高文斌 褚亞杰 余曉流

1.安徽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山，243032 2.特種重載機(jī)器人安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，馬鞍山，243032

0 引言

定位精度是評價(jià)機(jī)器人性能的重要指標(biāo)，包括重復(fù)定位精度和絕對定位精度。工業(yè)機(jī)器人具有良好的重復(fù)定位精度，可達(dá)0.01 mm，但受零部件加工、裝配及使用磨損等產(chǎn)生幾何參數(shù)誤差的影響，絕對定位精度較低[1-3]。參數(shù)標(biāo)定是提高機(jī)器人絕對定位精度的一種經(jīng)濟(jì)有效的方法[4-5]。

D-H(Denavit-Hartenberg)參數(shù)法和指數(shù)積公式是串聯(lián)機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定常用的數(shù)學(xué)工具。D-H參數(shù)法需要的參數(shù)量最少，但相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時(shí)，機(jī)器人會(huì)出現(xiàn)奇異性問題[6]。一些學(xué)者通過增加參數(shù)解決奇異性問題，但如此也帶來了模型推導(dǎo)不直接、形式復(fù)雜等新問題[7-10]。針對上述問題，一些學(xué)者基于指數(shù)積公式開展了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的相關(guān)研究，當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)軸線平行或接近平行時(shí)，指數(shù)積形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型相對關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)是光滑變化的，不會(huì)出現(xiàn)奇異性問題[11-13]。目前，機(jī)器人誤差模型大多以基礎(chǔ)坐標(biāo)系為參考系，坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換導(dǎo)致誤差模型中包含姿態(tài)誤差與位置矢量的乘積項(xiàng)，影響了參數(shù)標(biāo)定識別精度。以工具坐標(biāo)系為參考系建立誤差模型，避免了姿態(tài)誤差與位置矢量的乘積項(xiàng)對參數(shù)標(biāo)定識別精度的影響[14]。本文以工具坐標(biāo)系為參考系，給出一種基于指數(shù)積公式的包含關(guān)節(jié)約束條件的位姿誤差標(biāo)定模型。采用激光跟蹤儀作為測量設(shè)備，通過對UR5機(jī)器人進(jìn)行位姿標(biāo)定試驗(yàn)，驗(yàn)證標(biāo)定模型的正確性和有效性。

1 誤差模型的建立

如圖1所示，機(jī)器人由n個(gè)單自由度關(guān)節(jié)串聯(lián)而成。分別在基座和末端執(zhí)行器上建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系{B}和工具坐標(biāo)系{T}，n自由度串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為[11]

圖1 n自由度串聯(lián)機(jī)器人Fig.1 n-DOF serial robot

(1)

(2)

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(式(2))可簡寫為

f=f(ξ,θ,ξst)

(3)

機(jī)器人的位姿誤差可以通過對運(yùn)動(dòng)學(xué)模型兩邊取微分獲得：

(4)

(5)

對式(4)右乘f-1得到以基礎(chǔ)坐標(biāo)系為參考系的誤差模型δff-1，δff-1為末端執(zhí)行器相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的空間速度；對式(4)左乘f-1得到以工具坐標(biāo)系為參考系的誤差模型f-1δf，f-1δf為末端執(zhí)行器相對工具坐標(biāo)系的物體速度。根據(jù)式(5)，兩種誤差模型可分別表示為[14-15]

(6)

(7)

式中，Rn為理論姿態(tài)；pn為理論位置；Ra為實(shí)際姿態(tài)；I4為4×4的單位矩陣；pa為實(shí)際位置；運(yùn)算符“∨”表示李群SE(3)到李代數(shù)se(3)的映射。

實(shí)際姿態(tài)Ra和實(shí)際位置pa可通過測量獲得。

以基礎(chǔ)坐標(biāo)系為參考系建立誤差模型時(shí)，末端執(zhí)行器位姿誤差表示在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，式(6)中pa-Ra(Rn)Tpn除了受實(shí)際位置pa的影響外，還引入了實(shí)際姿態(tài)Ra的影響；以工具坐標(biāo)系為參考系建立誤差模型時(shí)，末端執(zhí)行器位姿誤差表示在工具坐標(biāo)系中不需要進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，式(7)中(Rn)T(pa-pn)只受實(shí)際位置pa的影響。本文以工具坐標(biāo)系為參考系，建立誤差模型為

(8)

圖2 關(guān)節(jié)旋量誤差Fig.2 Joint twist error

(9)

可知，經(jīng)伴隨變換后，關(guān)節(jié)旋量坐標(biāo)仍然滿足關(guān)節(jié)約束條件[16]，即

(10)

(11)

圖3 初始位姿誤差Fig.3 Initial pose error

(12)

將式(9)、式(12)代入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(式(2))中，可寫為

(13)

機(jī)器人的誤差模型(式(8))可改寫為

(14)

關(guān)節(jié)的零位偏置誤差可以看作是旋量誤差的一個(gè)誤差源，在標(biāo)定過程中，僅需識別關(guān)節(jié)旋量誤差η和初始位姿誤差ηst，式(14)可簡化為[16-17]

(15)

2 標(biāo)定模型的建立

2.1 標(biāo)定模型線性化

將運(yùn)動(dòng)學(xué)模型式(13)代入式(15)中，可得

[f-1δf]∨=

(16)

(17)

由恒等式式(17)易知

(18)

Bi=Ad-1(Ai)-I6i=1,2,…,n

利用式(18)可將式(16)化簡為

(19)

(20)

(21)

將式(20)、式(21)代入式(19)可得運(yùn)動(dòng)學(xué)方程線性化模型的顯式表達(dá)式:

(22)

(23)

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程線性化模型(式(22))可以寫成如下矩陣形式：

y=Cx

(24)

C=[C1C2…CnCn+1]∈R6×6(n+1)

C的各列如下：

2.2 參數(shù)標(biāo)定模型

控制串聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到工作空間中k個(gè)標(biāo)定位姿，得到k組線性化方程，聯(lián)立可得運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方程為

(25)

x可通過最小二乘法求解獲得：

(26)

3 試驗(yàn)及結(jié)果分析

如圖4所示，以UR5機(jī)器人為試驗(yàn)對象，其重復(fù)定位精度為0.03 mm。以Lecia AT960-MR激光跟蹤儀為測量設(shè)備，在半徑為40 m范圍內(nèi)該設(shè)備測量精度為15 μm+6 μm/m。試驗(yàn)時(shí)，將機(jī)器人放置在激光跟蹤儀的工作空間內(nèi)。

圖4 標(biāo)定試驗(yàn)設(shè)備Fig.4 Calibration test equipment

3.1 坐標(biāo)系建立

通過Spatial Analyzer軟件建立機(jī)器人基礎(chǔ)坐標(biāo)系{B}，并設(shè)置激光跟蹤儀坐標(biāo)系與基礎(chǔ)坐標(biāo)系重合，使靶球坐標(biāo)表示在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中。

如圖5所示，測量P1、P2、P3相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，以點(diǎn)P1為原點(diǎn)建立工具坐標(biāo)系{T}，xT軸與向量P1P3方向一致，zT軸與三點(diǎn)所在平面的法向量n方向一致，n=P1P3×P1P2，yT軸通過右手定則確定。工具坐標(biāo)系{T}相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系{B}的測量位姿可表示為

圖5 工具坐標(biāo)系建立Fig.5 Establish the tool frame

(27)

3.2 標(biāo)定流程

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定識別流程如圖6所示，控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到一系列標(biāo)定位姿,根據(jù)理論運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算出末端執(zhí)行器位姿的理論值，通過激光跟蹤儀測得末端執(zhí)行器三個(gè)測量點(diǎn)相對于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)，根據(jù)式(27)建立工具坐標(biāo)系{T}，計(jì)算得到末端執(zhí)行器位姿的測量值。標(biāo)定模型中誤差量xi可通過最小二乘法(式(26))獲得。在參數(shù)的迭代識別過程中，從k-1步到k步的參數(shù)ηi更新方式為

圖6 參數(shù)迭代標(biāo)定流程Fig.6 Calibration procedure for parameters identification

(28)

3.3 標(biāo)定試驗(yàn)

在機(jī)器人的工作空間內(nèi)隨機(jī)生成30組關(guān)節(jié)變量，用于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定試驗(yàn)。根據(jù)關(guān)節(jié)變量值控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到相應(yīng)位姿，通過激光跟蹤儀測得末端執(zhí)行器三個(gè)測量點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，如表1所示，并利用式(27)計(jì)算出末端執(zhí)行器位姿的實(shí)際值。按照圖6所示的流程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的辨識。如圖7所示，位置和姿態(tài)誤差模在4次迭代后收斂到穩(wěn)定值。

表1 標(biāo)定試驗(yàn)位置坐標(biāo)Tab.1 The position coordinates for the calibration test mm

(a)迭代過程中位置誤差模

(b)迭代過程中姿態(tài)誤差模圖7 迭代過程中位姿誤差模Fig.7 Norms of pose errors in the iterative procedure

3.4 驗(yàn)證試驗(yàn)

在機(jī)器人的工作空間內(nèi)隨機(jī)生成20組關(guān)節(jié)變量，用來驗(yàn)證標(biāo)定方法的正確性和有效性。通過激光跟蹤儀測得末端執(zhí)行器三個(gè)測量點(diǎn)的位置坐標(biāo)值，如表2所示，并利用式(27)計(jì)算出末端執(zhí)行器位姿的實(shí)際值。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的名義值計(jì)算出末端執(zhí)行器位姿的理論值。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定識別結(jié)果計(jì)算出末端執(zhí)行器位姿的標(biāo)定補(bǔ)償值。如圖8所示，機(jī)器人位置誤差模的最大值和平均值分別從4.4777 mm和3.1488 mm減小到0.6966 mm和0.2812 mm。姿態(tài)誤差模的最大值和平均值分別從0.0183 rad和0.0166 rad減小到0.0031 rad和0.0018 rad。

表2 驗(yàn)證試驗(yàn)位置坐標(biāo)Tab.2 The position coordinates for the verification test mm

(a)驗(yàn)證點(diǎn)的位置誤差模

4 結(jié)論

(1)基于指數(shù)積公式給出了一種以工具坐標(biāo)系為參考系包含關(guān)節(jié)約束條件的位姿誤差標(biāo)定模型,避免了末端執(zhí)行器位姿誤差在基礎(chǔ)坐標(biāo)系表示時(shí)，誤差模型中姿態(tài)誤差與位置矢量的乘積項(xiàng)對參數(shù)識別精度的影響。

(2)以UR5機(jī)器人為標(biāo)定對象，采用激光跟蹤儀為測量設(shè)備，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過參數(shù)標(biāo)定，機(jī)器人位置誤差模和姿態(tài)誤差模的平均值分別降低了91.07%和89.16%，驗(yàn)證了該運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定模型的正確性和有效性。