王緊杰，羅雙華

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

數(shù)據(jù)缺失問題廣泛存在于經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)、醫(yī)學(xué)和生態(tài)學(xué)等領(lǐng)域中，人們經(jīng)常采用變系數(shù)模型或分位數(shù)回歸模型來研究此類問題[1-2].但是，對(duì)此問題采用變系數(shù)分位數(shù)回歸模型研究較少，由于變系數(shù)分位數(shù)回歸模型具有良好的性質(zhì)，因而，研究缺失數(shù)據(jù)下的變系數(shù)分位數(shù)回歸模型不但具有重要的理論意義，而且也有很好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.Hastie等[3]首次提出了變系數(shù)回歸模型，它比線性模型具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和建模能力，同時(shí)變系數(shù)模型又避免了“維數(shù)禍根”問題.變系數(shù)分位數(shù)模型是經(jīng)典線性回歸模型的延伸.Zhao等[4]在不可忽略缺失數(shù)據(jù)下研究了分位數(shù)回歸模型的逆概率加權(quán)方法；Tang等[5]在缺失數(shù)據(jù)下研究了分位數(shù)和最小二乘回歸的估計(jì)和推斷；Jin等[6]在協(xié)變量缺失下討論了部分線性變系數(shù)模型的懲罰加權(quán)復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)；Wang[7]討論了變系數(shù)分位數(shù)回歸模型的系數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)方法.

在協(xié)變量隨機(jī)缺失的情形下，考慮變系數(shù)分位數(shù)回歸模型的廣義擬似然比檢驗(yàn)問題.首先，用Jackknife方法對(duì)變系數(shù)分位數(shù)回歸模型的系數(shù)進(jìn)行估計(jì).其次，構(gòu)造缺失數(shù)據(jù)下的廣義擬似然檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量去檢驗(yàn)變系數(shù)分位數(shù)回歸模型的系數(shù)的形式.最后，在一定條件下證明了所構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的大樣本性質(zhì).

1 回歸系數(shù)的估計(jì)

考慮變系數(shù)分位數(shù)回歸模型為

Y=Aτ(U)TX+ε

(1)

其中Y∈R是響應(yīng)變量，U∈Rd被稱為光滑的向量，ε和(X,U)相互獨(dú)立,Aτ(U)=(a0,τ(u),…,ap,τ(u))T是光滑系數(shù)函數(shù)，考慮U是一維的情形.設(shè)(Yt,Tt,δtVt,Ut)是模型(1)中的一個(gè)隨機(jī)樣本，其中Xt=(Tt,δtVt)T，Yt,Tt和Ut可以完全被觀察到，Vt有部分缺失，若Vt缺失，則δt=0，否則δt=1.假設(shè)Vt是隨機(jī)缺失，則有

P(δt=1|Yt,Tt,Vt,Ut)=P(δt=1|Yt,Tt,Ut)=π(Zt)，其中Zt=(Yt,Tt,Ut)T.

估計(jì)系數(shù)函數(shù)A(·)采用Jackknife方法局部線性擬合.假設(shè)A(U)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于Ut鄰域內(nèi)的Ui，應(yīng)用泰勒公式近似估計(jì)A(Ui)，則有

A(Ui)≈a0+a1(Ui-Ut)，

(2)

其中a0=A(Ut)，a1=A′(Ut)是A(Ut)的一階導(dǎo)數(shù).Jackknife方法是在估計(jì)A(Ut)時(shí)，使用除第t個(gè)觀測(cè)值以外的所有觀測(cè)值.則得到的局部線性加權(quán)損失函數(shù)為

(3)

2 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.1 變系數(shù)函數(shù)形式的檢驗(yàn)

檢驗(yàn)變系數(shù)是否具有某種特定的函數(shù)形式，等價(jià)于下面的假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H01∶Aτ(u)=A0,τ(u)與Ha1∶Aτ(u)≠A0,τ(u)，

(4)

其中A0,τ(u)是已知的函數(shù)向量.

按照Wang[7]完整數(shù)據(jù)下的廣義擬似然比檢驗(yàn)思想，構(gòu)造模型(1)的廣義擬似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

Tn1=(Ha1)-(H01)，

2.2 變系數(shù)的恒常性檢驗(yàn)

式(4)中若A0,τ(u)是常數(shù)向量，等價(jià)于下面的假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H02∶Aτ(u)=A0,τ與Ha2∶Aτ(u)≠A0,τ，

(5)

其中A0,τ是已知的常數(shù)向量，同理可得模型(1)的廣義擬似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其表達(dá)式為

Tn2=(Ha2)-(H02)，

3 主要結(jié)果及證明

首先給出結(jié)論成立所需要的一組假設(shè)條件A.

(A1) 對(duì)任意給定的網(wǎng)格點(diǎn)u0，Aτ(u)=(a0,τ(u),…,ap,τ(u))′在u0鄰域內(nèi)連續(xù)兩次可微.

(A2)fu(u)連續(xù)，且fu(u0)>0.

(A3)fy|u,x(y)有界且滿足Lipschitz條件.

(A4) 核函數(shù)K(·)是具有有界支撐的對(duì)稱概率密度函數(shù)，是Lipschitz連續(xù)的.

(A7)Ω(u0)，Ω*(u0)在u0的一個(gè)鄰域內(nèi)是正定、連續(xù)的.

(A8) 帶寬h滿足h→0，nh→∞且n1/2-δ/4hδ/δ*-1/2-δ/4=Ο(1).

(A10)E|ε|4<∞.

定理1 在A0,τ(u)是已知的函數(shù)向量下，假設(shè)條件A成立，當(dāng)H01為真時(shí)，有

(6)

證明在A0,τ(u)是已知的函數(shù)向量下，當(dāng)H01成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn1如下：

由于B2=E(B2)+(B2-EB2)=C1+C2，由大數(shù)定律可得C2=οp(1).

因?yàn)棣舤=Yt-A0(Ut)TXt，可得

因此檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn1如下：

其中ηt=τ-I(Yt-A0(Ut)TXt<0)，由Wang[7]中的定理2.1和Cai等[8]中的結(jié)論可知

因此可得檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn1為

應(yīng)用Zhang[9]中的引理3.3.2，可得

所以

因此

Tn1+dn=Tn1+T2-T4-T5=T3+op(1)

通過應(yīng)用Peter[10]命題3.2可得

定理2 在A0,τ是已知的常數(shù)向量下，假設(shè)條件A成立，當(dāng)H02為真時(shí)，有

(7)

證明在A0,τ是已知常數(shù)向量下，當(dāng)H02成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn2為

其中A0為常數(shù)向量.

根據(jù)定理1中的推導(dǎo)可以把檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tn2可化解為

由證明定理1推導(dǎo)過程中的結(jié)論有

因此可得Tn2服從漸近正態(tài)分布.