廣東省珠海市第五中學(519000)韓 彬

三角形的面積公式為: 底與高乘積的一半.看似非常簡單,小學便已掌握.在我們深入研究了公式本質后,發(fā)現(xiàn)“等底同高”,“等底等高”,“同底等高”的三角形面積都相等.對于不同的兩個三角形來說,無論底和高的位置如何變化,只要長度數(shù)值不變,乘積就不變,面積也不變.對于某一個確定的三角形來說,即便是改變底和高,由于研究的對象沒變,面積也不會改變.因此三角形的面積相等將會有很多種可能.當我們把它靈活的運用起來以后便可以巧妙的解決求線段長,求圖形的面積,求最值,證明存在性等問題.

1 構造三角形中線,尋找面積相等的三角形

人教版八年級上數(shù)學課本,對于三角形的中線的定義是這樣的.如圖,連接ΔABC 的頂點A 和它的對邊BC 的中點D,所得的線段AD 叫做ΔABC 的邊BC 上的中線.

圖1

例1長方形ABCD 的長為a,寬為b,E,F 分別是BC和CD 的中點, DE,BF 交于點G, 求四邊形ABGD 的面積.

小結該題是一道相對比較復雜的幾何題,題目沒有給具體的數(shù)據(jù),只表示出了長方形的長和寬,而四邊形又是一個不規(guī)則的四邊形,沒有面積公式可以利用.解決這題的唯一抓手就是充分利用好邊的中點.中點產(chǎn)生中線,中線分兩個等底同高的三角形,因此就將這道題串聯(lián)起來了.利用中線將四邊形的圖形進行分割,產(chǎn)生三角形,再利用三角形的等面積的性質,將三角形的面積進行等量轉換,從而表示出每一個小三角形的面積,才能得解.

2 巧作一組平行線,發(fā)掘面積相等的三角形

例2如圖,在4×4 方格紙中,小正方形的邊長為1,點A,B,C 在格點上,若ΔABC 的面積為2,則滿足條件的點C 的個數(shù)是____.

圖3

分析本題是一道難度適中的填空題,其實網(wǎng)格中除去A,B,C 三點之外的格點并不多,采用枚舉法也可以找出答案,但是比較繁瑣.我們可以過C 點作直線AB 的平行線,平行線上的所有的點都可以滿足與AB 構成的三角形面積等于2.同時關于直線AB 對稱的位置也還會有相等數(shù)量的點.

解答過C 點作直線AB 的平行線, 與方格線交于C1,C2兩點,連接C1A,C1B 得出ΔABC1,因為SΔABC1=SΔABC,同理可得: SΔABC2= SΔABC,根據(jù)圖形的對稱性,在直線AB 的另一側對稱的位置也會有一條平行線,與方格紙會產(chǎn)生C3,C4,C5三個點.所以滿足條件的點有5 個.

小結解決本題,不需要通過計算,而是借助平行線巧妙的去構造多個同底等高的三角形.利用同底等高的三角形面積相等的特性來解決問題.在尋找同底等高的三角形時,最關鍵的步驟是利用平行線,平行線與網(wǎng)格線的交點便是符合題意的點.本題充分的體現(xiàn)了等面積法所帶來的快捷性和準確性.結合平行線利用等面積法解題對于函數(shù)圖形問題還有更加重要的作用.

例3如圖,拋物線y =mx2-2mx-3m(m ＞0)與x軸交于A,B 兩點,與y 軸交于點C,點M 為拋物線的頂點,且OC =OB.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若拋物線上有一點P,連接PC 交線段BM 于Q 點,且SΔBPQ=SΔCMQ,求點P 的坐標.

圖4

分析本題第一問比較常規(guī), 只需要根據(jù)圖像與x 軸有兩個交點這一信息, 令y = 0 得出等式, 解出A,B 點坐標, 求出解析式中的參數(shù)即可.關鍵的第二問, 給出的條件SΔBPQ=SΔCMQ.利用等量加等量,由SΔBPQ+SΔBCQ=SΔCMQ+SΔBCQ得出SΔBCP= SΔCBM, 兩個三角形同底,必然等高,則可推斷出M,P 點所在的直線與直線BC 平行,從而求解.

解答(1)令y =0,得:mx2-2mx-3m=0,因為m ＞0同時除以m 得: x2-2x-3=0,解得: x1=-1,x2=3,因為A(-1,0),B(3,0),OB = 3.所以OC = OB = 3,點C在y 軸的負半軸上,所以C(0,-3),所以-3m=-3,m=1,所以拋物線的解析式為: y =x2-2x-3.

(2)根據(jù)B 點,C 點的坐標可以求出直線BC 解析式為:y =x-3,因為SΔBPQ=SΔCMQ,所以SΔBPQ+SΔBCQ=SΔCMQ+SΔBCQ,所以SΔPBC=SΔMBC,所以MP//BC,因此直線MP 的解析式可以設為: y = x + n, 根據(jù)頂點坐標M(1,-4), 可得直線解析式為: y = x - 5.聯(lián)立解得:(舍 去), 或

總結平行線間的距離處處相等,將這個相等的距離看作三角形的高,只要在平行線的一條中確定一段線段作為公共的底,那么在另一條平行線中任意確定一點所構成的三角形面積就是一個固定的值.因此便可以產(chǎn)生無數(shù)個面積相等的三角形,我們便可以根據(jù)這一特性,找到其中符合要求的那一對三角形.

3 借助面積相等的三角形,解決多種常見的幾何問題

3.1 解決求定值的問題

例4如圖, 點E 在正方形ABCD 的對角線AC 上,且AE = AD, 點P 是BE 上任一點, PN⊥AB 于點N,PM⊥AC 于點M, 若正方形ABCD 的面積是12, 證明PM +PN 是一個定值,并且計算出這個定值．

圖5

分析連接AP,過E 作EF⊥AB 于F.將ΔABE 分成ΔAEP 與ΔABP 兩個三角形.可根據(jù)三角形的面積不變的特性,即SΔABE=SΔAEP+SABP,而這三個三角形的底,AE =AD =AB 底相等,那么面積關系就轉化為高的關系了.便有PM +PN =EF,求出EF 的長,即可求解.

小結本小題關鍵在于拆分三角形,將一個三角形分成兩個三角形.利用面積不變性,拆分后的兩個三角形的面積之和等于未拆分前的一個三角形的面積.再結合三個三角形的底長度相等,得出面積的關系即就是高的關系,從而將兩段看似沒有聯(lián)系的線段, 從長度上轉化為一條可求的線段,從而得解.等面積法的使用讓本題的解答過程變得簡單和巧妙.

3.2 分割不規(guī)則圖形面積的問題

例5如圖, 在一塊梯形田地上, 分別要種植花生(ΔBEC 部分)和大豆(ΔABE,ΔDEC 部分).若想把種植大豆的兩塊地改為一塊,且使分別種植大豆和花生的面積不變.請問你怎么改種呢?

圖6

分析本題是一個考查圖形變換的題,沒有實質性的計算過程.把三個三角形變成兩個三角形,并且變化前后的面積不改變.我們只要保證ΔBEC 形狀改變而面積不變,那么剩下的ΔABE 與ΔDCE 的面積之和就不會改變.在改變ΔBEC 形狀的同時,當剩余的兩部能合為一部分時,就解決了問題.

解答因為S梯形ABCD=SΔBEC+(SΔABE+SΔDCE),又因為SΔBEC=EF,當E 在AD 上移動時,EF 的長度始終不變.那么SΔBDC為定值,梯形剩余的面積也不變.所以當E 與A 或D 重合時,連接BE 或CE,所以答案如圖所示.

小結解決本題需要弄懂題意,探究圖形面積的本質.考慮到三角形的面積跟圖形的底和高密切相關,所以我們劃分的依據(jù)就是保證變化前后的三角形底和高的長度不變化.而梯形提供的一組天然的平行線,就為高的不變性提供有力保障.利用等面積的思想,限定ΔBEC 面積的同時,也可控制剩余部分的面積不變,從而就可以得解.

3.3 解決最值問題

例6拋物線y = -x2+bx+c 經(jīng)過點A、B、C,已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式

(2)P 為線段BC 上一點,過點P 作y 軸平行線交拋物線于點D,當ΔDBC 的面積最大時,求點P 的坐標.

圖7

分析本題第一問很常規(guī),利用待定系數(shù)法輕松解決.第二問的探究過程需要考慮到面積的最大值.三角形的面積只與底和高相關,當把BC 當?shù)讜r,變量就只有高了.高的值最大,那么面積就最大.拋物線上的點D 離BC 最遠高便最大.因此過D 點平行于BC 的直線與拋物線有且只有一個交點時,這個交點便是離BC 最遠的點.求出D 點坐標后,便可得出點P 的橫坐標,從而求解.

小結本題是采用將BC 看作三角形的底來求三角形的面積.相比于作鉛錘高來求面積規(guī)避了大量的化簡計算.充分把握住三角形的面積公式的本質,控制一個變量三角形的底BC 不變,去探究另一個變量三角形的高.利用數(shù)形結合的思想,讓直線與拋物線相切來找到拋物線上與距離最遠的點,最遠的點就是切點.本題將三角形等面積的特性運用的淋漓盡致.

4 結語

三角形的等面積問題在中學數(shù)學階段往往是滲透化歸的思想進行考查的.將求交點個數(shù),求最值,求線段長度等問題轉化到三角形求面積的問題中來.這是一個非常實用的解題技巧.它巧妙的避開了大量的運算,提供了簡便的方法助我們快速的解答題目.而三角形等面積這一特性的產(chǎn)生就是緊緊圍繞三角形的面積公式,在底和高上面進行靈活的變換.等底同高,同底等高,等底等高,實質上是追求底和高在數(shù)值上的相等.我們往往需要把握的是通過不同線段之間的運算和轉化,保證三角形的底與高變線不變量,就可以保證面積不變.若把三角形面積,三角形的高,三角形的底看作三個變量的話,我們可以知其二求其一.在應用三角形等面積法時,需要明確已知變量和所求變量.掌握三角形等面積法對學生建立等面積思想有極大的推動作用.同時也能夠用更加完善學生解幾何題的方法和手段.