廣東省清遠市佛岡縣第一中學(511600)李 毅

在著名的《什么是數(shù)學》一書中提到:“數(shù)學,作為人類思維的表達形式,反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩ν昝谰辰绲淖非?創(chuàng)造性的思維不顧某些教條的哲學信仰而繼續(xù)發(fā)展著,而如果思維屈從于這種信仰就會阻礙出現(xiàn)建設性的成就.”培養(yǎng)學生掌握數(shù)學理性思維是發(fā)展學生創(chuàng)新意識,創(chuàng)新能力的關鍵.下面將就此進行探討.

1 訓練優(yōu)化學生思維品質(zhì)

數(shù)學思維的廣闊性、靈活性、敏捷性、深刻性、批判性和獨創(chuàng)性是數(shù)學思維品質(zhì)的智力特征.這些思維品質(zhì)的優(yōu)劣,反映了學生數(shù)學理性思維發(fā)展水平的高低.訓練和優(yōu)化學生的思維品質(zhì),能提高學生的理性思維能力,使學生理性分析和思考數(shù)學問題.

例1若關于x 的方程|x2-1|+x2+kx = 0 在區(qū)間(0,2)上有兩個解,求實數(shù)k 的取值范圍.

初次接觸此類問題的學生,較容易想到通過分類討論去掉絕對值,然后轉(zhuǎn)化為研究如下兩種情形: (I)當x ≤-1 或x ≥1 時,方程2x2+kx-1=0 在區(qū)間(0,2)上有兩解;(II)當-1 ≤x ≤1 時,方程kx+1 = 0 在區(qū)間(0,2)上有兩解:對于(I)學生可以寫出滿足的三個條件:然后利用韋達定理得到這里出現(xiàn)了多處失誤,沒有考慮前提條件x ≤-1 或x ≥1 的影響,沒有考慮充要性,表現(xiàn)出學生思維膚淺而不深刻,且缺乏批判性.

此時教師問學生: 反過來是否成立? 讓學生舉例說明,使學生認識到錯誤的根源,從而培養(yǎng)學生思維的深刻性和批判性.然后教師繼續(xù)發(fā)問: 此路不通怎么辦? 教師啟示學生,從“數(shù)”的角度考慮非常困難時,應該轉(zhuǎn)向從“形”上思考,從數(shù)和形的兩個角度觀察事物是理性思維的主要表現(xiàn).

教師: 函數(shù)方程是一家,方程問題可用函數(shù)思想去處理,通過構(gòu)造函數(shù),畫出函數(shù)圖像,可把抽象隱晦的問題轉(zhuǎn)化為形象直觀.請同學們嘗試探究.

學生1: 當-1 ≤x ≤1 時, 令f(x)= kx+1, 它是過定點(0,1), 斜率變化的線段; 當x ≤-1 或x ≥1 時, 令f(x)=2x2+kx-1,它是對稱軸變化的拋物線.

接下來學生就不知所措了.

為了培養(yǎng)學生的批判性思維,以后碰到類似問題能理性分析思考,教師讓學生查找原因,通過爭論,學生認為將方程左邊設為一個函數(shù),圖象是運動變化的.這兩個運動變化的圖象與固定直線x 軸在區(qū)間(0,2)上的一段要有兩個交點,情況復雜,很難處理.(這兩個運動變化的圖象稱為動曲線.)

教師: 如果轉(zhuǎn)換一下方向,讓曲線固定,直線運動變化會如何呢? 我們只考慮如何出現(xiàn)固定曲線.

學生表現(xiàn)出很無奈的神情,教師點撥: 對于(I)將方程左邊的三項2x2,kx,-1 任意組合, 能得到什么曲線或直線? 學生寫出三組: y = 2x2與y = kx-1 與y =-1,y =2x2-1 與y =-kx.于是學生恍然大悟, 通過移項將方程的項分離到左右兩邊, 看成兩個函數(shù).要滿足曲線固定, 直線變化, 學生選取了2x2- 1 = kx 與2x2= kx + 1 兩種情況.教師提出: 當-1 ≤x ≤1 時,方程為kx+1=0,又要怎么處理? 學生寫出1=-kx,這樣便得到x ≤-1 或x ≥1 時,2x2-1=kx;當-1 ≤x ≤1 時,1=-kx,達到和諧統(tǒng)一.固定曲線是分段函數(shù)y =變化直線是y =-kx.

解析畫出分段函數(shù)的圖象(圖1).因為y = -kx 是過原點斜率變化的直線系, 當直線過點A(1,1)和B(2,7)時,直線與圖1 在區(qū)間(0,2)上只有一個交點,此時斜率-k =1和在此兩直線之間,此直線與圖1 在區(qū)間(0,2)上有兩個交點,故即

圖1

問題得到圓滿解決,學生松了一口氣.此時教師追問,能否將方程2x2+kx-1=0寫成2x2= -kx + 1(-1 ≤x ≤ 1)? 學生松弛了的神經(jīng)又緊張起來, 通過討論, 學生給出了肯定回答, 將方程1+kx = 0(-1 ≤x ≤1)寫成2=-kx+1(-1 ≤x ≤1)同樣可以得解.緊接著,教師讓學生再思考,能否變出其他什么函數(shù)來? 使動直接變得更加簡單! 經(jīng)過一番探究,學生將方程2x2-1 = -kx 寫成將1 = -kx 寫成得到分段函數(shù)y =和運動的常數(shù)函數(shù)y = -k,畫出圖2,方程解的情況一目了然,最后,師生一起探討,求解參數(shù)方程的實根分布.

圖2

問題的理性分析思考規(guī)律: 運用數(shù)形結(jié)合的思想方法,將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有公共點問題.在操作過程中,要將方程再加工,使函數(shù)圖象盡可能熟悉簡單,原則上是變出動直線定曲線來.

本例的講解,通過暴露解題思維過程,由不會到能從多角度思考,尋求通法與優(yōu)法,訓練和優(yōu)化了學生思維的批判性,深刻性,靈活性,敏捷性,廣闊性,讓學生掌握了理性思維,發(fā)展了創(chuàng)新意識.

2 突破思維定式

數(shù)學解題的思維定式是指解題者在解決數(shù)學問題的過程中表現(xiàn)出來的思維的定向預備狀態(tài),他使人用以比較固定的方式去進行認知或作出反應,并影響著解法的專注性,趨向性,往往走進思維僵化呆板的封閉狀態(tài),使解題闖入死胡同.碰到這種情況,教師要引導學生理性分析思考問題,突破思維定式,根據(jù)具體情況及時換向,靈活調(diào)整思路.

例2設α ∈R,函數(shù),

(1)若x = 2 是函數(shù)f(x)的極值點, 求α的值;f(x)=αx3-3x2.

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x),x ∈[0,2]在x=0 處取得最大值,求α 的取值范圍.

一接觸第(2)小題這類題型, 學生受思維定式的影響,會先求g(x)= f(x)+ f′(x)= αx3- 3(1 - α)x2- 6x的極值, 再與端點處的函數(shù)值比較大小, 求得最大值.學生一般會先求導, 然后令g′(x)= 3αx2- 6(1 - α)x -6 = 0, 再討論α 是否為零? 當α 不為零時, 極值點又出現(xiàn)了含有參數(shù)的二次根式, 即可能的極值點x =此路難,難于上珠峰.如何讓學生突破思維定式? 教師讓學生回憶最大值概念,使學生意識到g(x),x ∈[0 , 2]在x = 0 處取得最大值,則g(0)不小于g(x)在相應區(qū)間上的所有函數(shù)值,所以g(0)≥g(2),求得可謂是一揮而就,正當學生高興得意時,教師追問學生:是充分必要條件嗎? 學生思維缺乏縝密性,以為求得就萬事大吉,沒有去考慮充要性.充要性問題是理性思維的重要內(nèi)容,思維縝密性是理性思維的重要方面,提出充要性問題讓學生研究,讓學生在探究中掌握理性思維.(具體過程略)

應用概念解題,可以突破思維定式,凸顯理性思維的巨大價值,獲得簡潔新穎的方法,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識.

3 強化數(shù)學辯證思維

辯證思維是理性思維的重要表現(xiàn),讓學生掌握和運用數(shù)學思維辯證策略是培養(yǎng)和提高學生理性思維的重要一環(huán).在數(shù)學解題的思維過程中,化歸與轉(zhuǎn)化的核心就是數(shù)學辯證策略的選取和運用.例題講解要滲透和強化數(shù)學辯證思維,使學生在潛移默化中領悟,運用,從而掌握理性思維,發(fā)展創(chuàng)新意識.

例3A 是定義在[2,4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:

①對任意的x ∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常數(shù)L(0 ＜L ＜1), 使得對任意的x1,x2∈[1,2],都有|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|.

試求解:

(1)設φ(x)∈A, 如果存在x0∈(1,2), 使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(2)設φ(x)∈A, 任xn∈(1,2)取, 令xn+1=φ(2xn),n = 1,2,...,證明: 給定整數(shù)k,對任意的正整數(shù)P,不等式成立.

這是一道與高等數(shù)學緊密相關的考題,它以高等數(shù)學的概念,定理為依托融于初等數(shù)學中,體現(xiàn)高等數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法和推理方法,難度較大,對學生數(shù)學理性思維的要求很高.

第(1)小題中的唯一性(還有存在性、不變形、充要性)問題只是理性思維的主要內(nèi)容之一.使用正難則反的辯證思維策略,運用反證法是證明唯一性問題的簡捷方法.

講 解設存有兩個x0, x0′∈ (1,2), x0x0′, 使得x0= φ(2x0), x0= φ(2x0), 則 由φ(x)∈ A, 有|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,∴|x0-x0′|≤L|x0-x0′|,∴L ≤1,這與0 ＜L ＜1 矛盾,∴這樣的x0是唯一的.

本題可以引導學生運用數(shù)形遷移的數(shù)學辯證思維策略去處理, 培養(yǎng)學生的理性思維, 發(fā)展學生的創(chuàng)新能力.教師可將條件|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1| 變形為≤L 后發(fā)問: 左邊絕對值符號內(nèi)的形式表示什么? 學生立即回答是直線的斜率.利用斜率推出矛盾,別具一格.

本小題從數(shù)和形的角度求解唯一性問題,突顯數(shù)學理性思維的巨大價值.

對于第(2)小題,學生一看到這么復雜的絕對值不等式的證明,心里就畏懼了,連碰都不想碰.這是培養(yǎng)學生理性思維的好題,下面呈現(xiàn)筆者引導學生探索求解的過程.

教師: 仔細觀察條件,你能得到什么有用的結(jié)論?

學生1: 由xn+1= φ(2xn)及條件②可得|xn+1-xn|=|φ(2xn)-φ(2xn-1)|≤L|xn-xn-1| (1).

教師: 觀察待證不等式,生1 發(fā)現(xiàn)的結(jié)論(1)有作用嗎?如果有,又要怎樣運用,才能逼近目標?

學生2: 因為待證不等式的右邊是|x2-x1|,因此,要將結(jié)論(1)遞推至|x2-x1|.

如|xn- xn-1|=|φ(2xn-1)- φ(2xn-2)|≤L|xn-1-xn-2|...

師: 結(jié)論(1)的實質(zhì)是什么?

學生: 后面相鄰兩項差的絕對值與其前面相鄰的兩項差的絕對值的不等關系.

師: 再觀察待證式,你認為要怎樣處理才能實現(xiàn)目標?

學生3: 因為結(jié)論(1)絕對值內(nèi)的項數(shù)僅差一項,而待證式左邊的絕對值內(nèi)的項數(shù)相差P 項,所以要將P 項分拆為相鄰兩項.

問題的解決于是水到渠成.

以上的探索過程采用了倒順相通的辯證思維,分析綜合的方法;拆項是分合相輔的數(shù)學辯證思維策略.正確選擇和運用辯證思維,使貌似很難的問題迎刃而解.

講解

例1 運用了數(shù)形遷移,引參求變(構(gòu)造函數(shù))的數(shù)學辯證思維;例2 運用了以簡馭繁的數(shù)學辯證思維;例3 運用了正難則反、倒順想通、數(shù)形遷移、分合相輔的數(shù)學辯證思維.除此之外,常用的數(shù)學思維辯證策略還有進退互用、化生為熟、動靜轉(zhuǎn)換、以美啟真等.在解題過程中,它們相互滲透交融,有時呈現(xiàn)出交錯混合的有機結(jié)合狀態(tài).解題時,數(shù)學思維辯證策略的正確選擇,正是數(shù)學理性思維的具體反映.掌握數(shù)學理性思維對促進學生深度學習,提升學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是十分有效的.