趙旋 張偉偉 鄧子辰

(西北工業(yè)大學航空學院,西安 710072)

引言

傳統(tǒng)上,在飛機設計初期,一般采用風洞試驗或計算流體動力學(computational fluid dynamics,CFD)模擬來獲得翼型的氣動系數(shù).然而,在型號設計過程中,大量車次的風洞試驗不管從經(jīng)費成本還是時間周期都難以承受.CFD 仿真在航空工業(yè)中被廣泛用于分析不同飛行器在設計過程中的氣動性能.與風洞試驗或飛行試驗相比,這些模擬可以減少時間和成本.然而,在現(xiàn)代飛機的氣動設計階段,高保真CFD 模擬通常是一個計算量大、耗時長的迭代過程.數(shù)據(jù)驅(qū)動代理模型是估計先驗未知函數(shù)分布近似值的有效方法,通常應用于實際工程問題中,因此,代理模型目前開始被認為是預測合理的CFD工具的替代品.

一般來說,代理建模是指利用先前獲得的采樣數(shù)據(jù)來構(gòu)建代理模型,然后使用這些模型來預測設計空間中新點處的變量值的一種技術(shù).在金融或保險等市場,使用機器學習方法進行預測的研究也存在不少.例如,在文獻[1]中,對人工神經(jīng)網(wǎng)絡ANN模型和線性判別分析LDA 等線性預測模型在從財務報表數(shù)據(jù)預測企業(yè)信用評級方面的預測性能進行了比較研究.此外,其他科學出版物[2-4]關(guān)注于使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡進行股市預測.

在航空航天領(lǐng)域,也有代理建模技術(shù)的應用,主要用于空氣動力學分析和優(yōu)化.例如,基于Kriging[5-8]和co-Kriging[9-11]的模型已被應用于多目標優(yōu)化或多學科優(yōu)化問題,還包括如文獻[12-13]中的不確定性管理和量化.代理模型在優(yōu)化問題中使用較多,最初應用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中[14],隨著多學科設計優(yōu)化MDO[15]的興起逐漸流行,后來被應用到氣動優(yōu)化設計[16].

在氣動力建模方面,也存在很多基于代理模型進行的研究,特別是在基于CFD、風洞和飛行試驗數(shù)據(jù)的空氣動力數(shù)據(jù)預測中的應用,可以在設計空間中對新領(lǐng)域進行第一階段的探索,而不需要昂貴的模擬、風洞或飛行試驗,從而減少了所需的實驗數(shù)量.Secco 等[17]設計和應用人工神經(jīng)網(wǎng)絡來預測運輸機的升力和阻力系數(shù).Luo 等[18]提出了一種有監(jiān)督的自學習方案——自適應空間變換AST,預測高超聲速飛行器的氣動系數(shù).Yuan 等[19]提出了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡ConvNet 技術(shù)和符號距離函數(shù)SDF 的通用、靈活的近似模型來預測翼型的氣動系數(shù).Peng 等[20]引入了一種新的結(jié)構(gòu)——元素空間卷積神經(jīng)網(wǎng)絡ESCNN 來改進圖像處理方法.ESCNN 不是將翼型作為圖像處理,而是直接將翼型坐標作為輸入,然后輸出氣動系數(shù),與傳統(tǒng)CNN 相比,ESCNN 在參數(shù)方面小了幾個數(shù)量級,但仍達到了最高水平的預測精度.何磊等[21]以三角翼大迎角非定常氣動特性為研究對象,建立了基于LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡的非定常氣動力模型,實現(xiàn)了對升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的預測.Andres 等[22]使用了三種不同的航空構(gòu)型,NACA0012 翼型、RAE2822翼型和3D DPW 機翼,深入比較了不同代理回歸模型對升力系數(shù)和阻力系數(shù)的預測性能.Huang 等[23]建立了預測NACA63-215 翼型升阻系數(shù)的反向傳播BP 神經(jīng)網(wǎng)絡模型.Liu[24]建立了徑向基函數(shù)RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡模型,用于預測給定參數(shù)范圍內(nèi)的翼型升阻系數(shù).Wallach 等[25]和Santos等[26]利用多層感知器網(wǎng)絡MLP 預測了NACA23012 的升阻系數(shù)、支線雙噴氣發(fā)動機的阻力系數(shù)和機翼-機身組合體的阻力系數(shù).

綜上,多項式響應曲面法、Kriging 模型[27]、支持向量回歸SVR[28]、徑向基函數(shù)RBF[29]、神經(jīng)網(wǎng)絡模型[30]等作為常用的代理模型被廣泛應用于解決計算量較大、計算成本較高的黑箱問題中,來減輕計算負擔.這些方法的核心就是輸入與輸出之間的映射模型,通過樣本集的學習對模型的參數(shù)、構(gòu)架等進行調(diào)整,使其具有較好的擬合效果.這種方法可解釋性較低,往往需要較大數(shù)據(jù)量進行學習,然而在一些條件下,樣本獲取的代價是非常昂貴的,研究者不得不在小樣本約束下開展建模工作,但模型的精度和泛化性難以保證.

為了解決小樣本氣動力建模的難題,通常有以下兩種方法: 一是通過引入多源數(shù)據(jù),比如CFD 仿真數(shù)據(jù)、飛行試驗數(shù)據(jù)以及風洞實驗數(shù)據(jù)[31-32];二是利用多種類型數(shù)據(jù)的特征,將物理知識或物理規(guī)律引入建模過程中.無論是風洞實驗還是數(shù)值模擬,均可以產(chǎn)生壓力分布信息和氣動力信息(如升力系數(shù)和力矩系數(shù)),如何在氣動力建模過程中充分利用壓力分布信息來提高建模的精度、魯棒性和泛化性,成為本文關(guān)注的立足點.

1 方法及模型介紹

1.1 本征正交分解技術(shù)

本征正交分解技術(shù)(proper orthogonal decomposition,POD)是常用的一種降維手段,能夠?qū)碗s動力學從高維離散化系統(tǒng)投影到低維系統(tǒng),該方法的本質(zhì)是通過對流場樣本進行矩陣變換及正交分解,從而得到使樣本殘差最小的若干正交基函數(shù),用于描述流場的主要規(guī)律.基于POD 方法,根據(jù)特征值 λ 大小對模態(tài)按照能量進行排序,可以提取出主要的流動模態(tài),通常為了使模型簡化,采取降維方式,按能量截取一個維數(shù)為M(M?N)的低維空間,如

通常使得E(M) ≥σ,σ一般選取99%(略小于1),以捕獲絕大部分能量,其中 λ 為特征值大小.論文中按能量截取的維度較低,僅取了前幾階能量較高的POD 基函數(shù).關(guān)于POD 方法的詳細介紹和推導參見文獻[33].

1.2 Kriging 算法

Kriging 模型是一種源于地質(zhì)統(tǒng)計學的方法,Kriging 模型最初是由南非采礦工程師Krige 在1951 年提出的一種空間估計技術(shù),最初應用于礦床儲量計算和誤差估計,經(jīng)過幾十年的發(fā)展,逐漸在地質(zhì)、氣象、航空航天、汽車等領(lǐng)域得到發(fā)展和應用[34-35].Kriging 模型由于其卓越的非線性函數(shù)插值預測能力和誤差估計功能,正受到越來越多的關(guān)注.

設x1,x2,···,xn為樣本集上的一系列變量,為相應的響應值,則Kriging 函數(shù)定義變量x0處的插值結(jié)果y?(x0) 為已知樣本函數(shù)響應值的線性加權(quán),即

因此,通過求解加權(quán)系數(shù) λi就可以得到數(shù)量集中任意位置的參數(shù)估計值.關(guān)于Kriging 模型的詳細介紹和推導參見文獻[35].

1.3 CST 參數(shù)化方法

類別形狀函數(shù)變換(class-shape-transform,CST)方法[36]是氣動外形優(yōu)化設計中一種常用的翼型外形參數(shù)化方法,僅用少量參數(shù)就能準確地擬合翼型形狀.CST 方法將翼型的縱坐標表示為類函數(shù)與型函數(shù)S的乘積

類函數(shù)的定義為

其中,N1和N2為幾何外形類別參數(shù).

1.4 模型框架

基于前述方法,針對氣動力建模問題,提出的融入壓力分布信息的學習模型架構(gòu)如圖1 所示.

圖1 算法框架流程Fig.1 Algorithm framework process

算法步驟如下:

(1) 樣本獲取: 使用數(shù)值計算方法(或通過風洞實驗)計算不同參數(shù)狀態(tài)下翼型的壓力分布及對應的氣動力.

(2) 特征提取: 首先通過本征正交分解技術(shù)對壓力分布數(shù)據(jù)進行降維,對壓力分布數(shù)據(jù)進行特征提取,即得到壓力分布的POD 基函數(shù),并獲取不同輸入?yún)?shù)對應的POD 系數(shù).

(3) 構(gòu)建代理模型一(POD 系數(shù)建模): 通過Kriging 算法構(gòu)建輸入?yún)?shù)與壓力分布POD 系數(shù)的映射關(guān)系.

(4) 低精度氣動系數(shù)預測: 將POD 基函數(shù)與其對應系數(shù)相乘,反算得到壓力分布,積分得到低精度升力系數(shù)和力矩系數(shù)(由于樣本數(shù)量的限制以及通常截取的POD 階數(shù)較低,這里反算得到的壓力分布與實際存在較大誤差,因此積分得到的氣動系數(shù)稱之為低精度數(shù)據(jù)).

(5) 構(gòu)建代理模型二(高精度融合建模): 通過Kriging 算法構(gòu)建輸入?yún)?shù)、積分得到的低精度氣動系數(shù)與直接通過數(shù)值計算(或通過風洞試驗)得到的氣動系數(shù)(相對而言,為高精度數(shù)據(jù))之間的映射關(guān)系.

2 算例驗證

為了體現(xiàn)融入壓力分布信息的氣動力建模方法的可行性和有效性,我們在論文中比較了單純使用Kriging 算法直接構(gòu)建輸入?yún)?shù)和氣動系數(shù)的映射關(guān)系(直接建?？蚣?與論文提出的預測模型(間接建?？蚣?如圖1 所示)對氣動力的預測精度.

為了量化說明氣動系數(shù)預測值與真值的偏差程度,論文中定義誤差如下式

其中,CL,pre和CL,tru分別代表升力系數(shù)預測值和真值,CM,pre和CM,tru分別代表力矩系數(shù)預測值和真值,eL代表升力系數(shù)絕對誤差,eM代表力矩系數(shù)絕對誤差.論文中力矩積分點均位于四分之一弦線處.

在建模的研究過程中發(fā)現(xiàn),基于本征正交分解技術(shù)對壓力分布數(shù)據(jù)特征提取的時候,應該截取多少階的POD 基函數(shù)是一個問題,因為其決定著POD 系數(shù)的個數(shù),從而影響所構(gòu)建第一個代理模型(輸入?yún)?shù)與POD 系數(shù)的映射關(guān)系),因此我們在氣動力預測的過程中,研究了不同POD 基函數(shù)的階數(shù)對于氣動力預測精度的影響.

2.1 同狀態(tài)變翼型算例

通過C S T 參數(shù)化方法,基準翼型選擇NACA0012 翼型,采用12 個CST 參數(shù)描述翼型表面幾何形狀,在NACA0012 翼型CST 參數(shù)的 ± 30%變化范圍內(nèi)進行擾動,采用拉丁超立方抽樣隨機抽取樣本翼型,來流狀態(tài)為(Re=3.0×106,Ma=0.73,α=2.5°).通過采用課題組自研求解器計算,使用 AUSM +UP 格式求解NS 方程,計算了200 組樣本數(shù)據(jù)(包含壓力分布以及氣動力系數(shù)),圖2 展示了采樣得到的200 組翼型對應的翼型形狀.

圖2 翼型樣本空間Fig.2 Airfoil samples space

針對同狀態(tài)變翼型算例,輸入?yún)?shù)為12 個CST 參數(shù),輸出參數(shù)為升力系數(shù)和力矩系數(shù),我們選取了10 組測試樣本對模型進行精度評估,測試樣本對應的翼型形狀如圖3 所示,test 1～test 10 即選取的10 組測試樣本對應的翼型的形狀.

圖3 測試樣本翼型Fig.3 Test sample airfoils

研究過程中,我們選取了不同數(shù)量的訓練樣本,研究了氣動系數(shù)預測誤差隨訓練樣本數(shù)變化的變化趨勢,并且研究了不同階數(shù)的POD 基函數(shù)對預測精度的影響.如圖4 所示給出了我們所提出的融入分布載荷信息的Kriging 氣動力預測模型選取不同階數(shù)POD 基時,隨訓練樣本總數(shù)變化的氣動系數(shù)預測誤差曲線,一共選取了1～8 階基函數(shù),給出了8 條氣動系數(shù)預測誤差曲線,橫坐標代表訓練樣本數(shù),縱坐標代表真值與預測值之間的氣動系數(shù)絕對誤差,其中圖4(a)為升力系數(shù)預測誤差曲線,圖4(b)為力矩系數(shù)預測誤差曲線,兩幅圖進行綜合比較,可以發(fā)現(xiàn)當選取前3 階POD 基函數(shù)時(圖中黑色線條),預測精度較高.

圖4 POD 階數(shù)對預測精度的影響Fig.4 Effect of POD order on prediction accuracy

圖5 展示了當訓練樣本數(shù)為30 時,通過本征正交分解技術(shù)得到的壓力分布信息對應的前三階POD 基函數(shù),并在圖6 展示了前4 組測試樣本對應的原始CFD 仿真結(jié)果以及基于前三階POD 基函數(shù)反算得到的壓力分布,其中黑色虛線代表CFD 仿真結(jié)果,紅色實線代表經(jīng)過POD 反算得到的壓力分布.

圖5 訓練樣本數(shù)為30 時,前三階壓力分布基函數(shù)Fig.5 The first three-order pressure distribution basis function when training number is 30

圖7 比較了直接建?？蚣?即基于傳統(tǒng)的Kriging 模型,藍色虛線)和選取前3 階POD 基函數(shù)時基于論文提出的間接建模框架(即融入分布載荷信息的Kriging 模型,紅色實線)對于氣動力的預測精度.可以看到,融入分布載荷信息的氣動力建模方法可以有效提升升力系數(shù)預測精度,而對于力矩系數(shù)提升效果不是很明顯.

圖7 直接建模同間接建模誤差對比Fig.7 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

圖8 和圖9 中給出了訓練樣本數(shù)分別為30 和70 時,模型訓練10 次,得到的預測誤差分布帶的箱線圖.其中,direct_CL和direct_CM分別代表直接建模得到的升力系數(shù)和力矩系數(shù),indirect_CL和indirect_CM分別代表間接建模得到的升力系數(shù)和力矩系數(shù),黑色實點代表模型每訓練一次對應的10 組測試樣本的預測誤差均值,紅色實點代表位于箱線圖上下邊緣之內(nèi)所有黑點的預測誤差均值,箱線圖對應上邊緣為預測誤差最大值,下邊緣為預測誤差最小值,矩形箱體通過預測誤差的上下四分之一分位數(shù)構(gòu)成,位于箱線圖上下邊緣之外的為根據(jù)分布得到的異常值.同時,表1 給出了論文提出的模型框架(indirect,POD 階數(shù)為3 階)與傳統(tǒng)的Kriging 模型(direct)對氣動系數(shù)預測誤差以及提升精度.其中,“absolute error”為絕對誤差,“relative error”為相對誤差,“percentage”表示間接建模相比于直接建模預測的絕對誤差降低百分比,為了體現(xiàn)模型的魯棒性,表中數(shù)據(jù)為建模30 次之后的統(tǒng)計結(jié)果,每次建模均隨機打亂訓練樣本,抽取不同數(shù)量的訓練樣本總數(shù)進行研究.可以看到,訓練樣本數(shù)從20 變化到80 時,我們所提出的融入分布載荷信息的建模方法相比于Kriging 直接建模具有較為明顯的優(yōu)勢,升力系數(shù)的預測精度提升17%～30%,力矩系數(shù)的預測精度僅有微小提升.通過氣動系數(shù)預測誤差的箱線圖進行比較,相比于Kriging 直接建模,我們提出的氣動力建模方法使得預測誤差的分散度得到有效降低并提高建模精度.總體而言,融入分布載荷信息的Kriging 氣動力建模方法相比于Kriging 直接建模方法對于氣動力預測精度更高,模型的泛化性更強,有效縮減學習樣本數(shù)量.

圖8 訓練樣本數(shù)為30 時,預測誤差分布帶Fig.8 Prediction error distribution band when training number is 30

圖9 訓練樣本數(shù)為70 時,預測誤差分布帶Fig.9 Prediction error distribution band when training number is 70

表1 氣動系數(shù)預測誤差Table 1 Prediction error of aerodynamic coefficient

2.2 CAS350 翼型變狀態(tài)算例

CAS350 翼型變狀態(tài)實驗數(shù)據(jù)來源于NPU-NF-3 低速風洞,改變迎角和雷諾數(shù),通過風洞試驗獲取了116 組實驗數(shù)據(jù)(包含表面壓力分布、升力系數(shù)、力矩系數(shù)),迎角和雷諾數(shù)范圍分別為:α=-10°～18°,Re=1.0×106,1.5×106,3.0×106,4.0 ×106.如圖10 給出了CAS350 翼型外形,并在圖11 給出了Re=1×106時,部分壓力分布樣本數(shù)據(jù).

圖10 CAS350 翼型外形Fig.10 CAS350 airfoil shape

圖11 CAS350 翼型部分壓力分布曲線Fig.11 Partial pressure distribution curves of CAS350 airfoil

針對亞聲速CAS350 翼型變狀態(tài)算例,輸入?yún)?shù)為迎角和雷諾數(shù),輸出參數(shù)為氣動力.研究過程中通過獲取不同數(shù)量的樣本數(shù),得到氣動力預測誤差隨樣本數(shù)量變化趨勢.每次獲取樣本過程中,均隨機打亂116 組實驗數(shù)據(jù),截取需要的樣本數(shù)量,將獲取得到的樣本分為兩部分,80%樣本為訓練集,用來訓練整個學習模型,20%用作測試集,檢驗模型輸出得到的氣動系數(shù)的精度.

CAS350 翼型屬于風力機翼型,翼型厚度比較厚,流動分離明顯,呈現(xiàn)出很強的非線性特征,加之實驗數(shù)據(jù)比較少,分布范圍比較廣,以及風洞試驗測壓數(shù)據(jù)存在噪聲,故在建模過程中,升力系數(shù)的預測誤差稍微大一些.

經(jīng)過測試選用4 階POD 基函數(shù)時,氣動系數(shù)預測誤差最低,如圖12 所示給出了氣動系數(shù)誤差隨選取樣本數(shù)變化曲線,橫坐標代表樣本數(shù),縱坐標代表氣動系數(shù)絕對誤差,圖12(a)為升力系數(shù)絕對誤差圖,圖12(b)為力矩系數(shù)絕對誤差圖,圖中數(shù)據(jù)均為樣本多次隨機打亂之后得到的統(tǒng)計結(jié)果,可以清晰地看到,融入分布載荷信息的Kriging 氣動力建模方法可以有效提升升力系數(shù)預測精度,對于力矩系數(shù)也具有一定提升精度效果,且隨著樣本數(shù)據(jù)的增多,提升效果更加顯著.

圖12 直接建模同間接建模誤差對比Fig.12 Comparison of error between direct modeling and indirect modeling

圖13 給出了當樣本數(shù)為116 時,單次建模過程中的測試狀態(tài)和測試誤差,圖13(a)為訓練和測試樣本狀態(tài)范圍,紅色菱形代表訓練狀態(tài),黑色實點代表測試狀態(tài),圖13(b)為24 個測試算例中的升力氣動系數(shù)預測誤差對比,圖13(c)為對應的力矩氣動系數(shù)預測誤差對比.其中橙色條狀代表間接建模方法,綠色條狀代表直接建模方法,Kriging 直接建模對應的升力系數(shù)和力矩系數(shù)絕對誤差平均值分別為0.038 2,0.003 38,融入分布信息的間接建模對應的升力系數(shù)和力矩系數(shù)絕對誤差平均值分別為0.021 6,0.003 34.可以看到,對于升力系數(shù),絕大多數(shù)測試算例中,橙色條狀明顯低于綠色條狀,從而體現(xiàn)了融入分布信息建模方法相比于直接建模方法能夠使升力系數(shù)預測精度得到有效提高,而對于力矩系數(shù),這種提升效果并不是很明顯.

圖13 樣本數(shù)為116 時,單次建模誤差對比Fig.13 Comparison of single modeling error when sample numberis 116

圖14 給出了當樣本數(shù)為116 時,建模10 次之后得到的氣動系數(shù)絕對誤差統(tǒng)計結(jié)果的箱線圖,其中,紅色實心點代表平均誤差,可以看到,相比于Kriging 直接建模,間接建模能夠顯著降低氣動力預測誤差,并且降低氣動系數(shù)預測誤差的分散度,從而有效提高模型的魯棒性.表2 總結(jié)了樣本數(shù)分別為40,80,116,直接建模和間接建模兩種模型的氣動力預測誤差的絕對值和相對值,并給出了氣動力預測精度提升性能,表中數(shù)據(jù)為建模30 次之后的統(tǒng)計結(jié)果.由于某些狀態(tài)下,力矩系數(shù)值很小,求得的相對誤差稍微大點,因此表格中添加了力矩系數(shù)的絕對誤差.可以看到,隨著樣本數(shù)的增多,直接建?？蚣芎烷g接建模框架的預測誤差均得到有效降低,且間接建?？蚣芟啾扔谥苯咏？蚣苣軌蚴股ο禂?shù)預測誤差降低的更多.綜合以上分析,提出的融入分布信息的氣動力建模方法能夠有效提高氣動力預測精度,尤其表現(xiàn)在升力系數(shù)預測精度,且能夠有效降低學習樣本的數(shù)量,提升模型的魯棒性.

圖14 樣本數(shù)為116 時,預測誤差分布帶Fig.14 Prediction error distribution band when sample number is 116

表2 氣動系數(shù)預測誤差Table 2 Prediction error of aerodynamic coefficient

3 結(jié)論

論文提出了一種融入壓力分布信息的氣動力建模方法,通過充分利用采樣過程中所產(chǎn)生的壓力分布信息,提高了建模的精度、魯棒性和泛化性,有效縮減了學習樣本的數(shù)量,從而降低樣本獲取的成本,主要結(jié)論如下.

(1)無論是針對風洞實驗數(shù)據(jù)還是數(shù)值模擬數(shù)據(jù),論文提出的融入分布載荷信息的氣動力建模方法相比于傳統(tǒng)的基于Kriging 模型均能有效提高氣動力預測精度.

(2)氣動力建模過程中,對于不同的研究對象,選取合適階數(shù)的POD 基函數(shù),對于整個氣動力建?？蚣苤陵P(guān)重要.

(3)在建模過程中,融入物理信息(壓力分布信息)可以有效降低黑箱模型訓練樣本,解決小樣本數(shù)據(jù)下,模型精度不夠,泛化能力較低的難題.

本文在建模過程中,在構(gòu)建代理模型一和代理模型二時,均采用了Kriging 算法,后續(xù)研究工作考慮神經(jīng)網(wǎng)絡去構(gòu)建這種映射關(guān)系,可能精度上還會有所提升,同時在建模過程中如果能嵌入一些物理約束或通過引入多源數(shù)據(jù),應該還能夠進一步縮小學習樣本并提升模型的泛化能力.后續(xù)研究也可以將該方法發(fā)展至三維機翼氣動力建模問題.