朱維珺

江蘇省無錫市河埒中學(xué) 214000

初中數(shù)學(xué)中，有不少內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)模型類問題，有些教師對(duì)于模型的形成過程常一帶而過或干脆忽略，出現(xiàn)“重目標(biāo)，輕過程”的教學(xué)現(xiàn)象［1］.殊不知，謀求在數(shù)學(xué)學(xué)科上的發(fā)展，應(yīng)經(jīng)歷一個(gè)礪沙成珠的過程，各項(xiàng)能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)都需要經(jīng)歷長久、點(diǎn)滴的滲透.

數(shù)學(xué)模型帶給我們的不僅是解題步驟與程序，還具有啟發(fā)思維的重要作用.數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)知識(shí)與技能目標(biāo)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生能自主地用數(shù)學(xué)的眼光看待身邊的一切事物，從而形成高階思維與良好品質(zhì)，為核心素養(yǎng)的產(chǎn)生奠定基礎(chǔ).

基于這個(gè)角度，我們應(yīng)將數(shù)學(xué)模型作為一種重要的教學(xué)資源，啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生感知模型的建構(gòu)過程，在教學(xué)中不斷地滲透模型思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)問題，讓模型思想成為解決與研究數(shù)學(xué)問題的一種演繹思想.

提煉、內(nèi)化數(shù)學(xué)模型思想必然要經(jīng)歷一個(gè)建模過程，這就需要教師精心設(shè)計(jì)鮮活且具有借鑒意義的案例來展示建模過程，這對(duì)提升課程價(jià)值和落實(shí)核心素養(yǎng)具有重大意義.為此，本文以“實(shí)際問題與一元二次方程”的教學(xué)過程為例，具體談?wù)剶?shù)學(xué)建模教學(xué)在課堂中的實(shí)施過程與思考.

課程分析

在我們的生活實(shí)際中，通過存在的數(shù)量關(guān)系可將某些問題抽象成數(shù)學(xué)中常用的“一元二次方程”來解決.本節(jié)課的教學(xué)核心是將源自生活的問題與數(shù)學(xué)中的“增長率”相結(jié)合，在分析中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課的主要教學(xué)流程為引導(dǎo)學(xué)生感知生活情境，分析其中存在的一些數(shù)據(jù)，并親身經(jīng)歷建模活動(dòng)過程（情境—建構(gòu)—驗(yàn)證—應(yīng)用）.學(xué)生可在此過程中深刻體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，有效地發(fā)展自身的應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境（引發(fā)思考）

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，用豐富的情境，不僅能快速吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生將目光集中到課堂中，還能有效地激發(fā)學(xué)生的探究興趣.本節(jié)課，筆者選擇以播放視頻的方式來引發(fā)學(xué)生的探究欲，并快速切入教學(xué)主題.

播放視頻：病毒復(fù)制百萬大軍

一位學(xué)生因感冒打了一個(gè)噴嚏，流感病毒隨著飛沫進(jìn)入空氣中，其他人吸入帶有病毒的飛沫.剛開始僅僅是一個(gè)病毒侵入人體細(xì)胞，但這個(gè)病毒很快就進(jìn)行了大量復(fù)制，最終產(chǎn)生了數(shù)百萬個(gè)病毒.

思考：（1）一個(gè)流感病毒經(jīng)復(fù)制后，形成多少個(gè)病毒？

（2）求流感病毒在體外的傳播速度.

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)本就由生活實(shí)際事物抽象而來，以流感病毒這個(gè)常見的生活問題來創(chuàng)設(shè)情境，貼合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，容易吸引學(xué)生的注意力，同時(shí)也讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到病毒侵入人體的途徑、方法與復(fù)制情況，為提高生活知識(shí)儲(chǔ)備量奠定基礎(chǔ).通過視頻展示數(shù)百萬個(gè)病毒的復(fù)制過程，讓學(xué)生直觀形象地感知生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系，從而燃起對(duì)問題的探究欲望.

2.問題探究（建構(gòu)模型1）

探究1：若某人患了流感，兩輪后合計(jì)感染了121人，求每輪傳染過程中，平均每人傳染了幾人.

問題1：此問中涉及哪些已知量與未知量？

追問：填寫表1，思考在這兩輪的病毒傳染過程中，數(shù)量具有怎樣的變化規(guī)律.

表1

在學(xué)生完成表1后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行思考分析，并填寫表2.第一次建模則在表格的分析與完善中完成.

表2

問題2：觀察以上探究過程，思考傳染源、患者和被感染人群之間具有怎樣的等量關(guān)系.

結(jié)論：患者=傳染源+被感染人數(shù)；第二輪患者人數(shù)為（1+x）2.

設(shè)計(jì)意圖當(dāng)遇到認(rèn)知之外的問題情境，且涉及多個(gè)數(shù)量時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用圖表的形式進(jìn)行數(shù)據(jù)的整理與分析，這對(duì)抽象出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系具有直接促進(jìn)作用.而表格中的數(shù)據(jù)也能幫助學(xué)生感知從具體到一般的數(shù)學(xué)思想.

問題3：若病毒以這種速度繼續(xù)傳播，三輪后會(huì)有多少患者？

問題4：若每輪每個(gè)傳染源都傳染給了x人，那么當(dāng)傳染源為1，2，3，…，a時(shí)，第3，4，5，…，n輪時(shí)的患病人數(shù)是多少（完成表3）？

表3

總結(jié)：在第n輪時(shí)，被感染的總?cè)藬?shù)為a（1+x）n，a代表初始傳染源數(shù)量，x代表每輪每人傳播幾人，n為輪數(shù).

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生對(duì)問題的分析與解決能力，應(yīng)從教材走向?qū)挿旱纳钪?當(dāng)學(xué)生經(jīng)初步探究后，筆者又帶領(lǐng)學(xué)生思考與之相關(guān)的衍生問題，啟發(fā)學(xué)生分析、探究第3，4，5，…，n輪被傳染的總?cè)藬?shù).

分析過程運(yùn)用到不完全歸納法和分析法等方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分別從n，a的變化維度去推理問題.這讓學(xué)生對(duì)該探究活動(dòng)產(chǎn)生了更為深刻的認(rèn)識(shí)，在積累探究經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)獲得良好的數(shù)學(xué)思想方法，為后期的“數(shù)到式”“特殊到一般”的提煉奠定了基礎(chǔ).

3.目標(biāo)檢測（模型1的應(yīng)用）

問題1：若某種病毒在復(fù)制過程中，在確保自身穩(wěn)定的前提下，每半小時(shí)能繁衍出許多新的病毒.若第一個(gè)病毒經(jīng)過一小時(shí)的復(fù)制，變成了1024個(gè)同樣的病毒，假設(shè)每個(gè)病毒每半小時(shí)的復(fù)制數(shù)量是x，由此可列出怎樣的方程？

問題2：已知?jiǎng)傞_始有3人確定被流感病毒感染，經(jīng)過兩輪傳染后，發(fā)現(xiàn)一共有363人被流感病毒感染，假設(shè)每一輪傳染過程中，平均每人傳播給了x人，由此可列出怎樣的方程？

問題3：廣場舞領(lǐng)舞自編了一套舞蹈，在第一次課上，她教會(huì)了幾個(gè)同伴；第二次課上，已經(jīng)學(xué)會(huì)的阿姨與領(lǐng)舞又教會(huì)了其他阿姨，每人都教會(huì)了相同數(shù)量的阿姨，最后一共有36人學(xué)會(huì)了這套新動(dòng)作，若第1次和第2次每人教會(huì)的人數(shù)均為x，則可列出怎樣的方程？

設(shè)計(jì)意圖準(zhǔn)確地找出問題間的數(shù)量關(guān)系，是建模的核心思想.此傳染病問題主要涉及傳染源、傳播輪數(shù)和傳播速度等量，學(xué)生在探究過程中自主建立了等量關(guān)系（即方程），使其進(jìn)一步熟悉方程模型.

4.問題探究（建構(gòu)模型2）

探究2：王老師在排練體操時(shí)，第一節(jié)課教會(huì)了幾名學(xué)生，第二節(jié)課由會(huì)做的同學(xué)教其他學(xué)生，每個(gè)會(huì)做的學(xué)生都教會(huì)了同等數(shù)量的學(xué)生，算上王老師當(dāng)前共有31人學(xué)會(huì)了這套體操，求每次教會(huì)了多少名學(xué)生.

問題1：探究2中存在哪些等量關(guān)系？

問題2：本探究問題與以上目標(biāo)檢測的第三題有什么區(qū)別嗎？其本質(zhì)是什么？

設(shè)計(jì)意圖探究2所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和探究1中的數(shù)量關(guān)系特別容易混淆，如此設(shè)計(jì)的目的就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，主要是從類似的情境中，類比出傳染源在第二輪過程中有沒有參加傳播的關(guān)鍵點(diǎn)，由此會(huì)反映出不同的數(shù)量關(guān)系.對(duì)于探究2，學(xué)生只有在正確審題后才能獲得準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系，以此培養(yǎng)自身規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶忣}能力.

5.目標(biāo)檢測（模型2的應(yīng)用）

問題1：若一種樹木的主干能長出一定數(shù)量的枝干，而長成的每根枝干又可以長出相同數(shù)量的分支，已知主干、枝干、分支的總量為91，求每根枝干所長出的分支數(shù)量.

問題2：若某種病毒具有較快的傳播速度，若一個(gè)人被感染，兩輪傳播后則有81人被感染.結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，分析每輪傳播每個(gè)人會(huì)傳給幾個(gè)人？若控制不力，經(jīng)三輪傳播后，被感染的人數(shù)會(huì)不會(huì)大于700？

設(shè)計(jì)意圖這兩道檢測題主要是為了讓學(xué)生辨析兩個(gè)模型的區(qū)別，并學(xué)會(huì)應(yīng)用所學(xué)模型來解決生活實(shí)際問題.

學(xué)生經(jīng)獨(dú)立思考與合作探究后，進(jìn)一步熟悉了如何應(yīng)用“一元二次方程”來解決生活實(shí)際問題，并逐步形成規(guī)范的解題格式和步驟，為解題能力的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

6.課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生再次回顧本堂課所研究的兩個(gè)傳播問題，通過總結(jié)、提煉，尋找出知識(shí)與知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別.經(jīng)總結(jié)，學(xué)生對(duì)于病毒傳播問題，提煉出兩個(gè)式子：①a（1+x）2，a（1+x）n；②1+x+x2，1+x+x2+…+xn.在此基礎(chǔ)上，筆者要求學(xué)生思考以下幾個(gè)問題.

問題1：選擇用一元二次方程來解決生活實(shí)際問題時(shí)，需經(jīng)歷哪些過程？與用一元一次方程來解決問題有哪些異同點(diǎn)，有哪些地方值得注意？

問題2：通過以上探究活動(dòng)的踐行，大家對(duì)此類傳播類問題中存在的數(shù)量關(guān)系有沒有新的感悟與體驗(yàn)？

問題3：若我們自己在生活中，不小心得了某種具有傳染性的疾病，該采取怎樣的措施？

設(shè)計(jì)意圖正確的方法是解決問題的基本依托，這幾個(gè)問題的設(shè)計(jì)，主要是為了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的探究活動(dòng)進(jìn)行一個(gè)回顧、總結(jié).最后一個(gè)問題的提出是引導(dǎo)學(xué)生將目光從解決數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)移到處理生活問題，為提高學(xué)生的生活能力夯實(shí)基礎(chǔ)，這也是塑造人格品質(zhì)與世界觀的過程.

教學(xué)反思

1.科學(xué)選材，激發(fā)興趣

創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境是如今廣大教育工作者信手拈來的課堂導(dǎo)入手法之一，而情境選擇卻對(duì)課堂的成敗有著直接影響.本節(jié)課以流感病毒傳播作為情境的素材，與如今“新冠病毒”的存在相呼應(yīng).雖然這是兩種病毒，但它們之間有著較高的相似性，以此作為情境素材，更契合當(dāng)下的社會(huì)熱門問題，能引發(fā)學(xué)生心靈的共鳴.

一般在情境選材時(shí)，我們可從以下幾個(gè)角度加以思考：（1）源自教材.教材是教學(xué)的根本，教材中的每個(gè)問題都是編者經(jīng)過精心挑選與慎重思考過的，更具代表性與嚴(yán)謹(jǐn)性.（2）貼近生活.數(shù)學(xué)與生活一直有著密不可分的聯(lián)系，從生活中選取情境素材，更容易激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生產(chǎn)生積極的情感傾向.（3）趣味性、層次性、探究性.結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，逐層遞進(jìn)、趣味十足且充滿探究性的情境素材，往往能起到事半功倍的引導(dǎo)效果.

2.問題引領(lǐng)，引發(fā)探究

建模是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，也是學(xué)生用來解決實(shí)際問題的核心手段.感知模型的形成過程，能夯實(shí)學(xué)生的思維基礎(chǔ)，幫助學(xué)生熟練應(yīng)用模型，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與生活實(shí)際應(yīng)用的有機(jī)融合［2］.本節(jié)課，教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際特征，引導(dǎo)學(xué)生全程參與、分析、體驗(yàn)、歸納建模過程，使得學(xué)生的思維得以螺旋式上升.同時(shí)，以問題驅(qū)動(dòng)的預(yù)設(shè)方式，使得學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流等環(huán)節(jié)，一直保持著積極的情感狀態(tài).

筆者在本節(jié)課的實(shí)踐中，充分體會(huì)到預(yù)設(shè)對(duì)動(dòng)態(tài)生成的直接影響.學(xué)生是課堂的主體，因此，教學(xué)任務(wù)的探究主體為學(xué)生，學(xué)生通過對(duì)問題的思考、分析自主建模，在問題的驅(qū)動(dòng)下應(yīng)用相應(yīng)的模型.這讓學(xué)生深刻感知了模型的建立與應(yīng)用都是在問題的引領(lǐng)下而形成的能力.

3.抓關(guān)鍵點(diǎn)，自主建模

課堂教學(xué)過程中，在探究傳染源為2人，第二輪的被傳染人的總數(shù)量時(shí)，呈現(xiàn)出了一個(gè)建模的關(guān)鍵點(diǎn)：部分學(xué)生仍然以常規(guī)思維列式為：被感染總?cè)藬?shù)=傳染源+被傳染人數(shù)，由該式來分析第二輪的患病總?cè)藬?shù)；同時(shí)也有個(gè)別學(xué)生認(rèn)為，當(dāng)首個(gè)傳染源為1人時(shí)，那么第二輪被感染的人數(shù)應(yīng)為（1+x）2，由此將2個(gè)傳染源分解為“1+1”的形式，獲得傳染源為2人時(shí)第二輪的被感染者數(shù)量為2（1+x）2.這是一種縱向思考，與常規(guī)思維方式有所差別，這種分析方式對(duì)傳染源為3，4，…，a人，經(jīng)過第3，4，…，n輪的傳播后被感染者的數(shù)量的獲得，具有推波助瀾的作用.教師在引導(dǎo)學(xué)生建模過程中，應(yīng)留有充足的時(shí)空給學(xué)生思考、表達(dá)，讓學(xué)生的思維隨著思考的深入而綻放光彩.

4.善于小結(jié)，總結(jié)提煉

不論多么精心的設(shè)計(jì)，多么優(yōu)秀的教師，都很難在課堂中面面俱到，也不可能將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都剖析給學(xué)生.小結(jié)，不僅是對(duì)課堂整體的回顧，還能發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的不足，引發(fā)更多的思考與拓展.同時(shí)，小結(jié)還具有承上啟下的功效，它可將知識(shí)的上下內(nèi)容聯(lián)系起來，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)做到脈絡(luò)清晰.本節(jié)課的教學(xué)核心是幫助學(xué)生建模，在小結(jié)時(shí)可針對(duì)建模過程與模型的應(yīng)用多加思考，主要內(nèi)容為：（1）建模過程中，應(yīng)緊扣的關(guān)鍵詞是什么？（2）主要數(shù)量關(guān)系是什么？

總之，在新課改日益深化的當(dāng)下，初中數(shù)學(xué)建模雖不是一種常態(tài)化的教學(xué)內(nèi)容，但它確確實(shí)實(shí)改進(jìn)了教學(xué)效果，讓學(xué)生的思維變得更加靈活，課堂變得更有生命力.我們應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型的研究與推廣，讓廣大師生積極參與到建模的研究中來，使得課堂更具生命力與活力.