程冰，于加舉，吳自庫，陳秀榮

(青島農(nóng)業(yè)大學理學與信息科學學院，山東青島 266109)

波動方程或波方程，是由麥克斯韋方程組導出的、描述電磁場波動特征的一組偏微分方程，主要描述自然界中的各種波動現(xiàn)象，例如聲波、光波和水波[1-3]。最近幾十年，波動方程引起了許多領域學者的廣泛關注，尤其在科學工程領域，人們更加重視對波動方程解的研究。有些波動方程可以通過經(jīng)典方法求得精確解，例如多級局部時間步方法等[4]。由于不同條件的約束，多數(shù)情況無法獲得波動方程的精確解或解析解。與經(jīng)典方法相比，數(shù)值方法有時更有效。常用的數(shù)值方法有高階緊致差分法[1,3]、有限差分法[5]等，但這些方法多依賴于初值條件和邊值條件，因此穩(wěn)定性較差。

最小二乘支持向量機(least squares support vector machine，LS-SVM)方法是用訓練誤差的平方代替支持向量機(support vector machine，SVM)中的松弛變量，并用等式約束代替不等式約束，避免解二次規(guī)劃問題，可以求得模型參數(shù)的解析解[6]。該方法已經(jīng)用于求解常微分方程，取得非常好的近似效果[7]，但目前還很少用于求解偏微分方程。本文利用LS-SVM方法求解一維波動方程，該方法不依賴于邊值條件和初值條件，所得近似解以標準形式給出，可以調節(jié)參數(shù)使誤差最小。該近似解由兩部分組成，一部分是滿足邊值條件的已知函數(shù)，另外一部分是兩項的乘積，其中一項是在邊界上取值為0的已知函數(shù)，另一項是與徑向核函數(shù)相關的未知函數(shù)。

本文首先給出LS-SVM的原理和求解一維波動方程的過程，然后給出參數(shù)選擇方法和穩(wěn)定性分析，最后通過兩個數(shù)值算例驗證方法的有效性。

1 用LS-SVM方法求解一維波動方程

考慮一維波動方程：

(1)

(2)

(3)

B(V)=x(l-x)t2

(4)

將方程(2)代入方程(1)得：

(5)

其中，

Q(V)=Btt-k(x)Bxx，W(V)=Att-k(x)Bxx

G(V,Vj)=G1(V,Vj)+G2(V,Vj)+

G3(V,Vj)+G4(V,Vj)

G1(V,Vj)=Q(V)Φ(V,Vj)，G2(V,Vj)=

B(V)[Φtt-k(x)Φxx]

G3(V,Vj)=-2k(x)Bx(V)Φx，G4(V,Vj)=

2k(x)Bt(V)Φt

為求得回歸參數(shù)，將樣本點代入式(5)，則原問題由LS-SVM轉化為求解如下二次規(guī)劃問題：

(6)

約束條件：

(7)

其中，式(6)為目標函數(shù)，式(7)為約束條件，γ∈R+，為正則化參數(shù)，e是偏差項。上述優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)為：

(8)

依據(jù)卡羅需-庫恩-塔克(Karush-Kuhn-Tucker,KKT)最優(yōu)化條件有：

(9)

消去ei，回歸參數(shù)由方程組(10)給出：

(10)

2 參數(shù)選擇與近似解的穩(wěn)定性分析

2.1 參數(shù)選擇

方程組(10)含有2(M+1)個未知變量，容易解出。LS-SVM的參數(shù)對算法的性能有著非常重要的影響，參數(shù)選擇不同，近似效果也不同。然而解的精度依賴于正則化因子γ及高斯核寬度參數(shù)σ。γ越大越好，一般取值不小于1×105。如何選擇合適的γ和σ，目前還沒有明確的理論方法，通常采用試湊法，但試湊法常使優(yōu)化問題的解受主觀因素的影響，且費時費力。

本文選用網(wǎng)絡搜索法來確定模型參數(shù)，以更好地近似求解一維波動方程。首先確定γ和σ的范圍，然后確定步長。以γ和σ為坐標軸，繪出誤差等高線，從而確定最佳參數(shù)。

2.2 近似解的穩(wěn)定性分析

(11)

顯然，‖Lu(V)‖∞可以作為衡量解的穩(wěn)定性和精度的指標。由于Lu(V)連續(xù)可微，且在邊界上均為0，因而‖Lu(V)‖∞在內(nèi)部取得。不妨令：

‖Lu(V)‖∞=|Lu(x*,t*)|,(x*,t*)∈(0,l)×(0,b)

(12)

假設距離點V(x*,t*)最近的樣本點為V*(xi0,ti0)，于是有：

‖Lu(V)‖∞

=|L(x*,t*)-Lu(xi0,ti0)+Lu(xi0,ti0)|

≤|L(x*,t*)-Lu(xi0,ti0)|+|Lu(xi0,ti0)|

≤Md(τ+h)+‖e‖

(13)

這里Md為正常數(shù)，Md=max{‖Lux(V)‖∞,Lut(V)‖∞}。由(12)和(13)可知該算法是穩(wěn)定的。

3 數(shù)值例子

通過兩個數(shù)值例子驗證該方法的有效性，并對所得近似解和精確解進行比較。式(14)定義的最大誤差(Emax)和式(15)定義的平均誤差(Emean)可作為衡量LS-SVM近似程度的指標。

(14)

(15)

其中uA(xi,tl)是精確解，uL(xi,tl)是由LS-SVM求得的近似解。在計算過程中，σ和γ都是常數(shù)，固定γ，研究最大誤差隨σ變化的過程，從而可以找到使最大誤差取得最小值時的σ和γ。

例1考慮波動方程：

(16)

它的精確解u(x,t)=costsinx。在計算過程中，取A(x,t)=(1-t2)sinx，B(x,t)=x(π-x)t2，空間步長分別取h=0.157 1、0.078 5，時間步長分別取τ=0.1、0.025，取γ=1.0×108，σ=0.52。表1給出了兩種情況下的數(shù)值結果，分別用D01、D02表示。圖1A為方程(16)的精確解圖像，圖1B為方程(16)的LS-SVM近似解圖像，圖2為方程(16)的精確解與LS-SVM近似解之間的誤差圖像。可以看出，盡管所用的訓練數(shù)據(jù)較少，但近似解和精確解非常接近。由于LS-SVM近似解與精確解之間的誤差非常小，為了更好地呈現(xiàn)誤差，對Emax取對數(shù)得lgEmax。圖3給出了不同γ時，lgEmax隨σ的變化曲線。由圖3可以看出，當γ=1.0×109時，Emax相對穩(wěn)定。

A.精確解；B.LS-SVM近似解。圖1 例1的數(shù)值結果Fig.1 The numerical results of example 1

圖2 例1的LS-SVM近似解與精確解誤差Fig.2 Error δ between LS-SVM approximate solution and exact solution of example 1

圖3 例1的最大誤差對數(shù)Fig.3 Logarithm of maximum error of example 1

表1 近似解的兩個數(shù)值結果Table 1 Two numerical results of approximate solution

例2考慮波動方程：

(17)

它的精確解u(x,t)=x+x2sinht。在計算過程中，取A(x,t)=x(1+sinht)，B(x,t)=x(1-x)t2?？臻g步長分別取h=0.05、0.03，時間步長分別取τ=0.10、0.05，表2給出了兩種情況下的數(shù)值結果，分別用D03、D04表示。圖4A為方程(17)的精確解圖像，圖4B為方程(17)的LS-SVM近似解圖像，圖5為方程(17)精確解和LS-SVM近似解之間的誤差圖像。可以看出，盡管所用的訓練數(shù)據(jù)較少，但近似解和精確解非常接近。圖6給出了不同γ時，lgEmax隨σ的變化曲線。由曲線可以看出，σ<0.01時，Emax波動較大。

表2 LS-SVM近似解的兩個數(shù)值結果Table 2 Two numerical results of LS-SVM approximate solution

A.精確解；B.LS-SVM近似解。圖4 例2的數(shù)值結果Fig.4 The numerical results of example 2

圖5 例2的LS-SVM近似解與精確解誤差Fig.5 Error δ between LS-SVM approximate solution and exact solution of example 2

圖6 例2的最大誤差對數(shù)Fig.6 Logarithm of maximum error of example 2

4 結論

LS-SVM用于解偏微分方程，優(yōu)點是對研究區(qū)域的形狀、邊界、網(wǎng)格點分布沒有要求，適應性強，不依賴于邊值條件和初值條件。本文用該方法求出一維波動方程的近似解，該近似解以標準形式給出，它由兩部分組成，其中一部分是滿足邊值條件的已知函數(shù)，另一部分是兩項的乘積，一項是邊值為0的已知函數(shù)，另一項是與核函數(shù)相關的未知函數(shù)。為使誤差最小，采用網(wǎng)絡搜索法確定正則化因子和核寬度參數(shù)的取值，并證明了近似解的穩(wěn)定性。兩個數(shù)值例子表明，該方法求解一維波動方程具有較好的穩(wěn)定性和較高的精度。因此該方法可用于求解邊界更為復雜的波動方程。