賈娜，陳肖男，岳德國，花軍

1東北林業(yè)大學機電工程學院；2金隅天壇(唐山)木業(yè)科技有限公司

1 引言

超薄硬質(zhì)合金圓鋸片是指在同樣鋸片外徑的情況下，其鋸齒寬度與外徑之比小于1/2的鋸片，常見的超薄硬質(zhì)合金圓鋸片的鋸路寬度在1～2mm之間[1]。使用超薄硬質(zhì)合金圓鋸片能夠有效降低鋸路損失，提高木材利用率，降低能源消耗，因此更受市場的青睞[2]。

相比于常規(guī)厚度的硬質(zhì)合金圓鋸片，超薄硬質(zhì)合金圓鋸片由于基體厚度較小，在工作中更容易產(chǎn)生振動、噪聲、散熱性差及應(yīng)力集中等問題[3]。研究表明，在鋸片基體開設(shè)各類槽孔結(jié)構(gòu)能夠有效改善上述問題[4，5]。但槽孔開設(shè)不合理會大幅破壞鋸片剛度，甚至導致鋸片工作失效的現(xiàn)象。目前國內(nèi)大多刀具廠家依據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗在鋸片上開設(shè)槽孔，槽孔位置和形狀設(shè)計并無系統(tǒng)的理論依據(jù)，這成為制約提升圓鋸片切削性能的阻礙，也是鋸片超薄化進程中需要重點研究的問題。在石材切削加工領(lǐng)域中，金剛石圓鋸片槽孔結(jié)構(gòu)設(shè)計已有初步探索的研究，林利紅等[6]使用拓撲優(yōu)化技術(shù)以提高鋸片壽命，目標分析設(shè)計了金剛石圓鋸片；田永軍等[7]通過基于混合元胞自動機的拓撲優(yōu)化對圓鋸片進行了降噪設(shè)計；姚濤等[8]通過遺傳算法對金剛石圓鋸片的降噪槽進行了形狀優(yōu)化設(shè)計。

在木材加工領(lǐng)域，超薄硬質(zhì)合金圓鋸片在槽孔結(jié)構(gòu)減振設(shè)計上還有待深入研究。開槽后的超薄硬質(zhì)合金圓鋸片受載時會因為槽孔形狀不合理而發(fā)生強烈的振動現(xiàn)象，其嚴重程度取決于超薄硬質(zhì)合金圓鋸片振幅峰值[9]。本文提出一種基于拓撲優(yōu)化和形狀優(yōu)化的槽孔結(jié)構(gòu)綜合設(shè)計方法，其核心理念是利用拓撲優(yōu)化方法，在保證鋸片最大剛度的情況下，獲取鋸片槽孔位置的最佳空間布局。在此基礎(chǔ)上，通過形狀優(yōu)化方法，以鋸片整體振幅峰值作為目標函數(shù)，尋求其最小值，從而獲得對超薄硬質(zhì)合金圓鋸片振動影響最小的槽孔形狀。

2 圓鋸片有限元模型及拓撲優(yōu)化分析

2.1 建立有限元模型

通過在ANSYS軟件中建立超薄硬質(zhì)合金圓鋸片有限元模型，其外徑為305mm，鋸齒數(shù)為100齒，硬質(zhì)合金刀頭厚度為2mm，基體厚度為1.5mm，內(nèi)孔直徑為25.4mm。鋸片基體材料選取SKS51，密度為7850kg/m3，彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.28。刀頭材料選擇YG6硬質(zhì)合金，密度為14800kg/m3，彈性模量為6.35×105MPa，泊松比為0.26。

為了提高優(yōu)化效率，利用SHELL63殼單元，采用智能網(wǎng)格劃分，精度為6，共得到12149個節(jié)點，10665個單元。超薄硬質(zhì)合金圓鋸片有限元模型如圖1所示。

在實際工作中圓鋸片將承受來自徑向、端向和軸向三個方向的力[10]。設(shè)徑向力Fn=10N，端向力Ft=80N，軸向力Fa=10N。超薄硬質(zhì)合金圓鋸片法蘭盤固定位置見圖2。

圖1 超薄硬質(zhì)合金圓鋸片有限元模型

2.2 基于變密度法的鋸片槽孔位置拓撲優(yōu)化

變密度法是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的常用方法，其原理是在滿足結(jié)構(gòu)體積或質(zhì)量縮減量的條件下使結(jié)構(gòu)柔度極小化，即要求結(jié)構(gòu)剛度最大化[11]。

選擇除鋸齒和法蘭盤外的圓鋸片基體作為優(yōu)化區(qū)域，將整體柔度作為目標函數(shù)，以擬定目標縮減為原質(zhì)量的50%作為約束條件，進行結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化，數(shù)學模型表達式為

(1)

式中，μi為第i個單元的偽密度；ρ0為單元的初始密度；Vi為第i個單元的體積；m0為單元在開始計算前的結(jié)構(gòu)總重量；α為結(jié)構(gòu)質(zhì)量保留的百分比；C為目標函數(shù)。

圖2 圓鋸片切削受力分析

如圖3所示，將拓撲優(yōu)化后的圓鋸片偽密度分為(0，0.4)，(0.4，0.6)，(0.6，1)三個區(qū)間，并用三種顏色分別表示，如圖3所示。在偽密度越高的區(qū)域開槽對鋸片剛度影響越大，為不破壞圓鋸片剛度應(yīng)挑選偽密度較低的區(qū)域(紅色扇形)開設(shè)槽孔結(jié)構(gòu)，并將四個紅色扇形區(qū)域作為槽孔結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的設(shè)計域。

圖3 變密度法的偽密度分布

3 圓鋸片槽孔結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化

3.1 槽孔結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計思路

通過點—線—面—體的思路實現(xiàn)槽孔結(jié)構(gòu)的形狀設(shè)計。在設(shè)計區(qū)域內(nèi)隨機生成若干點，將其稱為關(guān)鍵點，并通過插值法生成曲線，控制槽孔寬度形成平面結(jié)構(gòu)。提取平面若干點的坐標信息，傳輸?shù)骄幹坪肁PDL命令流中，獲得槽孔結(jié)構(gòu)的初代雛形；對生成初代槽孔結(jié)構(gòu)的超薄硬質(zhì)合金圓鋸片進行幅頻響應(yīng)分析，獲得不同頻率段所對應(yīng)的鋸片整體振幅峰值，并將其作為目標函數(shù)；借助模式搜索算法改變關(guān)鍵點位置，重復上述過程生成槽孔結(jié)構(gòu)，記錄每一代槽孔結(jié)構(gòu)對應(yīng)鋸片的幅頻信息；利用搜索步長判斷槽孔結(jié)構(gòu)形狀穩(wěn)定性，當步長小于指定閾值時，槽孔結(jié)構(gòu)形狀基本無變化，即可輸出目標函數(shù)最優(yōu)解及對應(yīng)的槽孔結(jié)構(gòu)。

3.2 槽孔結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的算法分析

利用插值法與模式搜索算法進行槽孔結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化，探尋多拐點情況下減振效果最優(yōu)的槽孔結(jié)構(gòu)。多項式插值法生成少拐點平滑曲線的效率高，而且理論上多項式階次越高，獲得的曲線拐點就越多，形狀也更為復雜，但是同時會造成運算資源要求急劇上升[12]。鑒于目前市場上的鋸片多為三拐點的“M”型槽孔結(jié)構(gòu)，僅討論最多四拐點情況下槽孔結(jié)構(gòu)形狀的可能性。

傳統(tǒng)遺傳算法進行形狀優(yōu)化存在隨機性大和時間成本高等問題，雖然取得了豐富的曲線形狀但短時間內(nèi)很難找到最優(yōu)解。模式搜索算法屬于直接搜索法，其優(yōu)化原理就是先確定初始設(shè)計變量及其目標函數(shù)值，以初始步長搜索其周邊相鄰各點，若得到更小的目標函數(shù)值，說明獲得了更優(yōu)解，則以當前點作為新的搜索中心，沿該方向擴大步長繼續(xù)搜索；如果該方向未能找到更優(yōu)解，則反向繼續(xù)搜索；若以初始步長搜索周邊相鄰各點沒有更優(yōu)解，說明最優(yōu)解就在當前點的臨近區(qū)域內(nèi)，則縮小初始步長繼續(xù)搜索，搜索方向與上述同理，當步長縮小至收斂要求時迭代終止[13]。在設(shè)計變量較少的情況下，模式搜索算法計算效率更高，可以用較小的計算量找出目標函數(shù)最優(yōu)解[14，15]。

如圖4所示，在極坐標系下，以超薄硬質(zhì)合金圓鋸片基體圓心O作為原點，每個關(guān)鍵點坐標為(ρi，θi)，1≤i≤6，其中各關(guān)鍵點均應(yīng)保證在圖3的紅色扇形區(qū)域里。通過對設(shè)計域沿徑向進行5等分，可以得到關(guān)鍵點坐標(ρi，θi)的集合，即圖4中藍色圓弧段，關(guān)鍵點坐標(ρi，θi)應(yīng)遵循

ρ1≤ρi≤ρ6；θi min≤θi≤θi max

(2)

圖4 生成的曲線

采用插值法和模式搜索算法相結(jié)合的方法進行超薄硬質(zhì)合金圓鋸片槽孔結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化，可以快速地尋找到目標函數(shù)最優(yōu)解及其對應(yīng)的槽孔結(jié)構(gòu)形狀，此時槽孔結(jié)構(gòu)對鋸片振動影響最小，其流程如圖5所示。

圖5 槽孔形狀優(yōu)化流程

3.3 目標函數(shù)設(shè)計

通過諧響應(yīng)分析可以得到圓鋸片受激勵下時響應(yīng)值與頻率之間的關(guān)系。由于超薄硬質(zhì)合金圓鋸片受載時其軸向振幅最為明顯，因此通過諧響應(yīng)分析得到圓鋸片各單元軸向振動位移值，將其累計和稱為整體振幅，數(shù)學表達式為

(3)

式中，S為整體振幅；n為鋸片節(jié)點個數(shù)；Wi為節(jié)點i對應(yīng)的響應(yīng)幅值；Ai為節(jié)點i相連的單元面積。

圓鋸片所受載荷信息如2.1節(jié)所述，幅值與各作用力大小相等，設(shè)置頻率為0～1000Hz，求解子步數(shù)為1000時圓鋸片頻率與其對應(yīng)的整體振幅之間的關(guān)系。繪制如圖7所示的幅頻響應(yīng)。

將開槽后超薄硬質(zhì)合金圓鋸片整體振幅S的最高值稱為整體振幅峰值，并作為目標函數(shù)，不同關(guān)鍵點位置對應(yīng)不同槽孔結(jié)構(gòu)形狀的超薄硬質(zhì)合金圓鋸片，其整體振幅峰值也各有不同。

4 槽孔結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的結(jié)果分析

試驗選取任意一組數(shù)據(jù)進行分析，如圖6所示，初始目標函數(shù)值為2553×10-4mm，步長為1°，當尋找到新的最優(yōu)解時，記錄對應(yīng)的目標函數(shù)值和迭代次數(shù)，并擴大步長繼續(xù)搜索。若所有關(guān)鍵點依次完成模式搜索后，仍沒有發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解，則記錄歷代目標函數(shù)最優(yōu)解和此時的迭代次數(shù)，并縮小步長繼續(xù)搜索。在71代到78代之間，步長達到最大值，槽孔結(jié)構(gòu)形狀變化最為劇烈；經(jīng)過250次迭代后，目標函數(shù)最優(yōu)解保持不變；迭代至第300代時，搜索步長縮小至0.00098°，槽孔結(jié)構(gòu)形狀基本無變化，迭代終止；最后得到目標函數(shù)最優(yōu)解為2001×10-4mm。

圖6 目標函數(shù)最優(yōu)解及步長隨迭代次數(shù)變化

為了更清晰地了解整個迭代過程，選取初代、50代、100代、300代對應(yīng)的槽孔結(jié)構(gòu)圖像及幅頻響應(yīng)圖進行分析，如圖7所示。

初代隨機槽孔結(jié)構(gòu)形狀所對應(yīng)的目標函數(shù)為2553×10-4mm；經(jīng)50次迭代，槽孔結(jié)構(gòu)形狀發(fā)生了明顯改變，目標函數(shù)降至2340×10-4mm；經(jīng)100次迭代后槽孔結(jié)構(gòu)形狀逐漸穩(wěn)定，但仍有部分整體振幅的最高峰出現(xiàn)激增現(xiàn)象，第100代目標函數(shù)為3236×10-4mm；迭代至第300次后，目標函數(shù)值達到最小值，為2001×10-4mm。即槽孔結(jié)構(gòu)經(jīng)優(yōu)化后的圓鋸片，其目標函數(shù)相比于初代目標函數(shù)下降了22%，相比于優(yōu)化過程中最大目標函數(shù)下降了40%，說明優(yōu)化后的槽孔形狀對圓鋸片有著良好的減振效果。

圖7 鋸片槽孔形狀優(yōu)化結(jié)果及幅頻響應(yīng)

5 結(jié)語

本文研究了超薄硬質(zhì)合金圓鋸片槽孔結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計問題，通過拓撲優(yōu)化確定圓鋸片開槽位置，使超薄硬質(zhì)合金圓鋸片剛度得到最大保留；在此基礎(chǔ)上，通過插值法與模式搜索算法相結(jié)合，對圓鋸片槽孔結(jié)構(gòu)形狀進行優(yōu)化，使圓鋸片減振性能達到最優(yōu)。

從試驗結(jié)果可以看出，該方法相比于在鋸片上隨意確定槽孔結(jié)構(gòu)形狀，能夠有效減少鋸片的振動現(xiàn)象。在后續(xù)研究中將增加研究的對象，例如圓鋸片的噪聲能否得到改善，進一步進行試驗分析，以驗證仿真試驗的科學性和合理性。