陳娟娟，耿 海，龍建飛，吳辰宸，賈艷輝，郭 寧

（1.蘭州空間技術(shù)物理研究所 真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000；2.南華大學(xué)，湖南 衡陽(yáng) 421001）

0 引言

相比化學(xué)推力器，離子推力器具有推力小、比沖高、壽命長(zhǎng)、推力連續(xù)可調(diào)等顯著特點(diǎn)[1]，在執(zhí)行相同航天任務(wù)時(shí)可大幅節(jié)省航天器推進(jìn)劑消耗量，提高有效載荷比。

離子推力器地面磨損試驗(yàn)[2]和在軌飛行試驗(yàn)[3~4]結(jié)果均顯示，推力器工作一段時(shí)間后其部分部組件會(huì)發(fā)生一定程度的磨損，包括離子光學(xué)系統(tǒng)[5~6]、磁極靴[7]、陰極孔[8]、陰極頂[9]、觸持極[10~11]、陰極管[12]等。離子推力器各組成部件和工作原理不同，導(dǎo)致不同部組件的磨損機(jī)制和影響因素也有很大差異?？招年帢O作為離子推力器的關(guān)鍵部組件之一，其功能是為推力器氣體放電提供電子源。觸持極為空心陰極的一個(gè)組成部件，其作用一方面是維持陰極放電，另一方面是保護(hù)陰極管、陰極頂免受來(lái)自放電室內(nèi)離子的轟擊腐蝕。NSTAR和NEXT長(zhǎng)壽命試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果[8~12]顯示，推力器工作上萬(wàn)小時(shí)后，陰極頂?shù)耐鈬穸戎皇Ｏ伦畛醯?8%，質(zhì)量減少了128 mg。致密的鎢微晶沉積在陰極孔周圍，平滑地從孔中心向外擴(kuò)散，在孔壁表面的沉積厚度達(dá)到50μm。觸持極保護(hù)了陰極頂，使得陰極頂避免了由于離子濺射腐蝕導(dǎo)致的過(guò)早損壞，但當(dāng)觸持極被磨損穿透后，陰極頂和陰極管便暴露在等離子體環(huán)境中，受到來(lái)自放電室內(nèi)部高能離子的轟擊濺射刻蝕。長(zhǎng)時(shí)間的轟擊濺射會(huì)使得觸持極發(fā)生磨損失效，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致陰極壽命終止，推力器無(wú)法正常工作。因此，觸持極濺射是影響離子推力器工作壽命的一個(gè)關(guān)鍵因素。文獻(xiàn)[13]指出，導(dǎo)致觸持極頂磨損的最直接原因是高能離子對(duì)觸持極頂壁面的轟擊濺射刻蝕，而空心陰極出口附近混雜頻率下的大幅電勢(shì)脈動(dòng)是觸持極高濺射能量的來(lái)源。文獻(xiàn)[14-21]試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果也證實(shí)，在觸持極頂附近確實(shí)存在大幅電勢(shì)脈動(dòng)和徑向能量高達(dá)100 eV的高能離子（Xe++和交換電荷（CEX）離子[20]）。

針對(duì)這一問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外均開(kāi)展了大量的研究。其中最著名的是美國(guó)密歇根大學(xué)Gallimore等[22]提出的半經(jīng)驗(yàn)理論分析模型和美國(guó)推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室（JPL）Mikellides等[23]提出的二維數(shù)值計(jì)算模型。半經(jīng)驗(yàn)理論分析模型是將試驗(yàn)測(cè)量到的振蕩電勢(shì)作為已知量，通過(guò)追蹤一價(jià)和二價(jià)離子在振蕩電勢(shì)下的軌跡，統(tǒng)計(jì)進(jìn)入陰極表面鞘層的離子個(gè)數(shù)，計(jì)算濺射產(chǎn)額，得到觸持極表面的腐蝕分布。二維數(shù)值計(jì)算模型是采用流體方法先得到放電室內(nèi)的平均電勢(shì)，為引入離子聲波的影響，在試驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)離子聲波的電勢(shì)進(jìn)行了模化以得到離子聲波對(duì)平均電勢(shì)的影響，進(jìn)而分析不同脈動(dòng)幅值下的觸持極腐蝕深度。國(guó)內(nèi)，蘭州空間技術(shù)物理研究所的郭寧等[24]開(kāi)展了不同工作模式下空心陰極的放電振蕩試驗(yàn)測(cè)試，研究發(fā)現(xiàn)了陰極工作參數(shù)對(duì)陰極工作模式及陰極下游等離子體分布特性的影響。谷增杰等[25]利用空心陰極理論模型進(jìn)一步分析了陰極工作參數(shù)對(duì)陰極內(nèi)部不同區(qū)域放電電壓、發(fā)射體溫度等的影響；馮杰等[26]在陰極穩(wěn)定自持放電后，在陽(yáng)極板上施加一個(gè)瞬時(shí)大電流沖擊，檢測(cè)其對(duì)陰極本身放電特性的影響。Chen等[27]針對(duì)多模式離子電推進(jìn)空心陰極開(kāi)展了陰極工質(zhì)流率裕度范圍和性能衰退試驗(yàn)測(cè)試。北京理工大學(xué)的Qin等[28-29]采用試驗(yàn)測(cè)試手段測(cè)量了不同陰極工質(zhì)流率下的空心陰極下游電勢(shì)振蕩頻率和振幅，另外，他們用試驗(yàn)測(cè)量的方法研究了環(huán)尖形陽(yáng)極和平板型陽(yáng)極，不同陰極工質(zhì)流率、放電電流、放電電壓對(duì)陰極下游電勢(shì)振蕩頻率和振幅的影響[30]。

國(guó)外的研究是將放電室電勢(shì)振蕩和陰極濺射刻蝕過(guò)程進(jìn)行解耦，國(guó)內(nèi)的研究主要集中在空心陰極本身，但事實(shí)上空心陰極觸持極頂?shù)臑R射腐蝕是離子推力器長(zhǎng)時(shí)間工作時(shí)高能離子對(duì)觸持極表面的轟擊引起的，它是空心陰極和放電室耦合作用下的結(jié)果。

本文提出了一種將經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典動(dòng)力學(xué)結(jié)合的方法，采用假設(shè)位移條件，以位移為核心參考變量，建立離子推力器放電室內(nèi)部電磁場(chǎng)、等離子體振蕩與位移之間的關(guān)系，并引入粒子碰撞模型，研究電磁場(chǎng)作用下的離子位移變化。采用級(jí)數(shù)理論給出等離子體振蕩是否收斂的證明，得到準(zhǔn)平衡態(tài)的等離子體振蕩隨時(shí)間的演化方程。根據(jù)放電室氣體放電理論，得到放電室性能曲線。

1 數(shù)學(xué)解析模型

1.1 離子推力器放電室

圖1為一個(gè)典型的環(huán)尖場(chǎng)離子推力器放電室結(jié)構(gòu)組成示意圖。本文期望采用解析的方法研究離子推力器放電室內(nèi)部的等離子體動(dòng)態(tài)行為，為此，建立了一個(gè)典型離子推力器放電室的數(shù)學(xué)解析模型。

圖1 典型的環(huán)尖場(chǎng)離子推力器放電室結(jié)構(gòu)組成示意圖Fig.1 Schematic diagram of discharge chamber of typical ring-cusp ion thruster

圖中B表示放電室內(nèi)的任意一個(gè)離子，其直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別用xB和yB表示，廣義坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別用r和θ表示；X、Y分別表示放電室的軸向和徑向方向；Xmax、Ymax分別對(duì)應(yīng)軸向和徑向方向計(jì)算區(qū)域的最大值。

1.2 離子動(dòng)能

B點(diǎn)直角坐標(biāo)系坐標(biāo)（xB，yB）和廣義坐標(biāo)系坐標(biāo)（r，θ）之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

式中：t為放電室工作時(shí)間。

離子速度為：

式中：x?B和y?B分別表示B點(diǎn)離子在直角坐標(biāo)系中的軸向和徑向速度。

將式（3）代入式（2），得到質(zhì)點(diǎn)B離子速度：

式（4）中離子速度由廣義坐標(biāo)決定。由式（4）得到質(zhì)點(diǎn)B的離子動(dòng)能TB：

式中：mi為離子質(zhì)量。

1.3 離子勢(shì)能

離子勢(shì)能V是與廣義坐標(biāo)有關(guān)的函數(shù)：

1.4 拉格朗日方程

聯(lián)立式（5）和式（9），得到離子的拉格朗日方程：

進(jìn)而得到：

式中：C1、C2均為常數(shù)。將初始條件代入式（19），得到常數(shù)C1=0。

C2為德拜球內(nèi)離子最大位移，即德拜長(zhǎng)度；β為等離子體振蕩頻率，它與離子密度、真空介電常數(shù)、粒子質(zhì)量有關(guān)。

1.5 粒子碰撞模型

圖2為質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)B的碰撞模型。

圖2 粒子碰撞模型Fig.2 Particle collision model

放電室氣體內(nèi)部粒子由離子、中性原子和電子組成。離子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到中性原子和電子的碰撞，假設(shè)電子、中性原子和離子的運(yùn)動(dòng)速度分別為ve、v0、vi。

首先考慮一個(gè)粒子與離子的碰撞過(guò)程對(duì)離子運(yùn)動(dòng)的影響。如圖3中B為離子，A為任意一個(gè)粒子。B離子的廣義坐標(biāo)為（OB，θ1），A粒子的廣義坐標(biāo)為（OA，θ2）。參考點(diǎn)0點(diǎn)為OB=0、OA=0、θ1=0、θ2=0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

圖3 粒子間碰撞Fig.3 Collision between particles

B離子的位置坐標(biāo)和速度分別滿足式（23）、（24）。B離子位置：

圖3中，運(yùn)動(dòng)的B離子受到運(yùn)動(dòng)的A粒子的碰撞，這里僅考慮B離子受到A粒子碰撞后其廣義坐標(biāo)的變化情況。

OA、OB系統(tǒng)的動(dòng)能為：

式中：F為粒子A受到的作用力；E為電場(chǎng)強(qiáng)度；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；Δt為力的作用時(shí)間。

電子、中性原子、離子對(duì)應(yīng)的沖量分別為Ie、I0、Ii，根據(jù)式（33）分別得到電子、中性原子和離子的沖量表達(dá)式為：

離子推力器放電室內(nèi)部，電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于中性原子和離子的運(yùn)動(dòng)速度，即Ie＞＞I0、Ie＞＞Ii，因此在電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度一定的情況下，電子、中性原子和離子與運(yùn)動(dòng)的離子發(fā)生碰撞時(shí)，離子受到的最大沖量來(lái)自電子。

給θ1一個(gè)變分，保持θ2不變，離子的廣義力?θ1可表示為離子沖量Ii和離子位移OB之間的關(guān)系：

將式（33）代入式（39），得到：

式（40）即為碰撞后的離子旋轉(zhuǎn)角度微分方程。

1.6 等離子體振蕩模型

當(dāng)放電室內(nèi)的等離子體偏離電中性時(shí)，靜電力就會(huì)對(duì)帶電粒子產(chǎn)生作用，作用的方向使等離子體恢復(fù)電中性，因而靜電力就起到了一種恢復(fù)力的作用。又由于帶電粒子本身有質(zhì)量，在恢復(fù)力的作用下，等離子體會(huì)發(fā)生振蕩，這是粒子運(yùn)動(dòng)與電場(chǎng)耦合所產(chǎn)生的必然現(xiàn)象。

對(duì)于離子推力器而言，一般在鞘層區(qū)域會(huì)出現(xiàn)等離子體電中性偏離。假設(shè)鞘層厚度為d，離子溫度為0，則在該鞘層內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)

式中：vth為離子熱速度。

通常，離子推力器放電室內(nèi)部離子溫度不為0，因此，在受力方程中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)由離子壓力梯度產(chǎn)生的項(xiàng)。當(dāng)Ti≠0時(shí)，式（44）描述的等離子體振蕩轉(zhuǎn)變成等離子體波。在無(wú)磁場(chǎng)且碰撞不重要時(shí)，有：

式中：γ為絕熱因子。

假設(shè)離子密度、電場(chǎng)和離子速度在放電室徑向y方向分別有一個(gè)小的圍繞項(xiàng)n1、E1、v1：

等離子體中，沒(méi)有零階電場(chǎng)，也沒(méi)有零階漂移運(yùn)動(dòng)，因此所有物理量將按照正弦波變化：

式中：ky為傳播常數(shù)；ω為等離子體靜電波頻率。

通常在波頻率的時(shí)間尺度上離子基本上是靜止的，其物理量按照式（46）～（49）變化，將式（46）～（49）代入離子連續(xù)性方程、受力方程和散度方程，得到如下一階方程組：

2 結(jié)果分析及討論

圖4為離子和電子拉莫爾半徑（m）隨磁感應(yīng)強(qiáng)度（T）的變化曲線。圖中藍(lán)色曲線代表電子、紅色曲線代表離子。結(jié)果顯示，不管是電子還是離子，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡均會(huì)受到磁場(chǎng)的影響，由于電子質(zhì)量較輕、運(yùn)動(dòng)速度較大，因而受到的磁場(chǎng)約束比離子大得多。

圖4 粒子的拉莫爾半徑隨磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化Fig.4 Larmor radius of particle varies with the magnetic induction intensity

圖5為電子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖。

圖5 電子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖Fig.5 Sketch of electron trajectory

圖5結(jié)果顯示，受到磁場(chǎng)的影響，電子做螺旋運(yùn)動(dòng)。圖6給出了利用數(shù)值仿真計(jì)算得到的磁場(chǎng)約束作用下的電子運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)果同圖5，即電子在磁場(chǎng)作用下做螺旋運(yùn)動(dòng)。

圖6 電子運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)值仿真結(jié)果Fig.6 Simulated electron trajectory

圖7為沒(méi)有碰撞的情況下單個(gè)離子位移隨時(shí)間的變化曲線（橫坐標(biāo)時(shí)間為歸一化值，位移單位為m）。

圖7 單個(gè)離子位移隨時(shí)間的變化曲線Fig.7 Displacement of a single ion varies with the time step

從圖7可以看出，在很短的時(shí)間內(nèi)離子位移發(fā)生類似于正弦函數(shù)的振蕩分布，只是振蕩幅值發(fā)生變化，隨著離子的運(yùn)動(dòng)，幅值越來(lái)越小，最后趨于穩(wěn)定。根據(jù)等離子體振蕩理論可知，在一個(gè)德拜球內(nèi)，離子的熱運(yùn)動(dòng)對(duì)等離子體的整體運(yùn)動(dòng)行為有很大的影響，朗道阻尼的存在導(dǎo)致振幅隨時(shí)間衰減。

事實(shí)上，離子在很短時(shí)間內(nèi)的位移振蕩與等離子體密度有關(guān)。圖7是離子密度為1.0×1016m-3時(shí)的離子位移計(jì)算結(jié)果。

圖8為離子密度分別為1.0×1017m-3、1.0×1015m-3時(shí)的離子位移隨時(shí)間變化曲線。

對(duì)比圖7、圖8可以發(fā)現(xiàn)，離子密度對(duì)離子的位移振蕩頻率影響非常大，對(duì)振蕩幅值的影響不明顯。離子密度越大，等離子體振蕩頻率越高，這點(diǎn)由等離子體振蕩頻率與離子密度的關(guān)系表達(dá)式（20）可知。

圖8 離子位移隨時(shí)間的變化曲線Fig.8 Displacement of ion varies with time step

圖9為等離子體振蕩頻率隨離子密度的變化曲線。從圖可以看出，等離子體振蕩頻率確實(shí)與放電室內(nèi)的離子密度有關(guān)，離子密度越大等離子體振蕩頻率越高。分析圖9發(fā)現(xiàn)，離子密度增加一個(gè)數(shù)量級(jí)，等離子體振蕩頻率增大5倍，這對(duì)離子推力器是極其不利的。

圖9 等離子體振蕩頻率隨離子密度的變化曲線Fig.9 Variation of the plasma oscillation frequency with the ion density

須盡量使放電室內(nèi)部離子的密度足夠高，同時(shí)等離子體振蕩頻率非常小，才有可能保證推力器長(zhǎng)期可靠運(yùn)行。因此在設(shè)計(jì)推力器時(shí)必須折中考慮推力器的性能和壽命。

圖10為沒(méi)有碰撞情況下離子旋轉(zhuǎn)角度增量隨時(shí)間的變化曲線。

圖10 離子旋轉(zhuǎn)角度增量隨時(shí)間的變化曲線Fig.10 Increase of the ion’s rotational angle varies with the time step

計(jì)算結(jié)果顯示，離子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不僅位移有變化，運(yùn)動(dòng)角度也發(fā)生了變化。分析認(rèn)為這是由于離子推力器放電室內(nèi)鞘層區(qū)離子的熱運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的。離子質(zhì)量非常大，磁場(chǎng)幾乎不會(huì)影響它的運(yùn)動(dòng)行為。從計(jì)算結(jié)果看出，擴(kuò)散引起的離子旋轉(zhuǎn)角度的增量?jī)H為10-12rad，這意味著熱運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散引起的離子旋轉(zhuǎn)角度變化很小。

求解式（40），得到與電子碰撞后的離子旋轉(zhuǎn)角度θ1的表達(dá)式：

圖11為考慮粒子間碰撞后的離子旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)離子受到快速運(yùn)動(dòng)的電子碰撞后，其旋轉(zhuǎn)角度約為10-10rad，結(jié)合電子和離子的彈性碰撞截面[31]可知，離子的運(yùn)動(dòng)方向受到電子碰撞的影響，因此若要提高離子推力器放電室內(nèi)部離子的分布均勻性，可以通過(guò)提高電子和離子之間的碰撞概率來(lái)實(shí)現(xiàn)，但碰撞概率的提高會(huì)降低碰撞電子的能量，減小中性氣體的離化概率，因而，在設(shè)計(jì)離子推動(dòng)器產(chǎn)品時(shí)須折中考慮離子的分布均勻性和中性原子的離化率。

圖11 離子旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化曲線Fig.11 Variation of ion’s rotational angle with time step

圖12是不同的磁感應(yīng)強(qiáng)度下離子旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化曲線。

圖12 磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)離子旋轉(zhuǎn)角度的影響Fig.12 The effect of magnetic field on the ion’s rotational angle

從圖12計(jì)算結(jié)果可以看出，放電室內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)離子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響非常大。圖12（a）表明，磁感應(yīng)強(qiáng)度較大時(shí)，離子的旋轉(zhuǎn)角度較大，且隨著時(shí)間發(fā)生正負(fù)變化，即繞著磁力線左右旋轉(zhuǎn)；當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度從0.5 T減小至0.1 T時(shí)，離子的旋轉(zhuǎn)角度減小，但仍然繞著磁力線左右旋轉(zhuǎn)，如圖12（b）和（c）所示；但是當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.02 T時(shí)，離子的旋轉(zhuǎn)角度均為正值，意味著此時(shí)離子僅沿其磁力線做一個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)。

離子推力器放電室內(nèi)陽(yáng)極壁磁體附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)，約為0.5 T，在該磁場(chǎng)約束下，運(yùn)動(dòng)速度較快的電子很快到達(dá)陽(yáng)極壁附近，并在陽(yáng)極壁兩磁極之間的磁鏡效應(yīng)作用下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，大量帶負(fù)電的電子聚集在陽(yáng)極表面形成負(fù)電位，使放電室內(nèi)的等離子體呈電中性偏離；運(yùn)動(dòng)速度較慢的離子在陽(yáng)極壁附近和帶負(fù)電位的電子之間形成了鞘層，由于電勢(shì)差的存在，鞘層之間出現(xiàn)了使離子運(yùn)動(dòng)速度加快、電子速度放慢的電場(chǎng)，在該電場(chǎng)作用下離子加速運(yùn)動(dòng)，并與其他粒子發(fā)生碰撞。由于電子沿磁力線往復(fù)運(yùn)動(dòng)，與離子的碰撞會(huì)導(dǎo)致離子發(fā)生方向不恒定的角度偏轉(zhuǎn)。另外，在該鞘層區(qū)域內(nèi)，由于離子密度差異較大，離子在電場(chǎng)作用的同時(shí)，還會(huì)有擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)。因而出現(xiàn)圖12（a）～（d）所示的結(jié)果。

放電室內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度非常小，離子幾乎只受到電場(chǎng)的作用和其他粒子的碰撞，事實(shí)上在放電初期，離子的旋轉(zhuǎn)主要來(lái)自于其他粒子的碰撞，但是隨著氣體放電的穩(wěn)定，放電室內(nèi)部等離子體處于準(zhǔn)中性狀態(tài)，離子的旋轉(zhuǎn)角度隨著放電的進(jìn)行逐漸減小，當(dāng)放電達(dá)到穩(wěn)定，整個(gè)等離子體處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，離子將不再做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

圖13是不同的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)離子旋轉(zhuǎn)角度增量的影響。結(jié)果顯示，放電室內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)離子的旋轉(zhuǎn)角度影響很大，當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度由1.0×105V/m變?yōu)?.0×103V/m時(shí)，離子的角度旋轉(zhuǎn)增量從1.4×10-5rad減小至3.2×10-6rad。

圖13 電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)離子旋轉(zhuǎn)角度增量的影響Fig.13 The effect on the electric field on the ion’s rotational angle

離子推力器放電室內(nèi)部的電場(chǎng)來(lái)自兩部分，（1）陰極和陽(yáng)極之間的電勢(shì)差引起的靜態(tài)電場(chǎng)；（2）運(yùn)動(dòng)的等離子體產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)電勢(shì)。一般情況下，運(yùn)動(dòng)等離子體產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)電勢(shì)比靜態(tài)電場(chǎng)小得多，因此等離子體基本只受到靜態(tài)電場(chǎng)的影響。放電室內(nèi)的電勢(shì)呈現(xiàn)中心強(qiáng)邊緣弱的分布特點(diǎn)，因而不同區(qū)域的離子受到的靜電力也會(huì)隨之改變。

結(jié)合式（51）和式（21），得到考慮粒子碰撞后等離子體振蕩下的離子位移：

根據(jù)級(jí)數(shù)理論可知，當(dāng)離子推力器中存在大量離子時(shí)，等離子體整體運(yùn)動(dòng)的位移為：

傅里葉級(jí)數(shù)f(t)存在間斷點(diǎn)π/2ωn，在該點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂。因此，根據(jù)狄利克雷條件得到傅里葉級(jí)數(shù)收斂值為：

由式（56）可知，有大量離子的等離子體的運(yùn)動(dòng)位移在間斷點(diǎn)處收斂，即此時(shí)等離子體運(yùn)動(dòng)達(dá)到了準(zhǔn)平衡。

將式（55）代入式（10）離子拉格朗日方程，得到非平衡態(tài)時(shí)的離子含時(shí)演化方程：

求解式（57）可得到準(zhǔn)平衡態(tài)時(shí)的等離子體動(dòng)態(tài)特性曲線：

將結(jié)果代入離子推力器放電室理論模型中，計(jì)算得到離子推力器放電室的性能曲線，如圖14所示。

圖14 放電室性能曲線Fig.14 Performance curve of the discharge chamber

結(jié)果表明，雖然離子推力器放電室內(nèi)部陰極下游存在等離子體電勢(shì)振蕩，但該振蕩不會(huì)影響離子推力器放電室的性能。圖14計(jì)算結(jié)果符合離子推力器放電室設(shè)計(jì)要求。根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，得到離子推力器放電室性能表達(dá)式：

式中：ηm、ηd分別為工質(zhì)利用率和放電損耗。

3 總結(jié)

大量的在軌飛行測(cè)試和地面試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果表明，離子推力器長(zhǎng)時(shí)間工作后空心陰極觸持極會(huì)受到大量來(lái)自放電室內(nèi)高能離子的轟擊，分析認(rèn)為，這是由于陰極下游出現(xiàn)了大幅度等離子體振蕩所致。本文針對(duì)離子推力器空心陰極觸持極的轟擊濺射問(wèn)題，采用理論分析方法從機(jī)制層面逐一分析等離子體密度、粒子間碰撞、磁感應(yīng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)等離子體振蕩的影響，結(jié)果顯示，以上幾個(gè)因素都會(huì)影響等離子體的運(yùn)動(dòng)行為，其中，等離子體密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響程度較大。為了降低觸持極的濺射刻蝕速率，提高空心陰極工作壽命，必須降低陰極下游的等離子體密度和磁感應(yīng)強(qiáng)度。后續(xù)離子推力器優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)須在保證磁等勢(shì)線閉合且放電室內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)較大的情況下，通過(guò)減小陰極附近的磁極個(gè)數(shù)來(lái)減小磁感應(yīng)強(qiáng)度，使電子從陰極發(fā)射出來(lái)后進(jìn)入放電室內(nèi)，快速沿著磁力線朝屏柵方向運(yùn)動(dòng)，降低陰極下游的等離子體密度。