文／江蘇省蘇州中學(xué)附屬蘇州灣學(xué)校陳鈺杰

雖然我們還沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過正方形，但我們在小學(xué)就知道正方形的4條邊相等，4個角都是直角，這些都為學(xué)習(xí)全等三角形提供了“天然條件”。最近，我又發(fā)現(xiàn)了一些關(guān)于它的有趣結(jié)論，證明過程有點難，都靠基本圖形幫的忙。

一、發(fā)現(xiàn)有趣結(jié)論

如圖1，已知正方形ABCD、正方形EFGC，連接BG、DE。結(jié)論1：若I是BG的中點，延長IC，交DE于H，則CH⊥DE；結(jié)論2：如果CH⊥DE，延長HC，交BG于I，則I為BG的中點。

圖1

二、回顧基本圖形

由余角、補角的定義，在圖2中有∠1+∠2=90°，在圖3中有∠3+∠4=180°。如圖4，我們在學(xué)習(xí)全等三角形時，遇到三角形中線（CI），常常延長CI至J，使JI=CI，連 接BJ。由“SAS”可 得△GCI≌△BJI，則有BJ=CG、∠J=∠ICG，進而有CG∥BJ，還可以得到∠JBC+∠BCG=180°等一連串的結(jié)論。

圖2

圖3

圖4

三、探討證明過程

結(jié)論1的思路：已知I是BG中點，在圖4的“喚醒”下，延長CI至J，使JI=CI，連接BJ（如圖5），得△GCI≌△BJI，則有BJ=CG、∠J=∠ICG、CG∥BJ、∠JBC+∠BCG=180°等結(jié)論。由圖3可知∠DCE+∠BCG=180°，所以得到∠JBC=∠DCE。由CE=CG，可知CE=BJ，還有BC=CD，所以由“SAS”得到△ECD≌△JBC，所以∠BCJ=∠CDE。因為∠BCD=90°，所以∠DCH+∠BCJ=90°，又因為∠BCJ=∠CDE，所以∠CHD=90°，即HI⊥DE。我們完成了結(jié)論1的探究之旅，接下來挑戰(zhàn)結(jié)論2吧！

圖5

因 為∠BCG+∠DCE=180°依 然 存在，同理可知∠BCJ+∠DCH=90°，結(jié)合CH⊥DE，得∠BCI=∠CDE，同 理 還 有∠GCI=∠DEC。因為△DCE與△CBI已有一邊一角對應(yīng)相等，但不能證明它們?nèi)?，怎么辦？必須構(gòu)造！面對∠BCG+∠DCE=180°，以及目標(biāo)——求證的中點，在圖4的“喚醒”下，改變作輔助線的說法：過B作CG的平行線，交CI的延長線于J（如圖5）。因為BJ∥CG，所 以∠BCG+∠CBJ=180°，∠J=∠ICG，所以∠DCE=∠CBJ，由“ASA”證得△DCE≌△CBJ，易得BJ=CE。因為CE=CG，所以BJ=CG。由“AAS”可證得△CIG≌△JIB，得BI=IG，即I是BG的中點。

經(jīng)過思維沖浪后，我發(fā)現(xiàn)，若無法直接證明三角形全等，則需要充分利用問題中的已知條件（有的不那么明顯，“藏”在基本圖形中）構(gòu)造全等三角形，例如圖5中的“倍長中線”就是構(gòu)造全等三角形的常作輔助線。

對于圖2，還可以“深加工”成圖6，我給它起了個名字叫作“三垂直”，以上兩個結(jié)論也可以用這個輔助線解決，小伙伴們試試吧！

圖6

總之，發(fā)現(xiàn)和運用基本圖形是解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵，你們說是不是？

教師點評

小作者以一個經(jīng)典的圖形為視角，剝離分解復(fù)雜圖形中的基本圖形，并充分運用已知條件或待證結(jié)論構(gòu)造全等三角形，說明他具有較好的空間觀念與較強的邏輯推理能力。積累、發(fā)現(xiàn)、運用基本圖形是學(xué)好幾何的關(guān)鍵，同學(xué)們準(zhǔn)備好了嗎？