繆培賢

（蘭州空間技術(shù)物理研究所真空技術(shù)與物理重點實驗室，蘭州 730000）

0 引言

電磁計量在現(xiàn)代測量技術(shù)中有著重要的地位和廣泛的應用[1-2]。交流電量計量是電磁計量的重要組成部分[1]，國內(nèi)已開展了可編程交流量子電壓標準的研究[1-4]和交變微弱磁場標準的研究[5]，交流電壓和恒定電阻轉(zhuǎn)換可得到交流電流，目前仍未解決毫安甚至微安交流電流的校準和溯源[1]。我國已分別建立基于約瑟夫森效應、量子化霍爾效應和拉莫爾進動效應的量子電壓、量子電阻和磁感應強度基準[1-2]，電流單位由電壓單位和電阻單位導出[2]。利用高靈敏度的原子磁力儀測量載流標準線圈產(chǎn)生的磁感應強度，可將磁感應強度基準與量子電壓基準和量子電阻基準聯(lián)系起來，其中標準線圈的線圈系數(shù)可被溯源至拉莫爾進動效應、約瑟夫森效應和量子化霍爾效應?；谶@種考慮，尋找一種自然基準，其物理效應與載有毫安或微安交流電流的標準線圈的線圈系數(shù)聯(lián)系起來，有望實現(xiàn)毫安或微安交流電流的校準和溯源。

磁感應強度基準利用了原子磁矩在靜磁場中的拉莫爾進動效應，各種原子磁力儀的工作物質(zhì)的旋磁比可通過實驗溯源至質(zhì)子旋磁比[6]。在靜磁場方向垂直的平面內(nèi)疊加共振的交變磁場可實現(xiàn)二能級磁共振塞曼躍遷的物理效應[7-9]，該物理效應可應用于毫安或微安交流電流的測量。1954年Rabi等[10]采用旋轉(zhuǎn)坐標系下的經(jīng)典理論討論了磁共振塞曼躍遷的物理問題，指出了經(jīng)典理論表達式和薛定諤方程的等價性。王義遒等[11]編著的《量子頻標原理》是國內(nèi)原子鐘研制單位的參考書，書中也利用旋轉(zhuǎn)坐標系推導了二能級磁共振塞曼躍遷的經(jīng)典理論。作者結(jié)合之前的工作[8-9]，進一步闡明磁共振塞曼躍遷的經(jīng)典理論與抽運-檢測型原子磁力儀信號的關(guān)聯(lián)，提出毫安或微安交流電流測量的物理基礎，利用抽運-檢測型原子磁力儀測量毫安量級正弦交變電流的頻率、振幅和相位，通過理論擬合實驗曲線初步評估正弦交變電流參數(shù)重復測量的相對標準偏差。

1 實驗裝置及理論分析

1.1 實驗裝置

正弦交變電流測量裝置的示意圖如圖1所示。將信號源產(chǎn)生的正弦交變電流通入亥姆霍茲線圈和負載中，在磁屏蔽筒內(nèi)的銣泡區(qū)域產(chǎn)生x軸方向的線偏振正弦交變磁場；恒流源的輸出端與磁屏蔽筒內(nèi)的本底磁場線圈相連接，通過調(diào)整恒流源的輸出電流可改變磁屏蔽筒內(nèi)z軸方向的本底磁場B0；使本底磁場對應的銣原子拉莫爾進動頻率等于正弦交變電流的頻率，通過理論表達式擬合磁共振曲線可得到正弦交變電流的頻率、振幅和相位信息?？衫贸檫\-檢測型原子磁力儀測量本底磁場[7-8]，上述線偏振的正弦交變磁場即為抽運-檢測型原子磁力儀工作時所需的射頻場。抽運-檢測型原子磁力儀的工作過程是：z軸方向的795 nm右旋圓偏振抽運激光極化原子氣室內(nèi)的銣原子系綜，使其磁矩與外磁場平行；抽運激光關(guān)閉后，射頻場作用π/2脈沖，驅(qū)動87Rb原子磁矩進動至與外磁場垂直的平面內(nèi)；當抽運激光和射頻場都關(guān)閉時，在x軸方向上利用紅失諧6 GHz的線偏振探測激光差分探測拉莫爾進動信號，再用計算機程序算出拉莫爾進動頻率和待測磁場值。圖1中虛線框部分為原子磁力儀工作時的時序控制，T、t1和t2分別為原子磁力儀的一個工作周期、抽運激光的作用時長和射頻場的作用時長，剩余時間則完成自由弛豫信號的探測、采集和數(shù)據(jù)處理。抽運-檢測型銣原子磁力儀的輸出信號與原子磁矩在探測光方向上的投影矢量有關(guān)[9]，即原子磁矩在x軸方向投影矢量隨時間的變化決定了x軸差分信號隨時間的波動。當本底磁場對應的銣原子拉莫爾進動頻率嚴格等于正弦交變電流的頻率時，連續(xù)作用的正弦交變磁場可驅(qū)動銣原子磁矩在平行于z軸和反平行于z軸這兩種狀態(tài)之間演化，銣原子磁矩平行于z軸或反平行于z軸時x軸差分信號的振幅趨近于零[7-9]，因此可通過x軸差分信號是否出現(xiàn)波節(jié)來判定本底磁場對應的銣原子拉莫爾進動頻率是否與正弦交變電流的頻率相等。假如信號源連續(xù)輸出正弦交變信號，時序模塊需控制圖1中的電子開關(guān)來實現(xiàn)射頻場的打開或關(guān)閉。為了保證正弦交變電流的頻率、振幅和相位重復測量時有較好的復現(xiàn)性，原子磁力儀的工作周期T應為正弦交變電流頻率的倒數(shù)的整數(shù)倍。本文實驗中選用安捷倫33250A信號源，利用觸發(fā)功能可實現(xiàn)射頻場開關(guān)功能，通過設定正弦脈沖的初始相位能保證重復測量時正弦交變信號的相位相同。待測正弦交變電流的頻率設定為10 kHz，T設定為100 ms，t1設定為30 ms，通過測量自由弛豫信號來確定本底磁場時，t2設為0.5 ms；測量射頻場連續(xù)作用條件下的磁共振信號時，t2設為30 ms。恒流源選用是德科技公司的B2912A精密電流源，負載選用零電阻。由于不具備量子電壓和量子電阻的量值傳遞條件，本文利用B2912A精密電流源向亥姆霍茲線圈輸入臺階遞增的電流，利用無射頻場激發(fā)的抽運-檢測型原子磁力儀[12]測量臺階遞增的磁場，線性擬合得到亥姆霍茲線圈的線圈系數(shù)為49.08 nT/mA。

圖1 正弦交變電流測量裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of sinusoidal alternating current measuring apparatus

1.2 理論分析

旋轉(zhuǎn)坐標系中二能級磁共振塞曼躍遷問題的理論分析可參考文獻[10]或文獻[11]，本文在之前理論分析[9]的基礎上進一步完善抽運-檢測型原子磁力儀輸出信號的理論表達式。當一群原子的波函數(shù)相位是一致時（或表述為原子狀態(tài)是相干時），這群原子可以看成是一個[13]，因此本文首先用單個原子的磁矩來推導二能級磁共振塞曼躍遷的物理過程，考慮原子系綜的弛豫后，進一步得出抽運-檢測型原子磁力儀輸出的磁共振信號的理論表達式。

通過經(jīng)典力學分析，與原子總角動量F相聯(lián)系的總磁矩μ在恒定磁場B0中受到力矩L的作用，即：

該力矩使磁矩μ改變方向，并使μ繞B0進動，該物理效應被稱為拉莫爾進動效應。設進動角速度為ω0，則可得角動量的運動方程為：

式中：t為時間。

另一方面，角動量變化的動力學方程為

式中：γ為旋磁比，87Rb原子對應的γ/2π的值為6.99583 Hz/nT[14]。由式（2）和式（3）可得：

假設旋磁比γ為正，則B0與ω0的方向相反，實驗中保證z軸正方向施加的磁場為正。為方便分析和計算，將矢量投影至基矢{ex，ey，ez}，其中ex、ey、ez分別是平行于x軸、y軸、z軸的單位矢量。ω0的模值為ω0，令ω0=2πf0，其中f0為拉莫爾進動頻率，則式（4）中ω0=-ω0ez。

在x軸方向上施加線偏振激勵磁場，該線偏振磁場可被看做是左旋圓偏振磁場和右旋圓偏振磁場的疊加，其中與原子磁矩繞外磁場進動方向相同的旋轉(zhuǎn)磁場對磁矩有作用，而與原子磁矩繞外磁場進動方向相反的旋轉(zhuǎn)磁場對磁矩不起作用[10-11]。起作用的旋轉(zhuǎn)磁場的角頻率設為ω，強度設為Brf。引入與Brf一起轉(zhuǎn)動的坐標系，轉(zhuǎn)動角速度ω=-ωez，其中ω為ω的大小，令ω=2πf，其中f為射頻場頻率，也就是待測正弦交變電流的頻率。轉(zhuǎn)動坐標系基矢為{ex'，ey'，ez'}，其中ez'與實驗室坐標系的ez始終平行，因此ω=-ωez'=-ωez。在轉(zhuǎn)動坐標系中角動量還受到恒定力矩L'=γF×Brf的作用。轉(zhuǎn)動坐標系中矢量的變換關(guān)系為

式中：Beff為旋轉(zhuǎn)坐標系中的有效磁場，如圖2（a）所示，可表示為：

如圖2（a）所示，右旋圓偏振抽運光的作用使μ平行于B0，抽運光關(guān)閉后，射頻場的作用使μ在轉(zhuǎn)動坐標系中繞Beff進動，隨時間演化的章動角為φ。μ與Beff的夾角設為α，μ與B0的夾角設為θ，分析圖中的幾何關(guān)系可得：

從圖2（a）分析，μ在ey'和ex'軸上的投影分量分別為：

結(jié)合圖2（a）可判定式（14）的符號：當ω?ω0且ω可被忽略時，α≈0，μx'的模值取零值；當ω＜ω0且ω不可被忽略時，0＜α＜π/2，μx'的模值大于等于零；當ω=ω0時，α=π/2，μx'的模值取零值；當ω＞ω0且ω0不可被忽略時，π/2＜α＜π，μx'的模值小于等于零；當ω?ω0且ω0可被忽略時，α≈π，μx'的模值取零值。

分析圖2（b）可知，實驗室坐標系和旋轉(zhuǎn)坐標系的坐標變換為：

式中：δ為初始時刻旋轉(zhuǎn)坐標系相對于實驗室坐標系的角度，該值與射頻脈沖的初始相位有關(guān)聯(lián)，t時刻旋轉(zhuǎn)坐標系相對于實驗室坐標系轉(zhuǎn)過的角度為-ωt+δ。

因此，μ在實驗室坐標系中x軸方向上投影矢量的模值μx為：

以上經(jīng)典理論的推導僅針對單個原子，假如一群原子一致進動，上述表達式可拓展到原子系綜，理論上所有原子磁矩的矢量疊加形成原子系綜的宏觀磁矩，但實際中由于氣室內(nèi)銣原子與泡壁、緩沖氣體原子、其他銣原子之間的碰撞都有幾率改變單個原子磁矩的取向，原子系綜的宏觀磁化強度隨時間呈指數(shù)衰減，即原子極化態(tài)的弛豫過程。原子磁力儀輸出的x軸差分信號的電壓值Vx-signal為：

式中：A為比例系數(shù)；T2為弛豫時間。

原子磁矩μ在旋轉(zhuǎn)坐標系z'軸和實驗室坐標系z軸的投影矢量相同。由式（10）可知，μz的模值μz為：

將式（11）和（17）代入式（21）得：

類似于式（20），假如在z軸方向利用失諧的線偏振探測激光差分探測磁共振信號，該信號的電壓值Vz-signal為：

式中：D為比例系數(shù)；T2為弛豫時間。

特殊情況下，當ω=ω0時，由圖2（a）可知α=π/2。初始時刻轉(zhuǎn)動坐標系中μ與B0平行，隨著時間演化，μ繞Brf進動，直至μ與B0反平行；同時實驗室坐標系中μ繞著B0進動，因此μ在實驗室坐標系中呈現(xiàn)出如圖2（c）所示的復雜進動。μ與B0平行代表原子處于低能態(tài)，μ與B0反平行代表原子處于高能態(tài)，假如87Rb原子與射頻場持續(xù)相互作用，87Rb原子在兩個磁能級之間來回躍遷，x軸磁共振信號會出現(xiàn)諸多波節(jié)。共振條件下式（20）和（23）變形為：

圖2 原子磁矩在不同坐標系中進動的示意圖Fig.2 Schematic diagram of precession of magnetic moment in different coordinate systems

利用式（24）擬合x軸磁共振信號，可獲得Brf、f0和δ參數(shù)。式（25）描述了二能級磁共振塞曼躍遷的Rabi振蕩信號，在圖1中額外設計z軸線偏振探測光，通過差分方式可測得該Rabi振蕩信號。若忽略式（24）（25）中比例系數(shù)和弛豫項的貢獻，式（24）中μsin（γBrft）實際上就代表了μ在oxy面內(nèi)投影矢量的貢獻，它與式（25）中μcos（γBrft）有關(guān)聯(lián)，二者平方和正好是μ2；式（24）中sin（2πf0t-δ）項代表了拉莫爾進動效應使μ在oxy面內(nèi)的投影矢量再次向x軸投影的貢獻，實測的磁共振曲線可通過取峰值和谷值來分離sin（γBrft）和sin（2πf0t-δ）的貢獻。

抽運-檢測型原子磁力儀工作時為了獲得高信噪比的自由弛豫信號，一般要求磁共振條件下（ω=ω0）射頻場作用π/2脈沖[7-8]，即射頻場幅度Brf滿足：

式中：Brf的值由射頻場的強度決定；tπ/2為射頻場作用π/2脈沖的時長。

亥姆霍茲線圈中正弦交變電流信號隨時間的演化的表達式為

式中：I0為待測正弦交變電流的振幅；ψ為待測正弦交變電流的初始相位。載流亥姆霍茲線圈在其中心位置產(chǎn)生的磁場為：

式中：C為亥姆霍茲線圈的線圈系數(shù)。

線偏振射頻磁場可被看做是左旋圓偏振磁場和右旋圓偏振磁場的疊加，當ω=ω0時，磁共振塞曼躍遷中起作用的旋轉(zhuǎn)磁場的振幅Brf應是振幅B（t）的一半，則正弦交變電流的振幅為：

基于抽運-檢測型原子磁力儀工作時序的精確刻度，上述理論基礎和實驗曲線的擬合參數(shù)可分析出式（24）和式（27）中相位δ和相位ψ的關(guān)系，即實現(xiàn)了正弦交變電流相位的測量。

2 實驗與討論

設定信號源的輸出頻率為10 kHz，振幅為760 mV，射頻脈沖串初始相位為零；射頻場作用時長設定為0.5 ms，調(diào)整恒流源的輸出電流改變本底磁場，利用原子磁力儀測得拉莫爾進動頻率約為10 kHz，磁力儀輸出的自由弛豫信號如圖3（a）所示，曲線中數(shù)據(jù)的采樣率為5 MS/s；射頻場作用時長設定為30 ms時磁力儀輸出的x軸磁共振信號的部分實驗數(shù)據(jù)如圖3（b）所示，磁共振信號的波節(jié)位置是原子磁矩平行于z軸或反平行于z軸的時刻，一個完整的波包代表銣原子經(jīng)歷一次完整的二能級磁共振塞曼躍遷，波包時長對應著射頻場π脈沖時長，則π/2脈沖時長約為0.5 ms，此時圖2（a）中α=π/2。當ω＜ω0且ω不可被忽略時，圖2（a）中0＜α＜π/2，μ將無法進動到z'軸負方向，僅μ與z'軸正方向平行時磁力儀輸出的x軸磁共振信號出現(xiàn)波節(jié)。當α=π/4時，ω0/γ-ω/γ=Brf，結(jié)合式（26），將tπ/2取值為0.5 ms，計算得頻率失諧為500 Hz。保持本底磁場對應的拉莫爾進動頻率f0為10 kHz不變，射頻場作用時長設定為30 ms，射頻場頻率f為9.9 kH或9 kHz時原子磁力儀輸出的磁共振信號如圖4所示。對比圖4（a）和圖3（b），從f0=f的共振條件到f0-f=100 Hz的失諧條件，1 ms位置處從存在波節(jié)到波節(jié)消失，原因是頻率失諧條件下μ無法進動到z'軸負方向。當頻率失諧1 kHz時，圖2（a）中α＜π/4，則圖4（b）中每個包絡代表章動角φ變化了2π，而圖3（b）中每個包絡代表章動角φ變化了π。結(jié)果表明，嚴格的磁共振條件應當綜合考慮磁力儀測量的拉莫爾進動頻率和磁共振信號出現(xiàn)節(jié)點來判斷；雖然磁力儀測量的拉莫爾進動頻率可從數(shù)值上等于射頻場頻率，但這不是磁共振條件的直接實驗證據(jù)；僅憑信號出現(xiàn)節(jié)點無法準確判斷磁共振條件，如圖3（b）和圖4（b）相似，而圖3（b）才嚴格滿足磁共振條件。

圖3 共振條件下原子磁力儀輸出的信號Fig.3 Signals acquired by atomic magnetometer under resonance condition

圖4 失諧條件下原子磁力儀輸出的信號Fig.4 Signals acquired by atomic magnetometer under detuning condition

當實驗條件嚴格滿足f0=f，射頻場作用時長設定為30 ms，重復測量十條磁共振曲線，截取20 ms的信號數(shù)據(jù)，并考慮亥姆霍茲線圈中存在暫態(tài)過程[9]而去除第一個包絡，得到的十條磁共振實驗曲線如圖5（a）所示，圖5（a）的插圖為1 ms時長實驗曲線的放大圖。由于式（24）中有Aμ、Brf、f0、δ和T2這五個未知參量，直接用式（24）擬合圖5（a）中的實驗曲線時很難收斂，需分步擬合。式（24）可被改寫為：

利用計算機編程處理實驗數(shù)據(jù)，對圖5（a）中每條實驗曲線取一次峰值，得到的曲線如圖5（b）所示。再取一次峰值后得到的曲線如圖5（b）中插圖所示，插圖中的曲線用式（31）擬合至收斂，可得擬合參數(shù)Aμ和T2。當f0-f＜100 Hz時，計算圖5（b）曲線的波谷值之和，調(diào)整本底磁場使該波谷值之和最小為f0=f的鎖定條件。對圖5（a）實驗曲線1取峰值和谷值，得到的離散數(shù)據(jù)點如圖5（c）中插圖所示，這些離散數(shù)據(jù)點可分離出兩條Rabi振蕩曲線，分離的數(shù)據(jù)點在插圖中分別用黑色和淺灰色標記，選取黑色點標記的Rabi振蕩曲線作為進一步擬合Brf參數(shù)的曲線，選取的所有曲線如圖5（c）所示，擬合式為：

式（34）實際上代表了原子宏觀磁矩在oxy面內(nèi)的投影矢量的演化過程，由該式擬合的Rabi振蕩曲線與式（25）擬合的Rabi振蕩曲線不同，但明顯有互補關(guān)系。將之前獲得的擬合參數(shù)Aμ和T2作為用式（34）擬合圖5（c）實驗曲線時的固定參數(shù)，則可收斂地擬合出Brf。進一步將Aμ、T2和Brf作為固定參數(shù)，利用式（24）擬合圖5（a）中的實驗曲線，則可收斂地擬合出f0和δ，其中一條實驗曲線的擬合結(jié)果如圖5（d）所示。

圖5 磁共振曲線的擬合過程Fig.5 Fitting process of the magnetic resonance curves

基于上述擬合方法，圖5（a）中10條實驗曲線的擬合參數(shù)如表1所列。表1中同時給出了10次重復測量的標準偏差和相對標準偏差。如果暫不考慮其他實驗誤差，僅從磁共振曲線的擬合效果來評估對正弦交變電流的測量精度，則正弦交變電流的頻率、振幅和相位的相對標準偏差分別為5.4×10-7、2.3×10-5和3×10-3，其中頻率f0的相對標準偏差與產(chǎn)生本底磁場的精密電流源B2912A的分辨率有關(guān)，也可利用抽運-檢測型原子磁力儀測量該電流源的噪聲[15-16]。根據(jù)擬合參數(shù)Brf的平均值和式（29）可計算出亥姆霍茲線圈中待測正弦交變電流信號的振幅I0，已知亥姆霍茲線圈的線圈系數(shù)為49.08 nT/mA，則正弦交變電流的振幅為3.49 mA。根據(jù)參數(shù)δ、抽運-檢測型原子磁力儀的時序控制參數(shù)和數(shù)據(jù)截取位置，可進一步分析待測正弦交變電流信號的相位。需要強調(diào)的是，假如射頻脈沖串的初始相位改變，測量的磁共振曲線也相應地發(fā)生變化，導致擬合的參數(shù)δ相應地變化[17]。本文利用美國NI公司的PCI-5922數(shù)據(jù)采集卡采集磁共振曲線，該采集卡的采樣率參數(shù)以銫原子鐘為代表的自然基準標定，因此待測正弦交變電流的頻率可通過實驗溯源至以銫原子鐘為代表的自然基準。

表1 磁共振曲線的擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters of the magnetic resonance curves

上述經(jīng)典理論和實驗結(jié)果展示了10 kHz毫安量級正弦交變電流的測量方法，假如需要測量微安量級的正弦交變電流，可適當增加圖1中亥姆霍茲線圈的線圈系數(shù)，同時增大原子氣室的尺寸或氣室內(nèi)鍍抗弛豫膜來延長堿金屬原子極化態(tài)的弛豫時間，通過擬合高信噪比的磁共振塞曼躍遷實驗曲線來獲得微安量級正弦交變電流的參數(shù)。實驗中負載選用零電阻，實際應用中負載可為其他元器件或電路模塊。圖1中的恒流源選用了6.5位的B2912A精密電流源，若需要繼續(xù)提高對正弦交變電流的測量精度，使表1中各參量的相對標準偏差進一步降低，恒流源可利用原子磁力儀技術(shù)降低噪聲，Shen等[18]利用Mx光泵磁力儀抑制了電流源的噪聲。

3 結(jié)論

本文提出利用抽運-檢測型銣原子磁力儀測量正弦交變電流的頻率、振幅和相位的方法。采用經(jīng)典理論推導的表達式擬合重復測量的實驗曲線，頻率、振幅和相位的相對標準偏差分別為5.4×10-7、2.3×10-5和3×10-3，其中頻率的相對標準偏差與產(chǎn)生本底磁場的精密電流源的分辨率有關(guān)。本文測量的正弦交變電流的頻率為10 kHz，當正弦交變電流為其他頻率時，測量軟件應首先粗鎖定，使本底磁場對應的拉莫爾進動頻率約等于正弦交變電流的頻率，然后基于圖5（b）曲線的波谷值之和為最小的判定條件實現(xiàn)精細鎖定，使f0與f嚴格相等，用式（24）擬合磁共振信號得到正弦交變電流的頻率、振幅和相位信息。本文雖然提出了基于量子自然基準的正弦交變電流的初步測試方法，但具體進行交變電流計量時還需做大量的工作，分析各種測量過程、實驗條件以及電流環(huán)路中負載電學參數(shù)對交變電流振幅和相位測量不確定度的貢獻。隨著物理學基礎理論的發(fā)展和計量水平的提高，未來還需基于理論和實驗嚴格證明僅利用旋轉(zhuǎn)磁場是否能完備描述磁共振塞曼躍遷的物理問題。提出這種顧慮的原因是電磁場中的電場分量和磁場分量是伴生的，然而本文僅討論了交變磁場與原子的相互作用，缺失了交變電場與原子的相互作用。二能級磁共振塞曼躍遷物理問題中經(jīng)典理論表達式與薛定諤方程具有等價性，本文基于經(jīng)典理論和實驗結(jié)果深入分析了二能級磁共振塞曼躍遷發(fā)生的物理過程，未來物理學中“量子”概念與經(jīng)典物理圖像的對應關(guān)系是值得深入探討的一個科學問題，相關(guān)研究將顯著推動電磁計量事業(yè)的發(fā)展。