史艷華,王芬玲

(許昌學院 數(shù)理學院,河南 許昌 461000)

考慮如下二維多項時間分數(shù)階擴散方程：

(1)

其中X=(x,y)，f(X,t)，u0(X)是給定的充分光滑的函數(shù)，分數(shù)階算子P(Dt)u(X,t)滿足

分數(shù)階微分方程是包含非整數(shù)階微分算子的一類方程，在實際生活中有廣泛的應用，比如地理、物理、流體力學、環(huán)境科學等[1-3].一般地，分數(shù)階微分方程的分析解很難求出，因此此類方程的數(shù)值解算法引起了不少學者的關注.比如有限差分法，有限元方法，有限體積法，譜方法等[4-7].關于方程(1)，文[8]建立了單項時間分數(shù)階微分方程的線性三角形元的有限元全離散格式，并給出了穩(wěn)定性分析和超收斂結果.文[9]基于雙線性元和L1時間逼近格式建立了單項變系數(shù)的時間分數(shù)階擴散方程的全離散格式，并進行了高精度分析.文[10]進一步對文[9]中的方程，借助時間方向上的L2-1σ格式和空間方向上非協(xié)調的類Wilson元，建立了非協(xié)調的全離散逼近格式，導出了具有O(h2+τ2)的高精度結果.

混合元方法是求解偏微分方程一種很有效的方法，該方法需要構造滿足LBB相容性條件的兩個有限元空間，但是這通常不是一件易事.因此文[11]提出了H1-Galerkin混合元方法，一是不要求有限元空間滿足LBB條件，二是剖分不需要滿足擬一致剖分條件.因此，該方法已被廣泛應用于整數(shù)階微分方程[12-15].對于分數(shù)階微分方程，文[16]討論了一維分布階擴散方程的兩種H1-Galerkin混合元格式，并給出了中間變量和原始變量的最優(yōu)誤差估計.文[17]利用雙線性元和零階R-T元研究了單項時間分數(shù)階擴散方程的H1-Galerkin混合元方法，同時導出了中間變量和原始變量的高精度結果.文[18]又進一步把該方法推廣到時間分數(shù)階四階擴散方程.

1 單元構造和全離散逼近格式

P1=span{1,x,y,xy,x2,y2,x2y,xy2}，P2=span{1,x,y,xy,x2}，P3=span{1,x,y,xy,y2}，

則相應的有限元空間為

(2)

(3)

根據(jù)文[19]，有以下結論.

引理2 設u∈H4(Ω)，則

和

利用文[8]-[10]，不難得到以下結論.

引理4 假定當t∈(0,T]時，φtt(X,t)∈L2(Ω)，則

引理5 設φn≥0,n=0,1,…,N，φ0=0，μ是一個正常數(shù)且滿足

則

φn≤Cτ-αsμ.

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)主要給出全離散格式(3)的穩(wěn)定性分析.

和

(4)

假設定理1的第二個結論對于n=1,…,l時成立，則當n=l+1時，

在方程(3)的第一式中，令vh=Un，則

從而

定理得證.

3 超逼近分析

為了導出超逼近分析，先根據(jù)方程(1)和(3)和引理3的第二式，得誤差方程

(5)

(6)

再借助引理5，得

(7)

利用引理6，方程(7)式的左邊等價于

類似于(6)式右端第一項的估計得

又

因此

根據(jù)引理5有

從而

在方程(5)的第一式中令vh=θn，則

結論得證.