李宗軒 ，張昌昊，張德福，馬 斌，李云峰

（1. 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所, 吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué), 北京 100049；3. 中國(guó)科學(xué)院天基動(dòng)態(tài)快速光學(xué)成像技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春130033）

1 引 言

隨著遙感技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)空間光學(xué)遙感器的要求也越來(lái)越高。離軸三反光學(xué)系統(tǒng)無(wú)中心遮攔，易于實(shí)現(xiàn)高傳函、大視場(chǎng)的成像要求，越來(lái)越被廣泛應(yīng)用于空間光學(xué)領(lǐng)域[1]。離軸三反系統(tǒng)的反射鏡面形精將度直接影響成像質(zhì)量。在材料、尺寸確定的情況下，選擇合理的支撐結(jié)構(gòu)即可以消除光學(xué)元件及其支撐組件在外界熱載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力，又能夠隔離反射鏡在加工測(cè)試、裝配以及正常在軌運(yùn)行時(shí)承受的振動(dòng)、沖擊，釋放反射鏡在以上復(fù)雜條件下受到的外力，從而保證鏡面面形精度。因此，設(shè)計(jì)合理的柔性支撐結(jié)構(gòu)是反射鏡組件結(jié)構(gòu)研制中的核心問(wèn)題[2-4]。

目前較常見(jiàn)的大口徑反射鏡支撐技術(shù)主要為點(diǎn)式支撐。點(diǎn)式支撐又可分為中心支撐、周邊支撐及背部支撐3 種[5]：周邊支撐是將反射鏡四周與鏡框膠粘到一起，適合較小口徑的反射鏡；中心支撐采用中心環(huán)定位，適合小口徑圓形反射鏡；背部支撐是在反射鏡背部加工盲孔，安裝柔性支撐將重力分配給反射鏡背部的多個(gè)支撐點(diǎn)，適當(dāng)選擇支撐點(diǎn)數(shù)量及位置可以有效降低重力面形精度的影響。朱俊青等建立了針對(duì)長(zhǎng)度為200～1 600 mm、長(zhǎng)寬比為0.4～1 的長(zhǎng)條形實(shí)體反射鏡背部三點(diǎn)支撐集成參數(shù)化模型，得到了最優(yōu)支撐位置[6]。Huo 等提出了一種基于精確約束方法的新型支撐并且詳細(xì)設(shè)計(jì)了一個(gè)支持1 m 主鏡的實(shí)際案例[7]。王朋朋等為了提高空間離軸相機(jī)反射鏡組件的設(shè)計(jì)效率, 以反射鏡及柔節(jié)為研究對(duì)象提出了一種參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[8]。

某離軸三反光學(xué)系統(tǒng)中的主反射鏡通光口徑為1.8 m×0.5 m，為離軸高次非球面。反射鏡材料為反應(yīng)燒結(jié)碳化硅（RB-SiC）。該長(zhǎng)條形反射鏡采用背部支撐結(jié)構(gòu)[9-10]。本文針對(duì)上述需求，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到柔性支撐最優(yōu)結(jié)構(gòu)、尺寸及安裝位置等以保證反射鏡面型精度。提出一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)等效原理的適用于大尺寸長(zhǎng)條形反射鏡的雙軸柔性支撐，研究了其剛度特性，并對(duì)柔性支撐的安裝位置及關(guān)鍵尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。最后進(jìn)行反射鏡組件的動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)和光學(xué)檢測(cè)試驗(yàn)，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的正確性。

2 長(zhǎng)條反射鏡支撐形式

圖1 為所設(shè)計(jì)的大尺寸反射鏡的支撐結(jié)構(gòu)示意簡(jiǎn)圖。該反射鏡組件由碳化硅輕量化鏡體、殷鋼（Invar）錐套、柔性支撐、反射鏡基板等結(jié)構(gòu)件組成，柔性支撐用于保證反射鏡的面形精度與定位精度。反射鏡的定位精度是指反射鏡裝調(diào)后在光學(xué)系統(tǒng)中相對(duì)其他光學(xué)元件的位置精度，良好的支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)使反射鏡滿足光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)要求[11]。而且支撐結(jié)構(gòu)也不能對(duì)反射鏡造成過(guò)約束。笛卡爾空間直角坐標(biāo)系中，反射鏡具有Tx、Ty、Tz3 個(gè)平動(dòng)自由度，Rx、Ry、Rz3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。為了保證反射鏡的指向和位置精度，其6 個(gè)自由度需要被完全約束，基于背部三點(diǎn)式支撐的反射鏡常基于三點(diǎn)定位原理[12-13]，兩種基本約束形式及各支撐點(diǎn)的約束自由度與釋放自由度情況如圖2 和表1 所示。

圖1 大尺寸長(zhǎng)條形反射鏡的支撐結(jié)構(gòu)原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of mounting structure of a rectangular mirror with large aperture

圖2 典型的反射鏡約束方式。（a）“2-2-2”約束方式；（b）“3-2-1”約束方式Fig. 2 Typical constraints for a mirror. (a) 2-2-2 Constraint; (b) 3-2-1 Constraint

表 1 典型反射鏡約束方式各支撐點(diǎn)的自由度Tab. 1 Degree of freedom at each support point for mirror"s typical constraints

圖2(a)是形式為“2-2-2”的約束方式，即將反射鏡的3 個(gè)支撐結(jié)構(gòu)視為3 個(gè)萬(wàn)向球鉸，在反射鏡承力基板上與球鉸對(duì)應(yīng)的3 個(gè)位置開(kāi)設(shè)3 個(gè)V 形槽，每個(gè)V 形槽限制2 個(gè)自由度，由此，反射鏡的6 個(gè)自由度就被精確定位，如表1（a）所示。圖2(b) 是形式為“3-2-1”的約束方式，該約束方式為典型的“球鉸-V 形槽-平面”約束形式。反射鏡在3 處球鉸支撐下被完全約束于支撐平臺(tái)上，其中A處凹槽約束了鏡體3 個(gè)自由度，B處約束了2 個(gè)自由度，C處約束了1 個(gè)自由度，由此，反射鏡的6 個(gè)自由度被精確定位，如表1（b）所示。

3 反射鏡柔性支撐設(shè)計(jì)

3.1 雙軸柔性支撐設(shè)計(jì)

3.1.1 等效支撐結(jié)構(gòu)

圖3(a)所示的細(xì)長(zhǎng)柔性桿與圖2 中的反射鏡3 個(gè)萬(wàn)向球鉸支撐具有相同的支撐效果，細(xì)長(zhǎng)柔性桿的支撐端點(diǎn)有繞其3 個(gè)正交方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θx、θy、θz和與柔性桿軸線垂直的兩個(gè)正交方向上的平動(dòng)自由度Tx、Ty，約束沿軸的平動(dòng)自由度Tz。為了得到與柔性桿運(yùn)動(dòng)特性相同的并具有5 個(gè)自由度的柔性支撐，將柔性桿等效為一種串聯(lián)式雙軸柔性鉸鏈，如圖3(b)所示。根據(jù)串聯(lián)柔性結(jié)構(gòu)自由度相加原理，在圓柱體的正交方向上開(kāi)設(shè)柔性槽可以釋放上端的3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和2 個(gè)平動(dòng)自由度。

圖3 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)等效原理的雙軸柔性鉸鏈Fig. 3 A bi-axial flexural hinge based on kinematic equivalence principle

3.1.2 雙軸柔性支撐

根據(jù)上述反射鏡支撐與約束原理，本文中的大尺寸長(zhǎng)條反射鏡采用“2-2-2”形式的反射鏡約束方法。為了得到具體的支撐拓?fù)湫问?，?duì)串聯(lián)式雙軸柔性鉸鏈進(jìn)行“運(yùn)動(dòng)學(xué)等效設(shè)計(jì)”。運(yùn)動(dòng)學(xué)等效，即柔性結(jié)構(gòu)具有相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性而幾何結(jié)構(gòu)與力學(xué)性能等不同，二者之間形成“運(yùn)動(dòng)學(xué)等效(Kinematic Equivalence)”[13]。將圖3(b)的柔性鉸鏈等效設(shè)計(jì)為圖4 所示的適合反射鏡支撐的雙軸柔性支撐，該柔性支撐為帶法蘭安裝面的空心柱體雙軸柔性支撐。其柔性結(jié)構(gòu)的形成過(guò)程如下：先在外包絡(luò)半徑為ro的空心柱體上經(jīng)過(guò)電火花線切割加工出兩邊對(duì)稱分布的倒“L”型切口柔性槽，形成兩個(gè)相對(duì)的短直梁，進(jìn)而產(chǎn)生能繞x方向轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性環(huán)節(jié)；向下偏置一定距離后繞中心軸旋轉(zhuǎn)90°再加工出一個(gè)兩邊對(duì)稱分布的“L”型切口柔性槽，形成另外兩個(gè)相對(duì)的短直梁，產(chǎn)生能繞y方向轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性環(huán)節(jié)。在產(chǎn)生柔性環(huán)節(jié)后，空心柱體會(huì)形成剛性較大的上支撐平臺(tái)和下法蘭安裝端面。

圖4 雙軸柔性支撐Fig. 4 Bi-axial flexural support

該雙軸柔性支撐可以對(duì)反射鏡進(jìn)行自由度約束，在反射鏡背部布置3 個(gè)雙軸柔性支撐，以對(duì)反射鏡形成“2-2-2”三點(diǎn)式等效約束方式。每處支撐都可以對(duì)反射鏡進(jìn)行軸向約束，此外，通過(guò)調(diào)整支撐的安裝角度還可以對(duì)反射鏡的切向自由度進(jìn)行約束，由此就能夠?qū)Ψ瓷溏R進(jìn)行精確約束和定位。

3.2 雙軸柔性支撐的結(jié)構(gòu)分析

為了使柔性支撐的柔性環(huán)節(jié)可以消除反射鏡在外載荷作用下所產(chǎn)生的應(yīng)力，需要考察柔性支撐在各自由度上是否可以在載荷作用下產(chǎn)生足夠的形變，同時(shí)保持一定的結(jié)構(gòu)剛度。因此需要對(duì)影響柔性支撐剛度的關(guān)鍵尺寸進(jìn)行參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)柔性支撐的功能需求。

圖4 所示的柔性支撐，柔性槽中間的結(jié)構(gòu)可以等效為一種典型的短直梁柔性簧片(Leaf/Blade type flexure)結(jié)構(gòu)，由雙軸柔性支撐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，在載荷的作用下允許柔性短直梁發(fā)生形變與小位移的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)固體力學(xué)原理，可以推導(dǎo)得到柔性短直梁在可變形方向上的結(jié)構(gòu)剛度公式。如圖5 所示,設(shè)單個(gè)柔性短直梁高為a，厚度為t，寬度為w，由于短直梁的厚度t較小，則可忽略雙軸柔性鉸鏈圓柱體曲率的影響。w的長(zhǎng)度可表示為：

圖5 等效柔性短直梁示意圖Fig. 5 Schematic diagram of equivalent flexural short straight beam

其中，ro、ri分別為空心柱體的外半徑與內(nèi)半徑。

在外界載荷作用下，短直梁沿x方向上的剛度公式可表示為[13]：

短直梁沿z方向上的剛度公式可表示為：

短直梁沿y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度公式可表示為：

短直梁沿z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度公式可表示為：

式中，E為柔性葉片材料彈性模量，v為材料泊松比。

3.3 柔性環(huán)節(jié)的剛度特性分析

對(duì)柔性鉸鏈進(jìn)行剛度分析，選取材料為鈦合金(TC4)，其密度為4.44 g/mm3，楊氏彈性模量E為109 GPa，泊松比為0.34。由式(3)～式(5)可知，柔性結(jié)構(gòu)中有3 個(gè)影響剛度的尺寸變量，分別為柔性短直梁的高度a、短直梁的厚度t，短直梁的寬度w。

給定柔性支撐的柔性環(huán)節(jié)短直梁尺寸初值，依次選擇其余結(jié)構(gòu)參數(shù)作為參變量，運(yùn)用控制變量法，在備選的尺寸范圍內(nèi)依次對(duì)柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)取不同的值，使用MATLAB 編寫程序，研究剛度隨結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的變化情況，進(jìn)而為雙軸柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與尺寸優(yōu)化提供科學(xué)依據(jù)，短直梁的尺寸初值與尺寸范圍見(jiàn)表2。

表 2 短直梁的尺寸初值Tab. 2 Initial size values of the short straight beam

3.3.1 短直梁沿x、z方向上的剛度分析

由式(2)可知，kx與短直梁的高度a、厚度t、寬度w不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，分別設(shè)定a為20 mm、t為8 mm、w為12 mm，使用MATLAB 編寫程序研究剛度kx隨各結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)的變化情況，關(guān)系圖如圖6（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。結(jié)果表明：要想使柔性支撐在x方向上達(dá)到一定的柔度，需要減小短直梁的厚度t與寬度w的尺寸值。權(quán)衡結(jié)構(gòu)剛度與柔性支撐消除反射鏡在外載荷作用下所產(chǎn)生的應(yīng)力的能力之間的平衡關(guān)系，對(duì)柔性支撐的關(guān)鍵尺寸展開(kāi)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖6 kx 與短直梁的高度a、厚度t、寬度w 的關(guān)系圖Fig. 6 Relationship between kx and height a, thickness t, width w of the short straight beam

同理，由式(3)可知，kz與高度a成反比，與短直梁的厚度t、寬度w的取值成正比。對(duì)于單個(gè)柔性支撐來(lái)說(shuō)，增加短直梁高度a或者減小短直梁的厚度t或?qū)挾葁均會(huì)使柔性支撐在其軸向上的整體剛度下降。由于大尺寸反射鏡自身重量較大，短直梁高度a要盡可能小一些，t、w的取值要盡可能大，這樣會(huì)提升柔性支撐的軸向支撐能力，從而保證反射鏡在此方向上不會(huì)發(fā)生較大的剛體位移，同時(shí)對(duì)于提高反射鏡組件的整體靜、動(dòng)態(tài)剛度均有利。

3.3.2 短直梁沿y、z方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分析

與3.3.1 類似，分別設(shè)定a為20 mm、t為8 mm、w為12 mm 進(jìn)行分析，得到短直梁沿y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθy與短直梁的高度a、厚度t、寬度w的關(guān)系圖，如圖7（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示?？梢?jiàn)，柔性支撐沿y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度值明顯小于其他自由度上的剛度值，此方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度是柔性支撐的薄弱環(huán)節(jié)。此轉(zhuǎn)動(dòng)剛度同樣隨著短直梁的高度a的增大而減小，隨著厚度t、寬度w尺寸的增大而增大。

圖7 kθy 與a、t、w 的關(guān)系圖Fig. 7 Relationship between kθy and a, t, w

同理可以得到柔性支撐沿z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度值明顯大于其他自由度上的剛度值。以上分析得到了柔性短直梁的剛度特性與關(guān)鍵尺寸的關(guān)系，為第4 節(jié)進(jìn)行柔性支撐的尺寸參數(shù)優(yōu)化提供設(shè)計(jì)參考。

4 反射鏡柔性支撐設(shè)計(jì)優(yōu)化

圖8 為柔性支撐與反射鏡重心平面的相對(duì)位置關(guān)系示意圖，重心平面即為反射鏡重心所在的平面，定義柔性支撐的柔性回轉(zhuǎn)中心為柔性支撐作用點(diǎn)，重心平面為ε的零值面。當(dāng)柔性支撐回轉(zhuǎn)中心位于零值面左側(cè)時(shí)，其值為負(fù)值，此時(shí)柔性支撐回轉(zhuǎn)中心靠近反射鏡后背板；當(dāng)柔性支撐回轉(zhuǎn)中心位于零值面右側(cè)時(shí)，其值為正值，此時(shí)柔性支撐回轉(zhuǎn)中心靠近反射鏡前面板。

圖8 柔性支撐與重心平面的位置關(guān)系Fig. 8 Relationship between the flexural support and CG plane

建立如圖9 所示的大尺寸長(zhǎng)條形反射鏡的有限元模型，并定義反射鏡長(zhǎng)邊為優(yōu)化坐標(biāo)系的x方向，反射鏡短邊為優(yōu)化坐標(biāo)系的y方向，對(duì)柔性支撐的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)將在該有限元模型上展開(kāi)。

圖9 反射鏡組件有限元模型Fig. 9 Finite element model of the mirror assembly

4.1 軸向安裝位置的優(yōu)化設(shè)計(jì)

光軸是光學(xué)系統(tǒng)中光束的中心線或者光學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱軸。作為離軸反射鏡，1.8 m 長(zhǎng)條主反射鏡的光軸如圖10 所示。

反射鏡在光軸水平放置時(shí)會(huì)受到x、y向重力的作用，對(duì)反射鏡組件在自重載荷作用下進(jìn)行靜力學(xué)分析，分別改變?nèi)嵝灾? 和柔性支撐2（3）的回轉(zhuǎn)中心到反射鏡重心所在平面距離ε1、ε2，可以得到ε1、ε2對(duì)面形精度RMS 值的影響關(guān)系曲線，如圖11 所示。在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中，高階頻率對(duì)整體的影響不大，因此通常只關(guān)注前幾階模態(tài)是否會(huì)引起系統(tǒng)共振，在這個(gè)過(guò)程中，著重關(guān)注一階固有頻率是否會(huì)引起系統(tǒng)共振。一階振型即為系統(tǒng)在一階固有頻率下的振動(dòng)形態(tài)。圖12 所示為ε1、ε2對(duì)反射鏡組件的一階固有頻率的影響關(guān)系曲線。

圖11 ε1（a）和ε2（b）對(duì)RMS 值的影響Fig. 11 Effect of ε1 (a) and ε2 (b) on the surface figure RMS

圖12 ε1（a）和ε2（b）對(duì)反射鏡組件一階固有頻率的影響Fig. 12 Effect of ε1 (a) and ε2 (b) on the first-order natural frequency of PMA

保持ε2不變時(shí)，對(duì)ε1依次取不同設(shè)計(jì)值?？梢?jiàn)，反射鏡在x、y向重力作用下的面形精度存在兩個(gè)較好的位置，當(dāng)ε1=-14 mm 時(shí)，反射鏡在x、y向自重作用下的面形精度RMS 分別為4.89 nm、5.45 nm；當(dāng)ε1=-17 mm 時(shí)，反射鏡在x、y向自重作用下的面形精度RMS 分別為4.24 nm、8.45 nm。兩種安裝位置的一階固有頻率分別為108.55 Hz、108.97 Hz。經(jīng)過(guò)綜合比較分析，選定柔性支撐1 的理想支撐點(diǎn)位于靠近反射鏡后背板且距重心平面14 mm 的中性面上。

同理，保持ε1不變時(shí)，對(duì)ε2依次取不同的設(shè)計(jì)值進(jìn)行比較分析，最終選定ε2=8 mm。此種情況下，反射鏡在x、y向自重作用下的面形精度RMS 分別為4.82 nm、5.51 nm，一階固有頻率為108.91 Hz。可認(rèn)為柔性支撐2 和柔性支撐3 的理想支撐點(diǎn)位于靠近反射鏡前面板且距重心平面8 mm 的中性面上。

根據(jù)上文的軸向安裝位置優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，可以確定反射鏡的最佳支撐作用點(diǎn)位置。其中：柔性支撐1 的最佳軸向支撐作用點(diǎn)與反射鏡后背板之間的距離為70.6 mm，柔性支撐2、3 的最佳軸向支撐作用點(diǎn)與反射鏡后背板之間的距離為92.6 mm。3 個(gè)柔性支撐對(duì)于反射鏡的最佳支撐作用位置不在上述重心平面上，而是存在一定的偏離。當(dāng)柔性支撐的實(shí)際支撐作用點(diǎn)位于該面上或者在該面附近時(shí)，鏡體內(nèi)部各部分體積的重力矩平衡，所以反射鏡由于自重作用產(chǎn)生的鏡體彎曲變形最小，該作用面稱為鏡體的中性面。由本章前面的分析可知，最佳支撐作用位置位于反射鏡的中性面上，所以可以得到以下結(jié)論：對(duì)于本文中的大尺寸長(zhǎng)條反射鏡而言，其中性面必為一個(gè)過(guò)重心的曲面，而非平面。

因此，為了使反射鏡在光軸水平放置方向下加工檢測(cè)時(shí)由自重變形導(dǎo)致的鏡面變形最小，同時(shí)兼顧反射鏡鏡面矢高的變化對(duì)柔性支撐空間尺寸的限制，將柔性支撐1 設(shè)計(jì)的“矮”一些，柔性支撐2 和柔性支撐3 設(shè)計(jì)的“高”一些。這種柔性支撐1 和柔性支撐2、3 的非等高、差異化設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)反射鏡的軸向最優(yōu)支撐。

4.2 安裝角度位置優(yōu)化設(shè)計(jì)

雙軸柔性鉸鏈為回轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)體，在和其余組件進(jìn)行裝配時(shí)，其與裝配基準(zhǔn)面之間的安裝角度θ是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要考慮的問(wèn)題。如圖13 所示，設(shè)柔性支撐在安裝時(shí)，基板的對(duì)稱平面yoz為柔性支撐的安裝基準(zhǔn)面，以每個(gè)柔性支撐上部分柔性平臺(tái)中心為原點(diǎn)，建立柔性支撐的相對(duì)參考坐標(biāo)系xiyizi，設(shè)柔性支撐上部分柔性轉(zhuǎn)動(dòng)中心和其回轉(zhuǎn)軸所在平面yioizi與平面yoz之間的夾角為所述的安裝角度θi(i=1,2,3)（定義柔性支撐沿自身轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)安裝為正方向）。為了得到柔性支撐的最佳安裝角度，改變?chǔ)萯的值，研究其對(duì)大尺寸長(zhǎng)條反射鏡組件面形精度和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)剛度的影響。

圖13 柔性支撐的安裝角度Fig. 13 Mounting angle of the flexural supports

柔性支撐1 位于反射鏡組件的對(duì)稱中心處，由其結(jié)構(gòu)特征可知，安裝角度只能為θ1= 0°或θ1=90°。同樣對(duì)反射鏡組件在自重載荷作用下進(jìn)行靜力學(xué)分析，可以得到反射鏡面形RMS 值與組件一階固有頻率如表3 所示，同時(shí)可以得到兩種安裝角度在x、y向自重作用下的鏡面變形云圖，如圖14（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。

表 3 柔性支撐1 在不同安裝角度下的鏡面面形值Tab. 3 Surface figure error of flexural support No.1 at different mounting angles

圖14 不同θ1 值1 G 自重作用下的鏡面變形(去除剛體位移)Fig. 14 Surface deformation at different θ1 values under 1 G gravity (removed rigid-body displacement)

對(duì)比分析柔性支撐1 在兩種安裝角度下，鏡面面形精度RMS 值可知，在安裝角度θ1=90°時(shí)，x向、y向自重作用下反射鏡組件的面形精度RMS 值比0°時(shí)分別減小了60.7%、81.2%，雖然組件的一階固有頻率略有降低，但是綜合面形結(jié)果來(lái)看，柔性支撐以θ1=90°安裝時(shí)可對(duì)反射鏡形成更好的支撐效果。

當(dāng)θ1=90°，柔性支撐2、3 繞自身回轉(zhuǎn)軸zi旋轉(zhuǎn)安裝時(shí)，安裝角度θ2、θ3的變化范圍分別為(-180°,0]、[0,180°)，由于兩支撐關(guān)于yoz平面對(duì)稱安裝，以下只討論柔性支撐2 的安裝角度優(yōu)化過(guò)程。為了提高計(jì)算效率，首先利用大步長(zhǎng)尋優(yōu)方法在安裝角度范圍內(nèi)對(duì)θ2值進(jìn)行分析，確定安裝角度的最優(yōu)區(qū)間后，在此區(qū)間內(nèi)，改變?chǔ)?的參數(shù)，可以得到光軸水平放置1G 自重作用下的柔性支撐2 安裝角度θ2對(duì)鏡面面形精度的影響曲線以及反射鏡組件一階固有頻率的影響曲線，結(jié)果見(jiàn)圖15。

圖15 θ2 對(duì)RMS 和一階固有頻率的影響Fig. 15 Effect of different θ2 values on the RMS and first-order natural frequency

分析鏡面面形結(jié)果和反射鏡組件一階固有模態(tài)信息，權(quán)衡反射鏡鏡面變形與結(jié)構(gòu)剛度在光學(xué)系統(tǒng)成像中的重要性，確定θ2=-26.0°，θ3=26.0°。此情況下，在y向自重作用下的鏡面面形值最小，RMS=5.51 nm，x向自重作用下的鏡面面形RMS=3.97 nm，為最優(yōu)值。柔性支撐沿軸向（光軸方向）的精確安裝位置和柔性支撐的精確安裝角度可以使反射鏡進(jìn)行精確定位，補(bǔ)償由重力載荷引起的鏡面面形精度退化。此外，柔性支撐的非柔性方向上的平動(dòng)剛度、彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度很大，因此合適的安裝角度也可以彌補(bǔ)柔性支撐柔性環(huán)節(jié)剛性不足的缺點(diǎn)，使組件的整體靜動(dòng)態(tài)剛度有所提升，這對(duì)于保持反射鏡在各種工況下的鏡面變形有積極的貢獻(xiàn)。

4.3 柔性支撐的尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

在確定柔性支撐的軸向安裝位置和安裝角度之后，為了進(jìn)一步提高和改善反射鏡的鏡面面形精度和結(jié)構(gòu)可靠性，得到對(duì)反射鏡形成最佳支撐效果的柔性支撐，需要對(duì)柔性支撐的關(guān)鍵尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

在柔性支撐關(guān)鍵尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，主要考察柔性環(huán)節(jié)尺寸參數(shù)對(duì)反射鏡組件橫向自重變形時(shí)面形精度的影響，并研究對(duì)反射鏡組件一階固有頻率的影響。柔性短直梁的寬度w由柔性支撐的外包絡(luò)半徑ro和內(nèi)徑ri共同決定，但由于柔性支撐的外包絡(luò)尺寸受到殷鋼錐套的限制，取ro=39 mm。因此，w的取值僅由柔性支撐內(nèi)徑ri決定。

依次選擇柔性支撐的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)作為參變量，運(yùn)用控制變量法，分析改變?nèi)嵝灾蔚年P(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)鏡面面形精度和一階固有頻率的影響。為保持兩個(gè)關(guān)鍵尺寸為設(shè)計(jì)初值，改變另一個(gè)關(guān)鍵尺寸參數(shù)研究其對(duì)反射鏡組件面形精度的影響，如圖16 所示。圖17 為反射鏡組件一階固有頻率隨柔性支撐關(guān)鍵尺寸參數(shù)的變化曲線圖。

圖16 柔性支撐的不同尺寸對(duì)面形精度的影響Fig. 16 Effect of different sizes of flexural support on the RMS value

圖17 柔性支撐不同尺寸對(duì)一階固有頻率的影響Fig. 17 Effect of different sizes of flexural supports on the first-order natural frequency

分析柔性支撐關(guān)鍵尺寸參數(shù)對(duì)反射鏡面形精度和組件一階固有頻率的影響，結(jié)合對(duì)柔性支撐剛度的分析，考慮到反射鏡支撐孔的結(jié)構(gòu)空間限制，最終確定的柔性支撐關(guān)鍵尺寸為a=14 mm，t=9 mm，w=14 mm。

在得到反射鏡柔性支撐的最佳位置和柔性支撐的關(guān)鍵尺寸后，對(duì)柔性支撐的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行詳細(xì)設(shè)計(jì)，如圖18 所示。其中Φ=117 mm，r0=ri=41 mm，w=18 mm，t=14 mm，h=110 mm，c=3 mm，a=18 mm，L=146 mm，b1=15 mm，b2=14 mm。

圖18 柔性支撐結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 18 Schematic diagram of the flexural supports" structure

5 反射鏡組件力學(xué)分析

根據(jù)反射鏡柔性支撐的詳細(xì)設(shè)計(jì)尺寸進(jìn)行重新建模，形成組件裝配體后，建立有限元力學(xué)分析模型。

5.1 自重載荷分析

反射鏡在光軸水平放置時(shí)受到x、y方向的重力影響。對(duì)反射鏡組件分別施加x向和y向的1 G 重力載荷，可以得到反射鏡在自重載荷作用下的鏡面變形結(jié)果，去除鏡面剛體位移后利用sigfit 軟件擬合獲取的鏡面面形結(jié)果如圖19（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。

圖19 鏡面在x、y 向自重作用下的變形(去除剛體位移)Fig. 19 Surface deformation under 1 G gravity in x and y directions (rigid-body displacement removed)

sigfit 光機(jī)集成軟件分析結(jié)果表明，反射鏡在x、y向自重載荷作用下的鏡面面形精度PV 值分別為44.8 nm、41.2 nm，RMS 值分別為4.81 nm、6.09 nm，滿足反射鏡組件面形精度的設(shè)計(jì)要求。

5.2 模態(tài)分析

利用MSC/NASTRAN 軟件對(duì)反射鏡組件進(jìn)行正則模態(tài)分析，可獲得固有頻率和振型信息，反射鏡組件前3 階固有頻率分別為106.75 、114.53 、150.9 Hz，滿足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)也遠(yuǎn)大于發(fā)射入軌時(shí)空間相機(jī)整機(jī)一階自然頻率大于60 Hz 的要求。前三階模態(tài)振型如圖20（彩圖見(jiàn)期刊電子版）所示。其中，1 階模態(tài)的振型表現(xiàn)為沿x方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，2 階模態(tài)的振型表現(xiàn)為沿z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，3 階模態(tài)的振型表現(xiàn)為沿y方向的移動(dòng)。

圖20 主鏡組件前三階模態(tài)振型Fig. 20 The first three modes of PMA

6 反射鏡組件試驗(yàn)

6.1 動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證組件設(shè)計(jì)的科學(xué)性與合理性，并分析仿真模型的可靠性，對(duì)反射鏡組件進(jìn)行動(dòng)力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)，進(jìn)而獲取其一階固有頻率，根據(jù)相機(jī)組件級(jí)試驗(yàn)條件，制定了該力學(xué)樣機(jī)組件的環(huán)境試驗(yàn)項(xiàng)目、試驗(yàn)流程與試驗(yàn)條件。對(duì)組件進(jìn)行“0.2 g 掃頻—正弦振動(dòng)—0.2 g 掃頻”試驗(yàn)，x、y、z3 個(gè)方向均重復(fù)上述流程，試驗(yàn)時(shí)反射鏡結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)分別由粘接于反射鏡上的1 號(hào)與粘接于反射鏡基板的2 號(hào)三向加速度傳感器采集獲得。圖21 所示為動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)。本次試驗(yàn)在中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所環(huán)境試驗(yàn)站開(kāi)展，所用設(shè)備為丹麥BK 公司的LMS-V964型9 噸級(jí)電磁振動(dòng)臺(tái)。

圖21 動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖Fig. 21 Dynamic test scene site map

由圖22 組件x方向掃頻響應(yīng)曲線可知，反射鏡組件的一階自然頻率試驗(yàn)值為106.3 Hz，x方向上組件的仿真分析固有頻率值為106.75 Hz，二者相差0.4%，充分驗(yàn)證了有限元分析的準(zhǔn)確性。且在100 Hz 內(nèi)沒(méi)有諧振峰。

圖22 x 方向掃頻試驗(yàn)結(jié)果Fig. 22 Swept frequency test results in x direction

圖23 為組件y方向掃頻響應(yīng)曲線，反射鏡組件的主諧振峰頻率為151.55 Hz，對(duì)應(yīng)仿真分析固有頻率值為150.9 Hz，二者相對(duì)誤差僅0.4%。

圖23 y 方向正弦掃頻試驗(yàn)Fig. 23 Sweep sine vibration result in y direction

圖24 為z方向（光軸方向）上的正弦掃頻試驗(yàn)結(jié)果，該方向一階頻率為104 Hz，與仿真結(jié)果106.75 Hz 相差2.75 Hz，相對(duì)誤差2.6%。

圖24 z 方向隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)Fig. 24 Random vibration test in z direction

組件在3 個(gè)方向的正弦掃頻試驗(yàn)結(jié)果表明，有限元仿真分析準(zhǔn)確度極高，最大相對(duì)誤差僅為2.6%。一階頻率大于100 Hz 且在正弦振動(dòng)時(shí)無(wú)諧振放大。

6.2 光學(xué)檢測(cè)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證柔性環(huán)節(jié)軸向位置對(duì)反射鏡在徑向重力作用下面形精度的影響，對(duì)高面形精度的反射鏡進(jìn)行重力變化的檢測(cè)試驗(yàn)。由于地面試驗(yàn)始終在地球重力場(chǎng)內(nèi)進(jìn)行，所有試驗(yàn)件受到1 G 豎直方向的重力作用[14]。因此重力場(chǎng)相對(duì)于主鏡方向的變化就可以轉(zhuǎn)化為主鏡在重力場(chǎng)中自身方位的變化。在光軸水平檢測(cè)狀態(tài)下，通過(guò)主鏡繞自身光軸旋轉(zhuǎn)一定角度，便可實(shí)現(xiàn)上述變化。

反射鏡目前經(jīng)過(guò)光學(xué)加工面形精度RMS 值已至λ/30（λ=632.8 nm）。在此精度下，各視場(chǎng)實(shí)際通光子口徑面形值已優(yōu)于1/60 波長(zhǎng)RMS。繞水平光軸旋轉(zhuǎn)180°，在此期間重力場(chǎng)方向不變。則試驗(yàn)鏡的受力狀態(tài)變化相當(dāng)于在180°方向上受到了豎直向上的2 倍重力作用。對(duì)受力狀態(tài)變化前后的面形進(jìn)行光學(xué)檢測(cè)，可以反映主鏡在受到徑向重力作用下的面形精度變化。

1.8 m 主鏡的非球面檢測(cè)光路如圖25 所示。該檢測(cè)方式為基于CGH 的非球面零位（Null lens）補(bǔ)償干涉檢驗(yàn)法。根據(jù)非球面反射鏡的參數(shù)設(shè)計(jì)并制造了檢測(cè)光路的CGH。干涉儀所發(fā)射出的氦氖（He-Ne）激光平面波經(jīng)過(guò)CGH，轉(zhuǎn)化為與待檢反射鏡非球面相匹配的非球面波前，被檢測(cè)非球面反射后又回到干涉儀內(nèi)部，與分光產(chǎn)生的參考波前形成干涉并產(chǎn)生條紋。通過(guò)對(duì)干涉儀內(nèi)焦面上條紋的圖像分析。

圖25 反射鏡非球面干涉檢驗(yàn)原理圖Fig. 25 Schematic diagram of mirror aspheric interferometry optical testing layout

圖26 為1.8 m 主鏡在加工方向（定義為0°方向）進(jìn)行檢測(cè)時(shí)得到的RMS 值為λ/30 面形結(jié)果；圖27 為主鏡相對(duì)于0°方向繞光軸旋轉(zhuǎn)180°之后得到的檢測(cè)結(jié)果。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)：180°方向檢測(cè)結(jié)果RMS 值仍保持為0.033λ，驗(yàn)證了1.8 m 長(zhǎng)條形反射鏡柔性支撐優(yōu)化仿真研究結(jié)果。

圖26 反射鏡0°方向的面形檢測(cè)結(jié)果Fig. 26 The surface figure of the mirror tested in 0° direction

圖27 反射鏡180°方向的面形檢測(cè)結(jié)果Fig. 27 The surface figure of the mirror tested in 180° direction

7 結(jié) 論

本文圍繞大口徑長(zhǎng)條主反射鏡柔性支撐展開(kāi)研究。分析了反射鏡的空間自由度與支撐原理，提出了既不產(chǎn)生過(guò)約束又不對(duì)反射鏡產(chǎn)生欠約束的反射鏡支撐方案。基于運(yùn)動(dòng)學(xué)等效原理設(shè)計(jì)了一種適用于支撐大尺寸長(zhǎng)條形反射鏡的雙軸柔性支撐結(jié)構(gòu)。對(duì)柔性支撐的柔性環(huán)節(jié)進(jìn)行了數(shù)學(xué)物理建模，并據(jù)此對(duì)柔性支撐安裝位置及關(guān)鍵尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)反射鏡及其柔性支撐結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重力場(chǎng)變化下的面形檢測(cè)試驗(yàn)，結(jié)果表明：光軸水平放置方向±1 G 自重作用下1.8 m 主鏡面形RMS 值均為0.033λ，小于λ/50（λ=632.8 nm）。對(duì)反射鏡組件進(jìn)行了模態(tài)分析與動(dòng)力學(xué)環(huán)境試驗(yàn)，結(jié)果表明組件的一階固有頻率為104 Hz，優(yōu)于設(shè)計(jì)要求，仿真分析結(jié)果準(zhǔn)確可靠。