何宇浩，鄭賢偉

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 佛山 528225）

0 引 言

自2019年12月以來，武漢爆發(fā)的COVID-19 疫情由于春節(jié)人口流動(dòng)快速蔓延，對(duì)疫情進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析，評(píng)估防控策略的有效性和時(shí)效性等具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

在疫情的預(yù)測(cè)工作上，國內(nèi)外早有許多學(xué)者做出大量工作。在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模方向上，蘭州大學(xué)的黃建平等人（2020）利用其團(tuán)隊(duì)30年來在統(tǒng)計(jì)-動(dòng)力氣候預(yù)測(cè)的先進(jìn)技術(shù)，將流行病學(xué)模型與實(shí)時(shí)更新的疫情、氣象和環(huán)境數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)建了世界上第一個(gè)全球疫情預(yù)測(cè)系統(tǒng)，較好地預(yù)測(cè)世界各個(gè)國家每日新增確診病例數(shù)的主要特征和長期趨勢(shì)。王旭艷等（2020）采用平滑指數(shù)模型對(duì)累計(jì)確診病例數(shù)，累計(jì)治愈出院病例數(shù)，累計(jì)死亡病例數(shù)，重癥病例數(shù)及危重癥病例數(shù)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，采用該方法的擬合值與實(shí)際值的趨勢(shì)基本吻合。董章功等（2022）基于傳統(tǒng)的傳染病動(dòng)力模型SEIR 和差分整合移動(dòng)平均自回歸模型ARIMA 構(gòu)建的SEIR-ARIMA 混合模型，對(duì)不同時(shí)間段，不同地點(diǎn)的新冠肺炎疫情做出預(yù)測(cè)和分析，通過與SEIR-Logistic 混合模型和SEIR-LSTM 混合模型的對(duì)比分析得出SEIR-ARIMA 混合模型對(duì)新冠肺炎的發(fā)展趨勢(shì)的分析相對(duì)可靠，有利于國家面對(duì)疫情的科學(xué)決策，對(duì)我國未來預(yù)防其他類型的傳染病具有很好的應(yīng)用價(jià)值。在機(jī)器學(xué)習(xí)或深度學(xué)習(xí)方向上，Nikhil等（2021）提出了一個(gè)基于多項(xiàng)式的線性回歸模型，使用過去幾個(gè)月的數(shù)據(jù)根據(jù)當(dāng)前情況預(yù)測(cè)未來的數(shù)據(jù)，該模型對(duì)2021年1月的病例進(jìn)行了預(yù)測(cè)，經(jīng)Wordometer.com 上的實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證，準(zhǔn)確率為99.29%。楊麗等（2021）提出了一種基于注意力機(jī)制的LSTM 網(wǎng)絡(luò)，即A-LSTM，在大西洋支持的COVID 追蹤項(xiàng)目提供的歷史數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下，A-LSTM模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其RMSE、MAPE、MAE 和R-squared 的評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為285.89、0.048 2%、230.74 和0.995 4，分別優(yōu)于其參考的 BPNN 模型。Aarathi S 等（2021）通過使用cox回歸選擇合適的協(xié)變量并將其數(shù)據(jù)輸入 LSTM 模型來預(yù)測(cè)印度21 天的新COVID-19 病例數(shù)，與其他研究相比，當(dāng)新病例數(shù)很高或?qū)ζ溥M(jìn)行長時(shí)間預(yù)測(cè)時(shí)，MAPE 較低。Anthony Li等（2021）提出了一種基于LSTM 的新型架構(gòu)，開發(fā)并訓(xùn)練了人類物流數(shù)據(jù)，包括旅行模式、商業(yè)地產(chǎn)的訪問，以及歷史案例、人口統(tǒng)計(jì)和氣候數(shù)據(jù)，為今后利用類似的時(shí)間和靜態(tài)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)COVID-19 和其他類似疾病暴發(fā)提供了基礎(chǔ)。

綜上所述，在對(duì)新冠肺炎疫情預(yù)測(cè)的工作中，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模方法與機(jī)器學(xué)習(xí)或深度學(xué)習(xí)方法更多的是對(duì)序列數(shù)據(jù)本身建模，或者融合其他傳染病的傳播模型對(duì)COVID-19 的傳播進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，從而對(duì)新冠肺炎疫情的未來發(fā)展進(jìn)行擬合或模擬預(yù)測(cè)，這些方法某種程度上忽略了肺炎病毒的流動(dòng)性，不能充分考慮各城市之間人員流動(dòng)對(duì)病毒傳播造成的影響。為此，本文在YU Zehua 等（2021）的工作基礎(chǔ)上，提出了相關(guān)度交互圖卷積網(wǎng)絡(luò)（Correlation-Interactive Spatio-Temporal Graph Convolutional Networks,CIST-GCN）根據(jù)各城市之間的物理距離進(jìn)行城市網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錁?gòu)建，并且利用各城市的日感染人數(shù)變化計(jì)算新冠肺炎病毒在不同城市間的傳播相似度，并對(duì)拓?fù)鋱D進(jìn)行加權(quán)處理，最后利用時(shí)空?qǐng)D卷積網(wǎng)絡(luò)（ST-GCN）處理城市網(wǎng)絡(luò)的空間特征，并對(duì)城市的疫情發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 研究方法

實(shí)驗(yàn)中以各個(gè)城市作為節(jié)點(diǎn)，首先根據(jù)各節(jié)點(diǎn)之間的物理距離構(gòu)建拓?fù)鋱D，再根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的日增感染人數(shù)計(jì)算每個(gè)城市之間的病毒傳播相似系數(shù)，對(duì)拓?fù)鋱D進(jìn)行加權(quán)處理，最后利用時(shí)空?qǐng)D卷積網(wǎng)絡(luò)（ST-GCN）處理城市網(wǎng)絡(luò)的空間特征，并對(duì)城市的疫情發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行預(yù)測(cè)。在計(jì)算過程中，為了統(tǒng)一計(jì)算量綱，會(huì)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，所以最后需要對(duì)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)還原處理，具體流程圖如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)流程圖

1.1 圖卷積

傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并不能很好地處理圖結(jié)構(gòu)信息，圖結(jié)構(gòu)的卷積網(wǎng)絡(luò)從卷積方式上可以分為兩種：（1）譜卷積；（2）空間域卷積。參考于Thomas Kpif與YU Zehua 等的工作，本文采用的是譜卷積的方式。將圖的譜卷積定義為信號(hào)∈R與圖核的乘積，將*定義為圖的卷積算子：

其中圖傅里葉基∈R是歸一化圖拉普拉斯矩陣的特征向量組成的矩陣，圖拉普拉斯矩陣表示為：

在傳統(tǒng)GNN 網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的Dijkstra 矩陣（鄰接矩陣）W被如下定義：

其中d是節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)的物理距離，到此可以看出，傳統(tǒng)的圖卷積操作只考慮了節(jié)點(diǎn)之間的幾何關(guān)系，即物理距離，而沒有考慮其他的交互關(guān)系。在Zehua Yu 等的工作中，利用每個(gè)節(jié)點(diǎn)的疫情發(fā)展?fàn)顩r對(duì)其進(jìn)行ARMA 參數(shù)求解，利用所得結(jié)果替代距離矩陣W，最終效果優(yōu)于傳統(tǒng)的ST-GCN 模型。本實(shí)驗(yàn)將在該方向上進(jìn)一步研究?jī)?yōu)化。

1.2 時(shí)間序列預(yù)測(cè)

將疫情發(fā)展?fàn)顩r預(yù)測(cè)看作時(shí)間序列下的數(shù)據(jù)流預(yù)測(cè)，則其主要問題為：

即求得在已知-+1 到時(shí)間點(diǎn)內(nèi)的疫情發(fā)展?fàn)顩r，求+1 到+時(shí)間點(diǎn)的疫情發(fā)展?fàn)顩r。特別的，在本實(shí)驗(yàn)中，v為33 個(gè)城市在時(shí)間的累積確診人數(shù)，而W為融合各城市間物理距離與病毒傳播相似度的混合矩陣。

1.3 CIST-GCN

1.3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

其中為地球半徑，利用勾股定理與正弦定理則可求出AB 兩點(diǎn)間的物理直線距離d。計(jì)算出33 個(gè)城市相互之間的物理距離后，則可以進(jìn)一步計(jì)算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰接矩陣，CIST-GCN 中鄰接矩陣W的計(jì)算方式如下：

在本實(shí)驗(yàn)中，和是控制矩陣W的分布和稀疏性的閾值，根據(jù)前人實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)，分別設(shè)置為10 和0.5。

1.3.2 Person 相關(guān)系數(shù)

由于病毒具有極高的傳染性，假設(shè)某人從城市A 到城市B 的途中確診為新冠肺炎陽性患者，則不論是城市A 還是城市B，與該患者密切接觸的人群都有極高的概率感染新冠肺炎病毒，所以城市A 與城市B 的確診人數(shù)會(huì)同步上升，意味著這兩個(gè)城市的感染人數(shù)變化呈正相關(guān)且相關(guān)系數(shù)較高。鑒于此，為了充分考慮各城市之間的數(shù)據(jù)流動(dòng)性，本實(shí)驗(yàn)在構(gòu)建城市空間網(wǎng)絡(luò)時(shí)，融合由各城市確診人數(shù)變化計(jì)算而來的Person 相關(guān)系數(shù)矩陣，作為帶權(quán)無向圖的權(quán)重考慮因子之一。

計(jì)算出每個(gè)城市之間新冠肺炎病毒的傳播相關(guān)度矩陣后，與1.3.1 求出的鄰接矩陣W進(jìn)行加權(quán)融合，所得矩陣作為各城市之間的權(quán)重構(gòu)建帶權(quán)無向圖，將該帶權(quán)無向圖作為ST-GCN 的輸入，即為本文所提出的相關(guān)度交互圖卷積網(wǎng)絡(luò)（CIST-GCN）。

1.3.3 預(yù)測(cè)

在ST-GCN中，每個(gè)時(shí)空?qǐng)D卷積塊形成一個(gè)類似“三明治”的結(jié)構(gòu)，包括兩個(gè)門控序列卷積層和一個(gè)空間圖卷積層。

1.3.4 數(shù)據(jù)還原

將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的預(yù)測(cè)結(jié)果與其標(biāo)準(zhǔn)差相乘，再加上均值，即可將數(shù)據(jù)還原為原量綱。

本文所提出的CIST-GCN 的主要特征總結(jié)如下：

（1）將時(shí)間序列數(shù)據(jù)根據(jù)節(jié)點(diǎn)的空間結(jié)構(gòu)建模為拓?fù)鋱D，并預(yù)測(cè)圖的序列數(shù)據(jù)，CIST-GCN 在沒有固定空間關(guān)系的情況下通常是有效的；

（2）CIST-GCN 充分考慮了城市的空間結(jié)構(gòu)與各城市之間的數(shù)據(jù)流動(dòng)性。

2 數(shù)據(jù)說明

交通數(shù)據(jù)和Covid-19 報(bào)告數(shù)據(jù)都是經(jīng)過處理的具有多交互拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的序列數(shù)據(jù)，本實(shí)驗(yàn)在對(duì)疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)前，先用加州交通部收集的公認(rèn)交通數(shù)據(jù)集PeMS-Bay（加州海灣區(qū)）和PeMSD7（洛杉磯）對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

PeMS：該數(shù)據(jù)通過300 多個(gè)（PeMS-Bay）和39 000 個(gè)（PeMSD7）傳感器站從Caltrans 性能測(cè)量系統(tǒng)（PeMS）實(shí)時(shí)收集，這些傳感器每五分鐘記錄一次平均交通速度。對(duì)于PeMSD7，本實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選擇了228 個(gè)站作為模型的訓(xùn)練目標(biāo)。

Covid-19 報(bào)告：來自約翰霍普金斯大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)與工程中心（CSSE）整合的病例報(bào)告展示了所有受影響國家的Covid-19 確診病例，死亡和康復(fù)人數(shù)以及各城市的經(jīng)緯度位置。本實(shí)驗(yàn)提取了這些病例報(bào)告中的我國34 個(gè)省級(jí)行政區(qū)2020年1月22日—2022年3月9日的病例數(shù)據(jù)及其省會(huì)的經(jīng)緯度坐標(biāo)，但在數(shù)據(jù)處理的過程中，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)城市的數(shù)據(jù)有缺失，所以本實(shí)驗(yàn)刪除了該城市，僅對(duì)其他33 個(gè)城市的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文所有實(shí)驗(yàn)均由Python 編譯器在Windows10 環(huán)境（CPU：Intel（R） i5-9300 GPU：NVIDIA GeForce GTX 1650）上進(jìn)行。

對(duì)于PeMS 交通流數(shù)據(jù)，選取前34 天作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余作為驗(yàn)證和測(cè)試集，遵循ST-GCN中的設(shè)置作為訓(xùn)練參數(shù)，使用12 個(gè)觀察點(diǎn)來預(yù)測(cè)未來15、30 和45 分鐘（=3，6，9）的交通狀況。以傳統(tǒng)的ST-GCN 作為基線，并且在與PeMSD7 數(shù)據(jù)集上與IT-GCN進(jìn)行性能對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 數(shù)據(jù)集PeMSD7 和PeMS-Bay 在不同方法上的性能比較

表中CIST-GCN（*）即為本文提出的方法。ACSTGCN，為僅考慮相關(guān)度的方法，即僅用不同城市間的數(shù)據(jù)流變化相關(guān)度作為城市網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，而不考慮城市間的物理距離，ST-GCN 則只考慮城市間的物理距離，而不考慮城市間數(shù)據(jù)流變化的相關(guān)度。

可以看出，在相同的資源消耗下，CIST-GCN 的性能明顯優(yōu)于ACST-GCN 與基線ST-GCN，而在PeMSD7 數(shù)據(jù)集上，CIST-GCN 僅比IT-GCN多訓(xùn)練了10 輪，性能就有了大幅提升。結(jié)果表明，本文提出的用相關(guān)度交互拓?fù)涮鎿Q物理距離的方法是有效且合理的，為疫情的預(yù)測(cè)提供了有效的參考。

4 國內(nèi)疫情預(yù)測(cè)

接下來，將CIST-GCN 方法用于國內(nèi)的Covid-19 報(bào)告數(shù)據(jù)中，分析該方法對(duì)疫情的預(yù)測(cè)效果。

本實(shí)驗(yàn)利用12 天的日累計(jì)感染病例歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后9天的日累計(jì)感染病例數(shù)據(jù)。圖2展示了ST-GCN、ACSTGCN 和CIST-GCN 于24 天內(nèi)在33 個(gè)城市中預(yù)測(cè)結(jié)果的平均MAPE。CIST-GCN 的平均MAPE 為20.12%，遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)ST-GCN 的121.99%。由圖2可以發(fā)現(xiàn)，中國臺(tái)北的平均MAPE 遠(yuǎn)超于其他城市，觀察數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，中國臺(tái)北的病例均為0 和1，原因可能如下：（1）在研究的時(shí)間段內(nèi)中國臺(tái)北始終沒有新增病例；（2）對(duì)中國臺(tái)北的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤或者沒有對(duì)中國臺(tái)北的病例數(shù)據(jù)進(jìn)行收集。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，ST-GCN 容易受離群數(shù)據(jù)的影響，而本文提出的CIST-GCN 方法則可以很好地避免這種數(shù)據(jù)帶來的影響。接下來將討論這些方法對(duì)北京、上海、廣東、香港和湖北的疫情預(yù)測(cè)效果。

圖2 中國33 個(gè)城市每日確診感染病例預(yù)測(cè)的MAPE

由圖3可以觀察預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)是否契合，可以看出，三種方法中，本文提出的CIST-GCN 與真實(shí)數(shù)據(jù)的趨勢(shì)最契合。特別地，對(duì)于“突增”的案例數(shù)據(jù)，CISTGCN 相對(duì)于其他方法更能判斷出“突增點(diǎn)”。另外，在香港數(shù)據(jù)的末段，日新增病例數(shù)量突增，與2022年初香港的疫情大爆發(fā)基本吻合，同時(shí)本文提出的CIST-GCN 方法預(yù)測(cè)的疫情趨勢(shì)也呈現(xiàn)出明顯的上升趨勢(shì)，可見該方法對(duì)新冠肺炎疫情的預(yù)測(cè)以及疫情突發(fā)狀況的預(yù)警起到了一定的參考作用。

圖3 各種方法在中國個(gè)別城市的預(yù)測(cè)效果

5 結(jié) 論

本文在YU Zehua 等（2021）的工作基礎(chǔ)上，提出了相關(guān)度交互圖卷積網(wǎng)絡(luò)（CIST-GCN）根據(jù)各城市之間的物理距離進(jìn)行城市網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錁?gòu)建，并且利用各城市的日感染人數(shù)變化計(jì)算病毒在不同城市間的傳播相似度，以此對(duì)拓?fù)鋱D進(jìn)行加權(quán)處理，最后利用時(shí)空?qǐng)D卷積網(wǎng)絡(luò)（ST-GCN）處理城市網(wǎng)絡(luò)的空間特征，并對(duì)城市的疫情發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的CIST-GCN 性能優(yōu)于傳統(tǒng)的STGCN 以及YU Zehua 等提出的基于時(shí)間交互的IT-GCN，并且對(duì)于疫情發(fā)展的“突增點(diǎn)”比較敏感，對(duì)新冠肺炎疫情的預(yù)測(cè)以及疫情突發(fā)狀況的預(yù)警起到了一定的參考作用。