浙江省寧波市第四中學(xué)(315016)高 鵬 蔣亞軍

柯西不等式作為經(jīng)典的不等式,是求最值及不等式證明中常用的工具,形式各異但又趨于統(tǒng)一.在高考及各類競(jìng)賽中常有出現(xiàn),學(xué)生普遍感覺難度偏大、不易解決,針對(duì)頻頻出現(xiàn)的此類不等式問題,通常使用“拆常數(shù)、湊常值”來破解.文章將從知識(shí)回顧、應(yīng)用實(shí)例、相關(guān)例題和教學(xué)啟示四個(gè)方面加以說明.

1 知識(shí)回顧

證明假設(shè)n 維空間中存在兩個(gè)向量a, b, 可表示為a = (a1,a2,··· ,an)及b = (b1,b2,··· ,bn), 那么滿足|a|·|b|≥|a·b|,當(dāng)且僅當(dāng)a 與b 之間夾角θ 滿足cos θ =0時(shí)等號(hào)成立,即

等號(hào)兩端同時(shí)平方得證.

2 實(shí)例應(yīng)用

例1(2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一卷(浙江卷))已知平面向量a,b,c,(c0)滿足|a| = 1,|b| = 2,a·b =0,(a-b)·c = 0.記向量d 在a,b 方向上的投影分別為x,y,d-a 在c 方向上的投影為z,則x2+y2+z2的最小值為____.

證明因?yàn)閍1,a2,··· ,an為正數(shù),且a1+a2+···+an=1,則

和實(shí)數(shù)1,1,··· ,1(n 個(gè)).利用柯西不等式可得

即

由此得證

評(píng)注本題利用了兩次n 元柯西不等式,對(duì)學(xué)生而言難度比較大.在題目設(shè)計(jì)過程中預(yù)期大多數(shù)學(xué)生能夠想到利用一次不等式,利用結(jié)論配湊形式倒推一步,但在實(shí)際解題過程中,由于對(duì)柯西不等式的理解不夠深入,以及柯西不等式的變形應(yīng)用不熟練,是造成不能證明結(jié)論的主要原因.

解法1假設(shè)0 ＜m ＜1,那么

評(píng)注本題考察柯西不等式較為隱晦,需要利用待定系數(shù)法配湊出柯西不等式來求解.此外,本題也可以使用三角函數(shù)換元法,利用反向輔助角三角不等式等方法求解,但其本質(zhì)上還是柯西不等式的應(yīng)用.

3 相關(guān)試題

題目1(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)函數(shù)的最大值為____.(答案: 11)

題目2[1](2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽)設(shè)a,b,c,d 都是實(shí)數(shù), 滿足a + 2b + 3c + 4d =則a2+b2+c2+d2+(a+b+c+d)2的最小值為____.(答案:1)

題目3已知正數(shù)a1,a2,··· ,an(n ＞2)滿足a1+a2+···+an=1.證明:

(證明略)

4 教學(xué)啟示

柯西不等式和均值不等式都是經(jīng)典的不等式,在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽和高考題中都占有非常重要的地位,往往考題不會(huì)直接給出證明柯西不等式的顯性表達(dá)式, 而是將不等式與向量、三角函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等知識(shí)結(jié)合,主要考察學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),對(duì)學(xué)生的要求較高.而這類題往往來源于教材, 如柯西不等式在向量中的影子就可以從|a|·|b| ≥|a·b|入手,而在分布列中的影子可以從E(ξ2)≥(E(ξ))2入手.因此在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)重視書本內(nèi)容,重視普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)高考的指導(dǎo)作用,在對(duì)教材的例題和習(xí)題的處理上,更要進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣箲?yīng)用.其次,不等式內(nèi)容豐富,教師在平時(shí)的備課中,需要立足通性通法,注重知識(shí)之間的聯(lián)系.學(xué)生根據(jù)已知條件所能獨(dú)立想到的方法可以看作他們思維的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平,借助教師的幫助可以想到,但是難以獨(dú)立想到的方法則是他們的潛在發(fā)展水平[2].教師應(yīng)該基于學(xué)生的發(fā)展區(qū),不斷引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題,在題目積累的同時(shí)歸納總結(jié),能夠做到根據(jù)不同的形式和結(jié)構(gòu)選擇不同的方法,在復(fù)習(xí)備考中做到以不變應(yīng)萬(wàn)變.