張 樂，袁訓鋒，雷 健，譚小東

（商洛學院 電子信息與電氣工程學院，商洛 726000）

量子失協(xié)包括量子體系中的糾纏量子關(guān)聯(lián)和非糾纏量子關(guān)聯(lián)， 而量子糾纏是量子通信與量子計算的重要資源［1］。 作為一種非局域關(guān)聯(lián)，量子糾纏是量子通信區(qū)別于經(jīng)典通信的重要特征， 人們借助量子糾纏能夠完成在經(jīng)典領(lǐng)域中無法完成的工作， 如量子遙傳和量子密鑰分發(fā)等［1］。 人們曾認為量子糾纏是量子信息技術(shù)超越其他經(jīng)典技術(shù)的根本原因，但近期的研究結(jié)果表明， 量子關(guān)聯(lián)可能比量子糾纏更基礎(chǔ)、更廣泛［2］。 量子關(guān)聯(lián)包括糾纏關(guān)聯(lián)和非糾纏關(guān)聯(lián)，也就是說，糾纏只是一種特殊的量子關(guān)聯(lián)。 從理論上講， 非糾纏量子關(guān)聯(lián)可以幫助人們確定量子計算 加 速DQC1 方 案［3-4］和 尋 找 量 子 搜 索 算 法［5-6］，目前，非糾纏量子關(guān)聯(lián)已通過實驗［7］得到驗證。 2001年，H. OLLIVIER 等［8］通過引入量子失協(xié)度量量子系統(tǒng)中非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的總和(包括糾纏和非糾纏)。這一研究引起了人們的極大興趣， 他們相繼提出了各種度量方法，這些方法包括基于測量的度量方法［9-10］和基于相對熵的度量方法［11］以及幾何量子失協(xié)［12-13］等。研究成果表明，諸如核磁共振(NMR)系統(tǒng)［14］、冷原子系 統(tǒng)［15］、光 子 系 統(tǒng)［16-17］、囚 禁 離 子 系 統(tǒng)［18］和 自 旋 系統(tǒng)［19-20］等都存在量子失協(xié)現(xiàn)象。 量子失協(xié)與量子相變［21-22］、正 定 映 射 演 化［23］和 量 子 態(tài) 廣 播［24］等 緊 密 相關(guān)，在量子密碼術(shù)［25］、量子態(tài)遠程制備［26］和生物系統(tǒng)模擬［27］等方面有著廣泛的應用。另外，量子失協(xié)的動力學研究結(jié)果表明，在馬爾科夫環(huán)境中，量子失協(xié)比量子糾纏具有更強的抗退相干能力［16,28］。 因此，研究量子失協(xié)有助于加深對量子信息論的理解， 有助于推動量子信息技術(shù)的發(fā)展。

將固態(tài)量子系統(tǒng)應用于微納加工工藝， 有利于大規(guī)模集成和擴展， 這是研發(fā)量子元器件的重要途徑。 描述自旋量子間相互作用的自旋鏈在光晶格［29-30］、囚 禁 離 子［31-32］、超 導 量 子 比 特［33-34］和 核 磁 共振［35］等在物理系統(tǒng)中均有體現(xiàn)，自旋鏈模型中的量子失協(xié)也是應用物理的重要研究內(nèi)容。 一維伊辛、XY 和XXZ 等自旋鏈系統(tǒng)都是可以精確求解的［36-37］，它們在研究強關(guān)聯(lián)物理系統(tǒng)和系統(tǒng)臨界行為方面起著重要作用。 已有的研究結(jié)果表明，利用量子失協(xié)能有效探測一維自旋鏈系統(tǒng)的量子相變點［21-22,38-40］。 在更深入的研究中，人們還考慮了外場作用［41］、三體作用［42-43］、Dzyaloshinskii-Moriya 作 用［44-46］和 熱 波 動［38］等對一維自旋鏈系統(tǒng)中量子失協(xié)的影響。

一維海森堡-伊辛自旋鏈系統(tǒng)是可以精確求解的。 E. LIEB 等［36］求出了該系統(tǒng)的基態(tài)，找到了系統(tǒng)的量子相變臨界點。 TAN X. D.等［47］利用量子重正化群方法研究了該系統(tǒng)基態(tài)中的量子糾纏， 發(fā)現(xiàn)量子糾纏的一階導數(shù)在系統(tǒng)的量子相變點處存在發(fā)散行為。 S. KHAN 等［48］利用同樣的方法研究了該系統(tǒng)基態(tài)中的量子失協(xié)現(xiàn)象， 探測到了該系統(tǒng)的量子相變點。以上研究主要集中在基態(tài)方面，而關(guān)于熱平衡態(tài)方面的研究還比較少。在本文中，我們研究了一維海森堡-伊辛自旋鏈模型中的量子失協(xié)的度量及其性質(zhì)， 導出了任意兩自旋粒子間量子失協(xié)的解析表達式，通過數(shù)值計算結(jié)果分析了溫度、海森堡-伊辛相對耦合強度和橫向磁場對量子失協(xié)的影響。

1 模型與兩體約化密度矩陣

2 量子失協(xié)

該定義是由H. OLLIVIER 等最先引入的， 它被稱為量子失協(xié)（Quantum Discord），其度量記為QD。

圖1 不同尺 度 自旋鏈中 QD (? )曲線

圖2 不同尺度自旋鏈中 dQD dt曲線

圖3 ln(2??) 與 ln( L)的擬合 曲 線

圖4 h? 0時 QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖5 h ? 0.5時 QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖6 h? 1時 QD (? 隨 ?和 kT 的變 化 情況

圖7 h? 2時 QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖8、圖9、圖10 和圖11 給出了不同溫度下QD(?2i?1,2i)隨耦合強度? 和 橫向磁場h的變化情況。 從圖8 可以看出，當kT? 0時，對于給定的h，QD(?2i?1,2i)總是隨著? 的增大而減小，對于給定的小 ?，QD(?2i?1,2i)隨著h 的增大而減小，當伊辛作用比較強時，QD(?2i?1,2i)不是h 的單調(diào)遞減函數(shù)，在h?0附近，先隨h 的增大而迅速增大，后隨h 的增大而緩慢變小。 從圖9 可以看出，當kT? 0.5時，QD(?2i?1,2i)的變化情況與kT?0時的類似，但其峰值有所降低，在強伊辛作用下，QD(?2i?1,2i)在h?0附近增加得比較緩慢。 從圖10可以看出，當kT?2.5時，熱波動對量子關(guān)聯(lián)的破壞作用增強，QD(?2i?1,2i)的峰值降到0.3 以下。 從圖11 可以看出，當kT? 5時，由于強熱波動的影響，QD(?2i?1,2i)變化比較劇烈，這說明相應的量子失諧已被破壞。

圖8 kT? 0時 QD ( )隨 ?和h 的變化情況

圖9 kT? 1時Q D (? 隨 ?和h的變化情況

圖10 kT ? 2.5時 QD (? 隨 ?和h 的變化情況

圖11 kT? 5時 QD (? 隨 ?和h 的變化情況

圖12、圖13、圖14 和圖15 給出了不同耦合強度 ? 下QD(?2i?1,2i)隨溫度kT和橫向磁場h 的變化情況。 從圖12 可以看出，當? ?0時，相鄰兩個自旋粒子間只有海森堡作用，QD(?2i?1,2i)隨溫度kT和橫向磁場h 的增大而減小。 從圖13 可以看出，當? ?1時，QD(?2i?1,2i)也有所減小， 且與 ? ?0時的情況類似。 從圖14 可以看出，當 ? ?2時，在低溫條件下，QD(?2i?1,2i)隨h 的增大出現(xiàn)小范圍的波動。 從圖15可以看出， 當 ? ? 3時，QD(?2i?1,2i)隨h 的波動行為更加明顯。

圖12 ? ? 0時 QD (? )隨 kT 和h 的變化情 況

圖13 ? ? 1時 QD (? )隨 kT 和h 的 變化情況

圖14 ? ? 2時 QD (? )隨 kT 和h 的變化情況

圖15 ? ? 3時 QD (? 隨 kT和h 的變化情況

以上結(jié)果主要是由耦合強度 ?、溫度kT 和橫向磁場h 相互競爭引起的。

根據(jù)以上結(jié)果，可以得出以下結(jié)論。

當溫度和磁場一定時， ?取值較小時海森堡作用占據(jù)主導地位，量子整體上呈反鐵磁序，量子關(guān)聯(lián)較大；但隨著 ?的增大，伊辛作用占據(jù)主導地位，相鄰的反鐵磁耦合粒子對之間的耦合作用將抑制量子的反鐵磁序，削弱量子關(guān) 聯(lián)，即QD(?)隨 著 ?的增大而減小。

3 結(jié)束語

在本文中，我們研究了一維海森堡-伊辛自旋鏈模型中的兩體量子失協(xié)的性質(zhì)， 分析了溫度、 海森堡-伊辛相對耦合強度和橫向磁場對最近鄰反鐵磁耦合的兩自旋粒子間量子失協(xié)的影響， 得出了以下結(jié)論： 在絕對零度下，QD 的一階導數(shù)的極小值點在系統(tǒng)的量子相變點附近存在標度行為； 隨著溫度升高和耦合強度增大，QD 不斷變?。?當伊辛作用足夠強和溫度比較低的條件下，QD 在橫向磁場中將表現(xiàn)出明顯的波動行為。