郭良帥,李懋坤,許慎恒,楊 帆

（清華大學(xué)電子工程系,北京 100084）

0 引言

目標(biāo)電磁散射與輻射特性在隱身與反隱身研究、雷達(dá)探測識別、天線優(yōu)化設(shè)計、信道建模等領(lǐng)域具有重要意義。受限于目標(biāo)電磁特性直接測量的高成本、長周期、高費效比等因素,電磁場仿真建模成為分析目標(biāo)電磁特性的核心技術(shù)手段。

電磁場仿真建模方法主要有基于積分方程的矩量法（MoM）、基于微分方程的有限元法（FEM）及時域有限差分方法（FDTD）等。其中MoM自動滿足輻射邊界條件,更加適合求解電大目標(biāo)電磁問題?；贛oM的快速仿真算法,如多層快速多極子（MLFMA）、區(qū)域分解（DMM）等,進一步提升了MoM的計算效率,可滿足復(fù)雜中等電尺寸目標(biāo)電磁場分析求解的需求。

采用MoM求解目標(biāo)電磁場時,需求解矩陣方程以獲取目標(biāo)表面的感應(yīng)電磁流系數(shù),從而獲取金屬表面或介質(zhì)體內(nèi)的電磁流。矩陣方程的求解復(fù)雜度是決定計算效率的核心。LU分解法、高斯（Gauss）消元法等傳統(tǒng)直接求解器的復(fù)雜度為O（N）（N為矩量法未知量數(shù)目）,僅能用于小維度矩陣方程求解。共軛梯度（CG）、最小殘差余量（GMRES）等算法基于Krylov子空間的迭代求解器的計算復(fù)雜度為O（N）,較直接求解器具有更高的計算效率,但仍無法滿足電大目標(biāo)電磁場仿真建模需求。

降低MoM未知量數(shù)目的高階基函數(shù)是一種降低計算復(fù)雜度的有效方法,通過增大離散網(wǎng)格密度,可以有效降低目標(biāo)離散單元個數(shù),減小阻抗矩陣方程維度,從而提升計算效率。但對于電大目標(biāo),該方法的矩陣方程計算復(fù)雜度仍無法滿足要求。文獻[7]將自適應(yīng)矩估計（adaptive moment estimation,Adam）用于電小目標(biāo)電磁仿真,取得了較好的效果,為基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的MoM仿真提供了一種新的思路。

本文提出了一種基于Adam的電大目標(biāo)電磁求解技術(shù),將矩陣方程的求解過程轉(zhuǎn)化為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)優(yōu)化過程。矩陣方程由行向量組成,每一個行向量視作一個訓(xùn)練樣本,激勵項向量視作數(shù)據(jù)標(biāo)簽。訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即為原矩陣方程的解。由于每次訓(xùn)練過程中,僅隨機選擇部分樣本進行網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓(xùn)練,因此可以有效降低單次網(wǎng)絡(luò)參數(shù)更新的計算復(fù)雜度,提升計算效率。

本文首先給出MoM求解電大目標(biāo)電磁問題的積分算子和矩陣方程,然后建立一種矩陣方程的等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并利用Adam對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進行求解,最后通過數(shù)值算例驗證本文方法的有效性。

1 MoM積分算子

式中Δ:k為波數(shù);η為波阻抗;s為電流源積分區(qū)域;′為對源點的梯度算符;J（·）為目標(biāo)表面電流函數(shù);G（r,r′）為自由空間格林函數(shù),其中r,r′分別為場點和源點位置坐標(biāo)矢量。對于目標(biāo)表面未知的感應(yīng)電流,通常采用離散單元上的局部電流基函數(shù)進行展開,然后代入式（1）,形成局部基函數(shù)展開的散射場。目標(biāo)離散網(wǎng)格單元示意如圖1所示。目標(biāo)為雙錐體結(jié)構(gòu),尺寸為0.254 m×0.051 m×0.051 m,采用三角形網(wǎng)格剖分,網(wǎng)格密度為0.003 m。

圖1 目標(biāo)離散網(wǎng)格單元示意圖

選用RWG基函數(shù)作為展開函數(shù),將目標(biāo)上連續(xù)的感應(yīng)電磁流離散為三角形面元上的局部基函數(shù)的線性組合,以分析目標(biāo)的散射場。RWG基函數(shù)表達(dá)式為

圖2 RWG基函數(shù)示意圖

假設(shè)外部照射平面波為E（r）=exp（jk·r）,k為傳播矢量。根據(jù)金屬表面邊界條件,采用伽遼金（Galerkin）匹配方法,建立的矩量法矩陣方程為

式中:N為基函數(shù)個數(shù)（一般為剖分網(wǎng)絡(luò)單元的公共邊個數(shù)）;z為矩量法阻抗矩陣第i行第j列的矩陣元素;x為感應(yīng)電流在基函數(shù)上的展開系數(shù);b為第i個激勵項元素;f（·）,f（·）分別為第i個和第j個基函數(shù);Δ為對場點的梯度算符;s,s分別為第i個和第j個基函數(shù)對應(yīng)的積分區(qū)域。

根據(jù)式（4）,通過求解矩陣方程得到展開電流系數(shù)x,進而可得到目標(biāo)表面的感應(yīng)電磁流。由于RWG基函數(shù)要求離散網(wǎng)格密度不大于0.2λ（λ為電磁波波長）,對于電大目標(biāo)通常會產(chǎn)生大量的未知數(shù)。為降低基函數(shù)數(shù)目,本文采用大面元上的相位提?。╬hase extraction,PE）基函數(shù)開展電流擬合,以降低計算復(fù)雜度。

采用PE基函數(shù)進行電流擬合,可以定義為

式中:k為入射電磁波矢量。將式（7）帶入式（4）可得到相應(yīng)的矩陣方程。相較于RWG基函數(shù),PE基函數(shù)將變化劇烈的相位項單獨提出,變化平緩的幅度項用RWG基函數(shù)描述,降低了對基函數(shù)離散網(wǎng)絡(luò)密度的要求。對于平滑結(jié)構(gòu),PE基函數(shù)對目標(biāo)的離散網(wǎng)格密度可達(dá)到0.5λ以上。

式中：σ為黑體輻射常數(shù)；εeff為腔體有效發(fā)射率；Tcav為吸收腔內(nèi)表面溫度；Ta為周圍環(huán)境溫度；εw為腔體內(nèi)壁材料的熱發(fā)射率。

2 矩陣方程的網(wǎng)絡(luò)等效

MoM求解目標(biāo)電磁問題的關(guān)鍵在于式（4）的計算。將式（4）中矩陣方差簡化描述為

式中:Z為阻抗矩陣;x為系數(shù)矩陣;b為激勵項矩陣。式（8）的求解可轉(zhuǎn)化為代價函數(shù)的最小值優(yōu)化問題,代價函數(shù)J（x）定義為

式中:min（·）為取最小值函數(shù);|·|為求絕對值運算符。

針對該優(yōu)化問題,建立等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型,如圖3所示。阻抗矩陣Z的每一行看作一個訓(xùn)練樣本,網(wǎng)絡(luò)模型實現(xiàn)矩陣向量乘運算。激勵項矩陣b看作數(shù)據(jù)標(biāo)簽,待求系數(shù)矩陣x看作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù),訓(xùn)練得到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)即為原矩陣方程的解。圖3中,網(wǎng)絡(luò)輸出包含的兩個元素b,b分別對應(yīng)數(shù)值標(biāo)簽的實部和虛部;z,z分別為阻抗矩陣行向量z的實部和虛部;x,x分別為展開系數(shù)向量的實部和虛部;w-w分別為矩陣向量相乘得到的中間結(jié)果（復(fù)數(shù)矩陣分成實部、虛部后得到的實數(shù)向量）。對于式（9）的優(yōu)化,應(yīng)分別按照實部和虛部進行范數(shù)計算。通過梯度下降算法可獲取網(wǎng)絡(luò)參數(shù),實現(xiàn)原矩陣方程的求解。

圖3 等效神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型

3 Adam求解算法

Adam是一種自適應(yīng)更新步長的求解算法,通過自動調(diào)整梯度下降過程中的更新步長提升神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓(xùn)練效率。Adam算法迭代求解公式為

當(dāng)更新步長α較大時,更新快,但不易收斂;當(dāng)α較小時,更新慢。不同更新步長的收斂效果如圖4所示。

圖4 不同更新步長的收斂效果

更新步長太大,則收斂很快,但在最優(yōu)解附近易出現(xiàn)振蕩;更新步長太小,則收斂很慢,而且易陷入局部最優(yōu)解中。為解決該問題,本文采用的步長更新方程為

式中:α（n）為第n步的更新步長;α（0）為初始步長;υ為加權(quán)系數(shù);τ為修正系數(shù);n′為步長修正數(shù)目,用于控制更新步長大小;L為步數(shù)控制參數(shù)。當(dāng)?shù)綌?shù)大于L時,更新步長不再改變。

該策略可以將更新步長控制在有限的范圍內(nèi)。設(shè)α（0）=0.1,υ=0.5,L=70,更新步長余弦衰減曲線如圖5所示。

圖5 更新步長余弦衰減曲線

利用Adam算法求解式（9）中的代價函數(shù),可完成矩陣方程求解。根據(jù)式（10）,求解過程中,采用不同的迭代步數(shù),隨機地選擇部分樣本數(shù)據(jù)而不是全部數(shù)據(jù),進行g(shù)（n）的計算,以降低單步求解復(fù)雜度。

4 數(shù)值算例

在計算機（Intel i5-9600K@3.7GHz）上對圖6所示的半徑為5.0 m的金屬球開展遠(yuǎn)場雷達(dá)散射截面積（RCS）仿真。采用平面波入射,頻率為300 MHz,沿-x方向傳播,y方向極化。散射掃描平面為x-y平面,方位角掃描間隔0.5°。通過與GMRES算法求解結(jié)果對比,驗證Adam算法仿真精度和效率。

圖6 金屬球仿真示意圖

不同求解算法得到的金屬球RCS仿真結(jié)果如圖7所示。各算法求解結(jié)果吻合較好,Adam算法求解得到RCS與Mie級數(shù)的均方根誤差為0.53 dBsm,精度較高。

圖7 金屬球RCS仿真結(jié)果

圖8給出了采用GMRES算法和Adam算法求解矩陣方程的誤差收斂曲線,其中GMRES算法迭代步數(shù)20,耗時10.3 s,Adam算法（每次更新采用的樣本數(shù)為904）迭代步數(shù)213,耗時7.1 s。

圖8 不同算法迭代收斂曲線

對圖9所示的邊長為1 m的金屬立方體開展RCS仿真。平面波照射頻率為3.0 GHz,入射角度為俯仰90°、方位0°,水平極化;散射掃描角度為俯仰90°、方位0°～180°,掃描間隔0.5°。

圖9 立方體仿真模型

采用傳統(tǒng)RWG基函數(shù)的網(wǎng)格數(shù)為132 192,采用PE基函數(shù)的網(wǎng)格數(shù)為3 168,采用 MoM形成的阻抗矩陣維度縮減為傳統(tǒng)RWG阻抗矩陣維度的0.05%。以RWG基函數(shù)仿真結(jié)果為參考,采用Adam算法求解PE基函數(shù)生成的矩陣方程,單步更新樣本數(shù)為1 584。不同方法求解立方體RCS和感應(yīng)電流系數(shù)的仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10（a）給出了采用RWG基函數(shù)離散目標(biāo),利用GMRES算法求解矩陣方程得到的RCS仿真結(jié)果,與本文所提方法求解仿真結(jié)果的對比曲線,均方根誤差為1.3 dBsm,仿真結(jié)果吻合較好。產(chǎn)生誤差的主要原因是Adam算法基于歷史梯度信息對更新方向進行修正,而GMRES算法通過修正子空間上的全局梯度信息進行更新,在預(yù)設(shè)閾值下存在一定偏差。圖10（b）給出了采用PE基函數(shù)離散目標(biāo),分別利用GMRES和Adam求解矩陣方程得到的目標(biāo)表面感應(yīng)電流系數(shù),實部均方根誤差為-70 dB,虛部均方根誤差為-58 dB,兩者吻合較好。其中阻抗矩陣條件數(shù)為259.9,GMRES迭代81步后相對誤差為0.009,耗時13.2 s,Adam迭代212步后相對誤差為0.01,耗時5.6 s。

圖10 不同方法求解立方體RCS和感應(yīng)電流系數(shù)的仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文提出了一種基于Adam的電大目標(biāo)電磁場快速求解方法。首先利用大離散單元上的PE基函數(shù)有效降低MoM阻抗矩陣維度,然后將矩陣方程求解轉(zhuǎn)化為代價函數(shù)的最小值優(yōu)化問題,最后設(shè)計一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值即為原矩陣方程的解。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中Adam算法的梯度和二階矩的更新僅采用部分?jǐn)?shù)據(jù)開展計算,降低了單步求解計算復(fù)雜度。數(shù)值仿真驗證了本文所提算法的有效性。