jié)合現(xiàn)代多媒體技術(shù)，使數(shù)學課堂變得更加生動，課堂氣氛和諧.

師：如果將“太陽”看作“圓”，將“海平面”看作“直線”，聯(lián)想一下剛剛視頻中太陽升起的過程，你能說說兩者的位置關(guān)系嗎？（學生回憶時，教師在黑板上畫出圓O，用直尺上下移動，進一步啟發(fā)學生思維）

生1：我認為可以根據(jù)交點個數(shù)來分，分為三類，分別為0個、1個和2個.

師：你能根據(jù)剛剛的視頻描述一下嗎？

生1：在沒有看到“太陽”時，“太陽”與“海平面”沒有交點；隨著時間的推移，慢慢地我們看見了“太陽”，這時有兩個交點；當太陽升起至某一位置時，兩者僅有一個交點.

師：說得很形象，你們是不是也是這樣分類的呢？

在此環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)了學生熟悉的問題情境，學生根據(jù)生活經(jīng)驗和直觀感受快速地對問題做出了判斷.雖然直觀思維沒有邏輯思維那么嚴謹，但是在日常生活中最為常用，也是數(shù)學知識發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的動力源.要知道數(shù)學知識源于生活，大多數(shù)學概念、公式、定理等內(nèi)容都是從生活中不斷抽象、不斷實踐提煉出來的.人對知識最初的感知就是源于直覺，為此在數(shù)學教學中，教師應善于利用一些教學情境來激發(fā)學生的直覺思維，先讓學生對問題形成一個直觀感受，接下來通過恰當?shù)膯栴}激發(fā)學生運用所學知識去驗證和推理，將其提煉和抽象為數(shù)學認知.如在探究直線與圓的位置關(guān)系時，教師通過引入恰當?shù)那榫匙寣W生迅速地對問題做出了直觀的判斷，從而得出了直線與圓的位置關(guān)系的分類，這樣既淡化了數(shù)學的抽象感，又用直觀的思維方式讓學生對知識有了初步的認知.

邏輯思維促生成

經(jīng)過前面問題的鋪墊，學生對直線與圓的位置關(guān)系有了感性的認知.我們?nèi)绾斡脭?shù)學語言來嚴格證明這些關(guān)系呢？通過“由形到數(shù)”的探究，引導學生用準確的數(shù)學語言進行表述，并將位置關(guān)系抽象為用r與d的大小關(guān)系來判斷的問題.這樣的過程充分培養(yǎng)了學生的邏輯思維.

環(huán)節(jié)2：量化分析

師：通過直觀觀察我們知道了直線與圓存在三種關(guān)系，按照交點個數(shù)的0個、1個和2個分別將其定義為相離、相切和相交.聯(lián)想黑板上圓與直尺的位置關(guān)系，如果將其用圖形來表達改為用數(shù)量來刻畫，應該如何操作呢？（學生沉思）

生2：黑板上的圓O是固定的，當直尺從下逐漸向圓移動時，直線與圓越來越近，為此可以用遠近的值進行刻畫.

師：說得很好，為了便于表達，你認為在圓上取哪一點為參照更易于表達呢？（教師引導學生選擇圓心）

生3：我認為可以選擇圓心，因為圓上有無數(shù)個點，而圓心最為特殊，更易于觀察.

師：說得非常好，應該如何表述呢？

生4：圓心為點，可以利用點到直線的距離這個數(shù)量關(guān)系表述.

生5：我感覺這樣表述缺少一些東西，隨著直線的移動，點到直線有無數(shù)個距離，若沒有一個距離值作為參照，很難正確表述.

師：這確實是一個問題，你認為我們還應該知道什么呢？

生5：還應該知道半徑的大小.

在此環(huán)節(jié)，教師通過問題的引導啟發(fā)學生進行邏輯分析.通過探究學生發(fā)現(xiàn)了圓心到直線距離與半徑的關(guān)系.通過量化分析，知曉了問題的核心，當圓O與直線l相交時，此時d（圓心到直線的距離）＜r；當圓O與直線l相切時，d=r；當圓O與直線l相離時，此時d＞r.反之，根據(jù)d與r的大小關(guān)系也可以推導出圓與直線的位置關(guān)系.

就這樣，學生最初的直觀認識通過量化分析后，直指問題的核心.學生經(jīng)歷了“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，使思維逐漸趨于嚴謹，揭示了問題的本質(zhì)，抽象形成概念，并可以應用概念去進行判斷和推理，實現(xiàn)了問題的一般轉(zhuǎn)化.相信在邏輯思維的參與下，學生的分析、推理、抽象概況能力都會有所提升，幫助學生獲得了更好的數(shù)學體驗，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

應變思維促深化

例、習題教學有利于新知的鞏固，是數(shù)學教學中不能缺少的重要環(huán)節(jié)，借助應用可以有效地檢測學生掌握知識的情況，有助于學生內(nèi)化知識.通過前面的探究，概念已經(jīng)形成，此時教師應借助一些例、習題進一步訓練學生的思維，以提高學生的應變思維能力，培養(yǎng)學生的解決問題能力.學生的思維是否能夠有效地參與到解題過程中將關(guān)系到教學目標的實現(xiàn)，關(guān)系到學生學習能力的提升，為此在教學中教師要發(fā)揮好例、習題的功能.

環(huán)節(jié)3：典型解析

例1如圖1，在△ABC中，已知AC=6，∠A=45°，以點C為圓心畫圓.圓的半徑r如下，請說明直線AB與圓C的位置關(guān)系.

圖1

師：你們認為解題的關(guān)鍵是什么呢？

生6：我認為解題的關(guān)鍵就是要求點C到直線AB的距離.

本題并不復雜，學生可以根據(jù)已有經(jīng)驗輕松計算出CD的長度，為了發(fā)揮習題的示范功能，教師將解題過程進行板演，進而讓學生與自己的解題過程相對比，形成解題規(guī)范.

在此環(huán)節(jié)中，大多數(shù)學生都能夠積極參與，并應用d與r的數(shù)量關(guān)系解決問題，達到深化知識理解、感悟數(shù)學應用的目的.不過對于以上問題的理解，部分學生可能會存在一些問題，因為若要解決本題就需要根據(jù)已知進行定量分析，并在分析過程中不斷應變，對于一些基礎(chǔ)較為薄弱的學生來講，應變思維較差，為此教師應該多一些耐心，多讓學生在實踐過程中獲得一些切身的感悟，以此引導學生在經(jīng)歷解決問題的過程中啟動應變思維，深化知識理解.

系統(tǒng)思維促完善

在數(shù)學教學中，為了幫助學生更好地理解知識、理解數(shù)學，教師有必要進行一些拓展訓練，既發(fā)散學生思維，培養(yǎng)其思維的靈活性，又幫助學生完善知識結(jié)構(gòu)，以提升自身的學力.為了完成拓展訓練，學生會進行深度思考，靈活運用已有的知識進行整體分析，進而抓住問題的核心和本質(zhì)，同時學會辨析整體條件與部分條件間的關(guān)系，借助系統(tǒng)思維進一步積累解題經(jīng)驗，提升解題能力.

環(huán)節(jié)4：適度拓展，積累經(jīng)驗

例2如圖2，已知Rt△ABC的斜邊AB為6 cm，直角邊AC為3 cm，圓心為A，半徑分別為2 cm、4 cm的兩個圓與直線BC有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時，BC與圓A相切？

圖2

變式1：若其他條件不變，將圓心A變?yōu)閳A心C，此時半徑分別為2 cm、4 cm的兩個圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑r多長時，AB與圓C相切？

變式2：若將變式1中的直線AB變?yōu)檫匒B，使圓C與邊AB有交點，則圓半徑r應取怎樣的值？

借助變式1進行縱向拓展，便于學生理解問題的本質(zhì)，判斷圓與直線的位置關(guān)系其本質(zhì)就是判斷“圓O的半徑與圓心O到直線l的距離d”的大小關(guān)系，只要掌握了這一核心要素，問題就可以迎刃而解.對于變式2，學生在應用以上方法進行判斷的同時，還應利用數(shù)形結(jié)合的方法進行整體思考.

通過同質(zhì)問題的拓展，讓學生進一步熟悉了直線與圓的位置關(guān)系.教師在教學過程中要善于根據(jù)教學內(nèi)容進行拓展和改編，進而通過有效問題的設(shè)置引導學生進行系統(tǒng)思維，啟發(fā)學生運用數(shù)學知識去解決一些現(xiàn)實的問題，同時對實際問題進行系統(tǒng)分析，以此培養(yǎng)學生思維的全面性，培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的能力，進而提升數(shù)學核心素養(yǎng).

總之，若想使課堂教學更加高效，則教師要善于在課堂的關(guān)鍵點進行科學預設(shè)，有效激發(fā)學生的數(shù)學思維，讓學生深度參與到課堂教學中，從而通過深度思考便于學生更好地理解知識、應用知識.