黃金萍，張 林，王子嫣

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

隨機矩陣理論或概率論是研究量子信息理論的有力工具。近年來，量子信道容量的非可加性猜想被隨機矩陣理論工具破解，證明了量子糾纏可以提高量子信道容量[1]。對一般的多體隨機量子態(tài)，Duistermaat-Heckman測度被用于刻畫其單體約化密度矩陣的特征值的聯(lián)合概率分布密度以及特征值的聯(lián)合分布[2-5]。隨機矩陣理論還可用于分析可觀測量的不確定性關系和量子測量的不相容性，例如，文獻[6]研究了d維空間中的2組量子測量聯(lián)合可測的刻畫，并將量子測量隨機化，運用概率等相關理論研究了二維空間上的2組無偏測量的不相容概率。在計算測量不相容概率的過程中，文獻[6]用到2個實單位矢量內(nèi)積的概率密度函數(shù)。類似地，文獻[7]中提及到復的單位矢量內(nèi)積的模的平方被稱為轉(zhuǎn)移概率，文獻[8]研究了2個復的單位矢量(對應于純態(tài))的內(nèi)積的模的概率密度函數(shù)，受文獻[6]和文獻[8]的啟發(fā)，本文計算2個隨機量子混合態(tài)內(nèi)積的概率密度函數(shù)，并給出2個隨機量子比特混合態(tài)內(nèi)積的概率密度函數(shù)的精確表達式。

1 預備知識

定義1[9]δ函數(shù)的定義為：

用傅里葉積分表示為：

其中，i是虛數(shù)單位。

符號函數(shù)sgn定義如下：

引理1[10](HCIZ積分公式) 設A和B是n×n自伴矩陣，其特征值分別滿足λ1(A)<λ2(A)<…<λn(A)和λ1(B)<λ2(B)<…<λn(B)。記

則積分公式

2 主要結(jié)果

設ρ,σ∈D(Cn)，2個隨機混合量子態(tài)的內(nèi)積r=〈ρ,σ〉的概率密度函數(shù)pn(r)為[6]：

(1)

當n=2時，得出以下解析結(jié)果。

定理2個隨機混合量子態(tài)ρ,σ∈D(C2)內(nèi)積的概率密度函數(shù)為：

用δ函數(shù)的積分表示為：

其中，α為一變量。

由引理1和式(1)可得：

令

最后，使用Mathematica計算推導得到：

接下來，考慮r,1-r,x+y-2xy的大小關系。

sgn(r-x-y+2xy)+sgn(1-r-x-y+2xy)=2或0或-2，只有

sgn(r-x-y+2xy)+sgn(1-r-x-y+2xy)=2時有意義，此時

sgn(r-x-y+2xy)+sgn(1-r-x-y+2xy)=2或0或-2，只有

sgn(r-x-y+2xy)+sgn(1-r-x-y+2xy)=2時有意義，此時

因此，得到：

此外，計算得出：

最后，借助數(shù)學軟件Mathematica，得到2個隨機量子比特混合態(tài)內(nèi)積的概率密度函數(shù)的具體圖像如圖1所示。

圖1 2個隨機量子比特混合態(tài)內(nèi)積的概率密度函數(shù)

3 結(jié)束語

已發(fā)表文獻中，在研究隨機量子測量的聯(lián)合可測概率時，僅考慮實或復的隨機純量子態(tài)內(nèi)積的概率密度兩種情形。本文考慮隨機混合量子態(tài)內(nèi)積的概率密度函數(shù)情形，計算出隨機量子比特混合態(tài)內(nèi)積(作為一維隨機變量)的概率密度函數(shù)，并得到精確的函數(shù)解析式和對應的概率密度函數(shù)圖，在不確定性關系研究中具有潛在應用。由于高維空間中的量子比特內(nèi)積的概率密度函數(shù)計算的復雜性，下一步將尋找其它方法來研究高維空間中量子比特內(nèi)積的概率密度函數(shù)。