范 健，李亞娟，劉建貞，鄧重陽

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

與參數(shù)曲面相比，細(xì)分曲面更易表達(dá)復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何特征，計(jì)算效率更高，發(fā)展及應(yīng)用更廣泛[1]?，F(xiàn)有的細(xì)分曲面造型方法分為插值型細(xì)分方法[2]和逼近型細(xì)分方法[3]兩大類。對插值型細(xì)分方法而言，通常從點(diǎn)的位置信息出發(fā)，經(jīng)過網(wǎng)格不斷細(xì)化從而得到其極限曲面；而極限曲面不易像參數(shù)曲面一樣得到相應(yīng)的幾何信息，且在不改變初始網(wǎng)格點(diǎn)位置的前提下，不方便調(diào)整極限曲面的局部形狀。Coons曲面[4]是根據(jù)邊界條件而成的曲面，是最常見的參數(shù)曲面之一，與Bézier曲面和B樣條曲面相比，其優(yōu)點(diǎn)在于插值給定邊界條件。本文提出一種基于Coons曲面的插值細(xì)分方法，適用于任意拓?fù)渌倪呅尉W(wǎng)格。滿足點(diǎn)插值的同時(shí)也滿足切向插值，容易得到曲面的導(dǎo)矢信息，且在不改變初始網(wǎng)格點(diǎn)位置的情況下，可通過改變初始切向達(dá)到調(diào)整極限曲面形狀的效果。

1 預(yù)備知識

1.1 Coons曲面

給定參數(shù)曲面Z(u,v)，0≤u,v≤1，它在u方向和v方向的一對邊界分別記為Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)，Z(1,v)。若對其邊界作插值，得到新的曲面為：

X(u,v)=(1-u)Z(0,v)+uZ(1,v)+(1-v)Z(u,0)+vZ(u,1)-

(1)

稱曲面X(u,v)為Coons曲面，其中Z(0,0)，Z(0,1)，Z(1,0)，Z(1,1)為參數(shù)曲面Z(u,v)的4個(gè)角點(diǎn)。顯然，參數(shù)曲面Z(u,v)的邊界線也是Coons曲面X(u,v)的邊界線。

通過式(1)得到Coons曲面兩方向u，v的切向?yàn)椋?/p>

Xu(u,v)=(1-v)Zu(u,0)+vZu(u,1)-Z(0,v)+Z(1,v)-

(2)

(3)

式中，Zu(u,0)，Zu(u,1)，Zv(0,v)和Zv(1,v)分別為邊界曲線Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)和Z(1,v)的切向。

1.2 拓?fù)湟?guī)則

本文研究四邊形網(wǎng)格的插值型細(xì)分方法，面的分裂方式是1分為4，分裂方式如圖1所示。對于給定的四邊形網(wǎng)格，細(xì)分過程中，每個(gè)面和每條邊分別插入1個(gè)新點(diǎn)，稱之為新面點(diǎn)和新邊點(diǎn)，每條邊的新邊點(diǎn)分別與邊的兩端點(diǎn)連接，每個(gè)面的新面點(diǎn)分別與4條邊的新邊點(diǎn)連接，形成新的細(xì)分網(wǎng)格。

圖1 面的分裂方式

2 基于Coons曲面的插值細(xì)分方法

對于面1-4分裂的帶切向的插值細(xì)分方法，每次細(xì)分過程中，應(yīng)分別計(jì)算每條邊的新邊點(diǎn)及其切向和每個(gè)面的新面點(diǎn)及其切向。

圖2 新邊點(diǎn)的計(jì)算示圖

2.1 新邊點(diǎn)及其切向的計(jì)算

為了敘述方便，分別稱新邊點(diǎn)的兩方向切向?yàn)檠剡吳邢蚝涂缃缜邢?，沿邊切向是新邊點(diǎn)對應(yīng)于新邊點(diǎn)和舊邊的端點(diǎn)所連邊的切向，跨界切向是新邊點(diǎn)對應(yīng)于新邊點(diǎn)和新面點(diǎn)所連邊的切向。新面點(diǎn)的計(jì)算如圖2所示，令舊邊e的2個(gè)端點(diǎn)分別為P0和P1，向量T0和T1分別為點(diǎn)P0和P1的沿邊e的切向，l為邊e的長度，輔助點(diǎn)Q0和Q1分別為：

P0，Q0，Q1和P1依次相連形成特征多邊形，由此構(gòu)造1條三次Bézier曲線[5]：

令包含內(nèi)部邊e的2個(gè)面的新面點(diǎn)分別為F1和F2。對于任何一個(gè)滿足一定連續(xù)性的細(xì)分方法，只要細(xì)分次數(shù)足夠多，新邊點(diǎn)和臨近兩新面點(diǎn)定是近乎共線，因此，新邊點(diǎn)Pe的跨界切向?yàn)椋?/p>

2.2 新面點(diǎn)及其切向的計(jì)算

新面點(diǎn)的計(jì)算如圖3所示，面f的4條邊對應(yīng)的三次Bézier曲線分別為Z(u,0)，Z(u,1)，Z(0,v)，Z(1,v)，以它們作為邊界曲線，構(gòu)造1個(gè)插值這些曲線的Coons曲面X(u,v)。根據(jù)式(1)—式(3)，取Coons曲面內(nèi)部一點(diǎn)，

和該點(diǎn)處的兩方向切向，

作為面f的新面點(diǎn)與其兩方向切向。

圖3 新面點(diǎn)的計(jì)算示圖

2.3 邊界新邊點(diǎn)跨界切向的計(jì)算

圖4 邊界新邊點(diǎn)的計(jì)算示圖

3 收斂性及光滑性分析

本文提出的基于Coons曲面的插值細(xì)分方法在任意一點(diǎn)處G1連續(xù)。細(xì)分過程中，任意一條舊邊新插入的點(diǎn)皆通過構(gòu)造相應(yīng)的三次Bézier曲線采樣得到，因此，只需證明任意兩相鄰點(diǎn)通過本文方法不斷構(gòu)造三次Bézier曲線插入新點(diǎn)得到的細(xì)分曲線收斂且G1連續(xù)，即可證明極限曲面的收斂性及光滑性。

3.1 收斂性證明

圖5 收斂性證明

3.2 光滑性證明

圖6 光滑性證明

4 實(shí)例效果及分析

采用本文提出的基于Coons曲面的插值細(xì)分方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，需給定初始網(wǎng)格點(diǎn)的切矢。初始網(wǎng)格的規(guī)則點(diǎn)需輸入2個(gè)方向的初始切向，不規(guī)則點(diǎn)需設(shè)定更多方向的初始切向，手動(dòng)給定所有點(diǎn)的初始切向過于不便，為此本文提出一種生成初始切向的方法。

(2)不規(guī)則點(diǎn)的處理。先確定不規(guī)則點(diǎn)的切平面。切平面的法向量包含此點(diǎn)所有四邊形網(wǎng)格的單位法向量的均值；若四邊形網(wǎng)格4個(gè)頂點(diǎn)不共面，則取四邊形網(wǎng)格上該點(diǎn)及與其相鄰兩點(diǎn)所在平面的法向量，然后不規(guī)則點(diǎn)的各沿邊切向取為各邊在切平面上的單位投影向量。

本文細(xì)分方法在點(diǎn)插值的基礎(chǔ)上也能保證切向插值，所以能夠保證形狀可調(diào)控及造型更自由的特點(diǎn)。用本文方法設(shè)計(jì)插值曲面時(shí)，可在待插值點(diǎn)處先選定好所期望的切平面，初始網(wǎng)格在該點(diǎn)處的切向若皆選自于所期望的切平面，則極限曲面在該插值點(diǎn)處的切平面即為所選定的切平面。

采用本文方法生成網(wǎng)格點(diǎn)初始切向的細(xì)分實(shí)例如圖7所示，圖7中部分細(xì)分實(shí)例所對應(yīng)的斑馬紋理圖和高斯曲率圖如圖8所示。

圖7 初始網(wǎng)格及其極限曲面

圖8 斑馬紋理圖和高斯曲率圖

Kobbelt細(xì)分方法[7]作為經(jīng)典的點(diǎn)插值細(xì)分方法，常應(yīng)用于細(xì)分曲面。分別采用本文提出的基于Coons曲面的插值細(xì)分方法和Kobbelt細(xì)分方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)例效果如圖9所示。

圖9 不同細(xì)分方法的極限曲面

從圖9可以看出，在不改變初始網(wǎng)格點(diǎn)的位置前提下，Kobbelt細(xì)分方法極限曲面的形狀是固定的，而本文細(xì)分方法通過調(diào)整初始點(diǎn)的切向，達(dá)到調(diào)整極限曲面形狀的效果。這是因?yàn)楸疚募?xì)分方法的初始網(wǎng)格每個(gè)點(diǎn)皆可選取滿足需要的切向，額外自由度可調(diào)整插值曲面的形狀，使得造型更加靈活自由。

5 結(jié)束語

經(jīng)典插值型細(xì)分方法在不改變初始網(wǎng)格點(diǎn)位置的前提下，不便調(diào)整曲面的局部形狀，為此，本文提出一種帶切向的插值細(xì)分方法，簡單易實(shí)現(xiàn)，造型靈活自由，得到效果不錯(cuò)的插值曲面。但是，在初始網(wǎng)格點(diǎn)切向選取較為極端或初始網(wǎng)格過于復(fù)雜的情況下，極限曲面可能出現(xiàn)自相交的情況，光滑性有待進(jìn)一步提高，如何改進(jìn)細(xì)分規(guī)則以改善這些問題是下一步研究的重點(diǎn)。