張奔雷，楊 飛 ，王富國，盧保偉

（1. 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所, 吉林 長春130033；2. 中國科學(xué)院大學(xué), 北京100049）

1 引 言

望遠(yuǎn)鏡主鏡作為望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)中最關(guān)鍵、口徑最大的光學(xué)元件，其支撐技術(shù)一直是望遠(yuǎn)鏡技術(shù)發(fā)展要解決的核心問題之一[1]。對(duì)于4 m 口徑以下的小口徑主鏡一般采用柔性的被動(dòng)支撐形式，對(duì)于4 m 及更大口徑主鏡則采用主動(dòng)支撐形式[2]。大口徑望遠(yuǎn)鏡如果采用主動(dòng)支撐，從而將增加支撐系統(tǒng)的復(fù)雜程度，從而大大提高望遠(yuǎn)鏡制造成本，而被動(dòng)支撐是完全被定義的支撐結(jié)構(gòu)，對(duì)于鏡面低頻誤差并不能起到較好的校正能力。為解決這一矛盾，基于力矩促動(dòng)器（Warping Harness，WH）的半主動(dòng)光學(xué)技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，該技術(shù)主要用于校正空間頻率接近于零的鏡面波前誤差[3]。從自由度的角度分析，WH 機(jī)構(gòu)在底支撐硬點(diǎn)位置的3 個(gè)局部自由度的基礎(chǔ)上，通過自身柔性為支撐系統(tǒng)釋放微弱的局部自由度，其微弱的自由度介于主被動(dòng)支撐之間，所以被稱為“半主動(dòng)支撐”。WH 都是基于Whiffletree 設(shè)計(jì)的，它的應(yīng)用前提是可以通過樹形擴(kuò)展方式來傳遞校正力矩，進(jìn)而改變支撐力分布，以達(dá)到調(diào)整面形的目的[4-5]。

傳統(tǒng)的反射鏡支撐系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要靠設(shè)計(jì)人員根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，采用傳統(tǒng)理論和經(jīng)驗(yàn)公式設(shè)計(jì)支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并用有限元方法檢驗(yàn)計(jì)算，再根據(jù)計(jì)算結(jié)果反復(fù)修改迭代使其最終滿足設(shè)計(jì)要求。這種方法效率較低，需耗費(fèi)大量人力物力且經(jīng)迭代后獲得的可能是局部最優(yōu)解。針對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的缺陷，本文提出一種反射鏡支撐系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法，即結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化結(jié)合經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的反射鏡支撐系統(tǒng)綜合設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，并建立一套基于WH的半主動(dòng)光學(xué)支撐系統(tǒng)，并用所提出方法檢驗(yàn)了該半主動(dòng)支撐系統(tǒng)對(duì)于鏡面低階像差的校正能力。

2 半主動(dòng)支撐系統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 背部定位方案確定

鏡面背部支撐點(diǎn)位置是支撐系統(tǒng)中一個(gè)重要的組成部分，支撐點(diǎn)的分布直接影響面形精度。對(duì)于大型薄鏡面，支撐點(diǎn)的數(shù)目與平均支撐面積成反比，如果有N個(gè)支撐點(diǎn)，則有：

式中：A為鏡面的面積；m為鏡子重量；g為重力加速度；D=Et3/12(1-v2)，其中，E為彈性模量，t為鏡面厚度，v為泊松比[6]。

本課題采用實(shí)驗(yàn)鏡徑厚比達(dá)到了20，具體參數(shù)如表1 所示，將表1 中參數(shù)代入式（1），最終選定鏡面背部采用9 點(diǎn)支撐方式。

表1 鏡面參數(shù)Tab.1 Primary mirror parameters

Hindle 總結(jié)的9 點(diǎn)支撐布局，如圖1 所示。圖1 中平衡半徑RE把一個(gè)等厚度反射鏡分成兩部分：一個(gè)是圓環(huán)盤，其占總重量的2/3，一個(gè)是中心盤，其占總重量的 1/3。3 個(gè)支撐點(diǎn)等角間距分布在非常接近且略大于平衡半徑RE的一個(gè)圓上。其中3 個(gè)支撐點(diǎn)位于半徑為R1的內(nèi)圓上，6 個(gè)支撐點(diǎn)位于半徑為R0的外圓上[7]。各圓半徑計(jì)算公式如下：

圖1 9 個(gè)支撐點(diǎn)的Whiffletree 支撐結(jié)構(gòu)Fig. 1 Whiffletree support structure of the mirror with 9 support points

其中D為反射鏡直徑，將其代入式（2）～式（5）得支撐點(diǎn)半徑R0=204 mm，R1=72 mm。經(jīng)有限元分析計(jì)算得鏡面面形RMS=19.8 nm。

2.2 側(cè)向定位方案確定

基于運(yùn)動(dòng)學(xué)約束原理的3 個(gè)切向桿的鏡面?zhèn)认蚨ㄎ环绞绞亲罨竞妥罱?jīng)典的方式，滿足鏡面在側(cè)向定位的要求，且不引入額外的定位應(yīng)力，能夠減小對(duì)鏡面面形精度的影響[8]。如圖2 所示，根據(jù)鏡面的受力特點(diǎn)，以鏡面質(zhì)心平面X軸正半軸端點(diǎn)為起點(diǎn)，沿圓周120°均布選取3 個(gè)定位點(diǎn)A、B、C，側(cè)向柔性桿的方向以A、B、C為起點(diǎn)沿圓周切線方向。這種中心對(duì)稱設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡單，側(cè)向柔性桿之間相互約束，可以最大程度上減小鏡面在XY平面上的位移。

圖2 鏡面?zhèn)认蚨ㄎ环桨窮ig. 2 Lateral positioning scheme of the primary mirror

側(cè)支撐由單柔性桿連接鏡體，3 組柔性桿呈中心對(duì)稱安裝，在光軸水平狀態(tài)下，A點(diǎn)幾乎不受力，B、C點(diǎn)受力大小相等，夾角為60°，因此在光軸水平狀態(tài)下側(cè)向柔性桿受力分析可只對(duì)B、C點(diǎn)柔性桿進(jìn)行分析，鏡體自重G計(jì)算公式如下：

鏡體重約100 N，得F=58 N，則望遠(yuǎn)鏡在工作情況下側(cè)支撐柔性桿所受最大軸向力G為58 N。

2.3 柔性件設(shè)計(jì)

反射鏡支撐機(jī)構(gòu)包括側(cè)支撐和底支撐。底支撐共有3 組Whiffletree 機(jī)構(gòu)，包括9 根軸向柔性桿和3 根三角板柔節(jié)；側(cè)支撐則包含3 根側(cè)向柔性桿。

根據(jù)柔性件的設(shè)計(jì)指標(biāo)、功能需求和反射鏡支撐系統(tǒng)中柔性件位置的空間來設(shè)計(jì)柔節(jié)[9-10]。初始設(shè)計(jì)柔性件結(jié)構(gòu)形式如圖3 所示。

圖3 支撐系統(tǒng)柔性件結(jié)構(gòu)Fig. 3 Diagram structure of the flexible parts of the support system

根據(jù)柔節(jié)最大變形量要求，需滿足以下公式：

其中，F(xiàn)為柔性件所受軸向載荷；L為柔節(jié)的有效長度；E為柔性件材料的彈性模量，值為2.1 ×1011Pa；A為柔節(jié)軸向有效截面積。將軸向、側(cè)向柔性桿、三角板柔節(jié)參數(shù)代入公式（7），求得柔性件的最小截面積，如表2 所示。

表2 各柔性件截面積計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of the cross-sectional area of each flexible part

3 個(gè)柔性件最小截面積同時(shí)考慮可加工性初定各柔性件關(guān)鍵尺寸，其中軸向柔性桿R取為1.2 mm，三角板柔節(jié)H=1.4 mm，側(cè)支撐柔性桿Rlateral=1.0 mm。

2.4 三角板及開放式鏡室設(shè)計(jì)

考慮到鏡體質(zhì)量較輕，對(duì)三角板承重能力要求較小，所以三角板采用T 形截面設(shè)計(jì)。鏡面口徑較小，側(cè)支撐之間跨度不大，為降低支撐系統(tǒng)質(zhì)量，設(shè)計(jì)了一款三角形開放式鏡室。相較于傳統(tǒng)圓形封閉式鏡室，其大大降低了支撐系統(tǒng)自重，且大大提高了支撐系統(tǒng)各零件安裝及檢測維修的可操縱性。具體結(jié)構(gòu)如圖4～圖5 所示。

圖4 三角板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig. 4 Triangle plate structure design

圖5 鏡室結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig. 5 Mirror chamber structure design

三角板三端連接軸向柔性桿，對(duì)三角板單獨(dú)做有限元分析驗(yàn)證其極限工作條件下變形大小。約束三角板底端圓面，對(duì)連接軸向柔性桿的3 個(gè)端面分別施加20 N 的垂直力，結(jié)果表示三角板最大變形在兩長邊處，變形量為0.001 mm，滿足要求。

鏡室大三角三端連接側(cè)支撐座，中間倒三角三端連接三角板柔節(jié)，固定端位于三角板柔節(jié)連接處外側(cè)，以減小更多的變形傳遞。鏡室承載了整個(gè)望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的重量，約束鏡室3 個(gè)固定點(diǎn)處全自由度，對(duì)側(cè)支撐連接點(diǎn)和三角板柔節(jié)連接點(diǎn)分別施加平行于鏡室上表面50 N 和10 N 的力，分析得到鏡室最大變形量為0.000 2 mm，滿足要求。

2.5 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

WH 彈簧葉片在整套半主動(dòng)光學(xué)支撐系統(tǒng)中負(fù)責(zé)將促動(dòng)器產(chǎn)生的校正力轉(zhuǎn)化為校正力矩，并傳遞到最上一級(jí)柔性桿以改變各柔性桿支撐力，進(jìn)而達(dá)到校正鏡面面形的作用[11]。

2.5.1 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

WH 彈簧葉片應(yīng)用的前提是可以通過樹形擴(kuò)展方式來傳遞校正力矩，其結(jié)構(gòu)形式采用L 形夾角為90°鏤空式設(shè)計(jì)，如圖6 所示。

圖6 WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)Fig. 6 Structure design of WH spring blade

鏤空式設(shè)計(jì)是為了在增加促動(dòng)器輸出位移行程的同時(shí)減小彈性葉片的尺寸。由杠桿原理知促動(dòng)器行程越大，輸出精度越高；同時(shí)促動(dòng)器驅(qū)動(dòng)彈簧葉片變形彎曲時(shí)，將彈簧葉片驅(qū)動(dòng)點(diǎn)與固定點(diǎn)的水平距離改變量減小，使得整個(gè)系統(tǒng)卡死的風(fēng)險(xiǎn)降低。夾角設(shè)為90°則是為了保證兩個(gè)葉片受促動(dòng)器垂直向上或向下作用力時(shí)在其坐標(biāo)中心處產(chǎn)生的力矩耦合具有一致性。無論葉片作用方向如何，由于其正交性在三角板樞軸上產(chǎn)生的力矩作用效果可以保持一致。

彈簧葉片的厚度決定了其在受力狀態(tài)下變形量的大小，由于鏡面變形符合線性定律，所以要求葉片在受線性力的時(shí)候變形量滿足線性關(guān)系，針對(duì)葉片厚度進(jìn)行優(yōu)化分析。設(shè)葉片厚度為變量，以葉片最大變形量為目標(biāo)函數(shù)搭建彈簧葉片厚度優(yōu)化平臺(tái)。經(jīng)優(yōu)化分析彈簧葉片厚度為2 mm時(shí)變形量呈線性分布，如圖7（彩圖見期刊電子版）所示，所以選取彈簧葉片厚度為2 mm。

圖7 WH 彈簧片位移線性分析Fig. 7 Linear analysis of the displacement of the WH spring blade

2.5.2 WH 彈簧葉片疲勞分析

疲勞表達(dá)了零件受循環(huán)載荷作用產(chǎn)生的損傷和破壞，彈性葉片中截面積最小的地方是其最薄弱的地方，受力時(shí)引入應(yīng)力集中，薄弱環(huán)節(jié)的應(yīng)力集中用KT表示，則有應(yīng)力集中系數(shù)Kf。

其中， ρ為薄弱根部半徑，a為結(jié)構(gòu)材料常數(shù)，用截面積最小區(qū)域應(yīng)力場強(qiáng)來反映疲勞強(qiáng)度，則有：

其中Ω為缺口破壞區(qū)域，V為缺口破壞區(qū)域的體積，為破壞應(yīng)力函數(shù)，φ(r)為權(quán)函數(shù)。

根據(jù)有限元分析，WH 彈簧葉片最薄弱處應(yīng)力為14.4 MPa，如圖8（彩圖見期刊電子版）所示。代入上述公式，權(quán)函數(shù)取1，計(jì)算得到σF=9.2 MPa，通過S-N 曲線查找得到WH 彈簧葉片疲勞壽命為1.2×106次，滿足使用要求。

圖8 WH 彈簧葉片應(yīng)力分析Fig. 8 Stress analysis of the WH spring blade

2.6 傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)靜力學(xué)分析

由上述經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)得到的各零件尺寸建立有限元模型并分析，其中光軸豎直和水平狀態(tài)下鏡面面形RMS 值為119 nm 和106 nm；1 °C 溫升狀態(tài)下鏡面面形變化量為2.8 nm；一階模態(tài)頻率為80 Hz。

3 支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸及位置優(yōu)化

由2.6 節(jié)知在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的支撐系統(tǒng)支撐下，望遠(yuǎn)鏡各工況下鏡面面形誤差較大，接下來將對(duì)該支撐系統(tǒng)各零件尺寸和分布位置進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以降低由支撐系統(tǒng)引入的鏡面面形誤差[12-13]。

3.1 軸向支撐點(diǎn)位置優(yōu)化

在鏡體支撐點(diǎn)位置完成傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)之后，首先對(duì)支撐點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化。采用 Isight 集成優(yōu)化平臺(tái)集成有限元分析軟件和數(shù)據(jù)處理軟件[14-15]，采用序列二次規(guī)劃算法以內(nèi)外圈支撐點(diǎn)半徑R0、R1為變量，以反射鏡面形RMS 值為優(yōu)化目標(biāo)。數(shù)學(xué)模型如下：

式中：RMSz為光軸豎直狀態(tài)鏡面面形。優(yōu)化結(jié)果如表3 所示。

表3 支撐點(diǎn)位置優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of the support point position

由上表知，相較于傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的支撐點(diǎn)位置，優(yōu)化后RMS 值由19.8 nm 降至12.0 nm。優(yōu)化前后鏡面變形云圖如圖9（彩圖見期刊電子版）所示。

圖9 支撐點(diǎn)位置優(yōu)化前后鏡面變形對(duì)比Fig. 9 Comparison of mirror deformation before and after optimization of the support point position

3.2 三角板連接點(diǎn)位置優(yōu)化

軸向支撐點(diǎn)在鏡面底部分為內(nèi)外兩圈，由于該實(shí)驗(yàn)反射鏡為內(nèi)凹球面鏡，鏡體邊緣厚度大于中心厚度，如果三角板柔節(jié)連接點(diǎn)仍設(shè)計(jì)為三角板質(zhì)心點(diǎn)，將使軸向柔性桿在望遠(yuǎn)鏡工作狀態(tài)下受力不等，從而引入鏡面變形。

由2.3 節(jié)知各柔性件尺寸，并由2.1 節(jié)知經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的三角板柔節(jié)連接點(diǎn)位置參數(shù)。使用Isight 集成優(yōu)化平臺(tái)集成有限元分析軟件、數(shù)據(jù)處理軟件搭建三角板柔節(jié)連接點(diǎn)位置參數(shù)優(yōu)化平臺(tái)。根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，最終得L=RS-R0=83.7 mm，設(shè)置圖4 中L為變量，約束三角板柔節(jié)連接點(diǎn)全自由度，以鏡面面形為優(yōu)化目標(biāo)，其數(shù)學(xué)模型為：

式中：RMSz為光軸豎直狀態(tài)下的鏡面面形值，單位為mm；L的兩次優(yōu)化范圍分別為60～85 mm 和70～72 mm，為保證L以第一位小數(shù)結(jié)尾，設(shè)間隔為0.1 mm。

經(jīng)全因子遍歷L值后，最終搜索到L=70.6 mm時(shí)鏡面面形RMSz值為13.5 nm，相較于傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)下的鏡面面形RMS值由119 nm 降至13.5 nm，其中L與RMSz呈二次函數(shù)關(guān)系，且在L=70.6 mm時(shí)取最小值。

3.3 支撐系統(tǒng)柔性件尺寸參數(shù)優(yōu)化

由上述優(yōu)化知根據(jù)傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)得到的結(jié)果并不能完全滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求，因此，還需要在支撐系統(tǒng)各組件位置關(guān)系確定后對(duì)軸、側(cè)支撐柔性件進(jìn)行關(guān)鍵部位尺寸參數(shù)優(yōu)化，以達(dá)到更好的支撐效果。

在3.2 節(jié)優(yōu)化獲得的L值的基礎(chǔ)上重新建立有限元模型，對(duì)光軸豎直方向和光軸水平方向分別施加重力載荷，設(shè)置為Z工況和X工況，并對(duì)有限元模型施加溫升載荷，設(shè)置為TEMP 工況。使用Isight 搭建支撐系統(tǒng)柔性件關(guān)鍵尺寸參數(shù)優(yōu)化平臺(tái)。約束尺寸包括軸向柔性桿半徑Rz、側(cè)向柔性桿Rc、三角板柔節(jié)寬H。

經(jīng)過兩次多尺寸參數(shù)優(yōu)化，得到使反射鏡組件光軸豎直和水平狀態(tài)下鏡面面形、1 °C 溫差下鏡面面形差最小狀態(tài)下的柔性件尺寸，見表4。其中RMSz和RMSx為光軸豎直、水平工況下的鏡面面型精度、RMSt為1 °C 溫差時(shí)鏡面RMS值的差值。類似三角板柔節(jié)連接點(diǎn)尺寸參數(shù)優(yōu)化，考慮到柔性件結(jié)構(gòu)的尺寸合理性和加工合理性，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)化過程中，對(duì)參數(shù)變量的取值進(jìn)行了規(guī)定，取優(yōu)化值為以1 位小數(shù)結(jié)尾的數(shù)值，將以多于1 位小數(shù)結(jié)尾的數(shù)值過濾掉。

表4 支撐柔性件結(jié)構(gòu)尺寸最優(yōu)解Tab.4 The optimal solution for the structural size of the supporting flexible parts

通過分析每個(gè)參數(shù)對(duì)每個(gè)響應(yīng)的影響趨勢和影響程度。可以得到：

（1）光軸豎直狀態(tài)下對(duì)鏡面面形影響最大的柔性件參數(shù)為軸向柔性桿半徑Rz和側(cè)向柔性桿半徑Rc，其中前者和鏡面面形RMSz成反比，后者與RMSz成正比。

（2）光軸水平狀態(tài)下鏡面面形影響最大參數(shù)為側(cè)向柔性桿和三角板柔節(jié)寬綜合作用H-Rc、，前者與鏡面面形RMSx成反比，后者與RMSx成正比。

（3）1 °C 溫差下鏡面面形影響最大參數(shù)為軸向柔性桿半徑Rz，與RMSt成正比。

對(duì)于處于最高地下水位以上的其余礦體，采礦活動(dòng)對(duì)地下水含水層結(jié)構(gòu)造成影響較小。但是采礦會(huì)截取補(bǔ)給巖溶水的水量，使得巖溶水有一定程度的衰減，另外匯集的礦坑水沿著斷裂構(gòu)造與裂隙的溝通以及采礦產(chǎn)生的裂隙為采礦廢水提供下滲通道進(jìn)入巖溶水系統(tǒng)，可能對(duì)巖溶水產(chǎn)生污染，在一定程度上造成礦體及其下游地下水水質(zhì)惡化，但總體影響較小。

至此優(yōu)化結(jié)束。經(jīng)對(duì)比知傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)光軸豎直狀態(tài)下鏡面面形由119 nm 降至13.3 nm，優(yōu)化率達(dá)到88.9%；光軸水平狀態(tài)下鏡面面形由106 nm 降至4.8 nm，優(yōu)化率達(dá)到95.5%；1 °C 溫差狀態(tài)下鏡面面形最大差值由2.8 nm 降至1.9 nm，優(yōu)化率為32.1%。優(yōu)化前后鏡面變形對(duì)比如圖10（彩圖見期刊電子版）所示，可見支撐系統(tǒng)經(jīng)優(yōu)化后各方面性能均得到了不同程度的提升。

圖10 3 種工況下優(yōu)化前（上）后（下）鏡面變形圖Fig. 10 Specular deformation diagrams before (top) and after (bottom) optimization under three working conditions

3.4 軸、側(cè)柔性件解耦驗(yàn)證

由上節(jié)可得到使鏡面面形RMS 最小的柔性件尺寸，根據(jù)支撐系統(tǒng)功能和指標(biāo)分配，軸向柔性桿應(yīng)滿足：

（1）在光軸豎直狀態(tài)下，沿軸向產(chǎn)生的剛體位移要小于0.002 mm，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)反射鏡的軸向約束。

（2）在光軸水平狀態(tài)下，軸向柔性桿承受載荷為光軸豎直狀態(tài)時(shí)承受載荷的1/10，即1.2 N，軸向柔性桿徑向產(chǎn)生的撓度大于側(cè)支撐引起的剛體位移時(shí)，底支撐對(duì)反射鏡面面形產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)，此時(shí)軸、側(cè)向支撐滿足解耦要求。

現(xiàn)對(duì)3.3 節(jié)求得的柔性件尺寸進(jìn)行分析，結(jié)果如表5 所示。其中S軸軸為軸向柔性桿軸向最大受力變形，S軸側(cè)為軸向柔性桿耦合狀態(tài)下最大變形，S側(cè)為側(cè)向柔性桿變形。由表5 可知，柔性桿在光軸水平工況下滿足耦合，望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)三維設(shè)計(jì)圖如圖11所示，支撐系統(tǒng)組件總質(zhì)量為12 kg，遠(yuǎn)小于兩倍鏡重。

表5 柔性桿軸及側(cè)向解耦結(jié)果Tab.5 Flexible rod axis and lateral decoupling results

圖11 鏡面支撐系統(tǒng)三維圖Fig. 11 3D view of the mirror support system

4 有限元分析與半主動(dòng)支撐系統(tǒng)校正能力驗(yàn)證

利用有限元軟件重新建立鏡面支撐系統(tǒng)的有限元模型，為使計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，全部采用手動(dòng)畫網(wǎng)格，其中鏡體和各柔性件采用solidHEX8 單元?jiǎng)澐郑前搴顽R室采用Beam 梁單元?jiǎng)澐郑邢拊Ｐ腿鐖D12(彩圖見期刊電子版）所示，圖中Act_01～Act_06 為作用在WH 彈簧葉片上的6 個(gè)中心對(duì)稱分布的促動(dòng)器編號(hào)。

圖12 鏡面系統(tǒng)有限元模型Fig. 12 Finite element model of the mirror system

4.1 WH 葉片驅(qū)動(dòng)影響分析

半主動(dòng)支撐系統(tǒng)校正過程中主要靠促動(dòng)器推拉WH 彈簧葉片產(chǎn)生形變從而使軸向柔性桿受力大小發(fā)生變化，進(jìn)而校正鏡面面形[16]。為探究該支撐系統(tǒng)對(duì)鏡面面形的校正能力，采用Zernike 各項(xiàng)像差系數(shù)大小來表征面形質(zhì)量的好壞，鏡面半主動(dòng)校正主要針對(duì)鏡面低階像差，由于前三階像差可通過調(diào)整次鏡來消除，所以本次分析主要針對(duì)前4～11 階Zernike 像差，包括初級(jí)離焦、像散、慧差、球差、三葉草像差等。

圖13 校正力與鏡面像差影響分析平臺(tái)Fig. 13 Correction force and mirror aberration impact analysis platform

圖14 各校正力相對(duì)Zernike 4～11 階像差Pareto 圖Fig. 14 Pareto diagrams of the 4th to 11th order Zernike aberrations for each correction force

上圖14 給出了各促動(dòng)器相對(duì)鏡面Zernike4～11 階像差的Pareto 圖，可以看出各校正力對(duì)鏡面像差均有影響，但由于6 個(gè)校正力施加位置不同，所以對(duì)于特定像差，各校正力的影響程度也不同。其中各單位校正力對(duì)離焦、0°和90°三葉草像差校正效果相同。由于鏡面產(chǎn)生大小相同且呈中心對(duì)稱變形時(shí)0°和90°像散、0°和90°慧差方向不同，所以各單位校正力對(duì)上述像差影響程度不同。

4.2 系統(tǒng)靜力學(xué)校正能力分析

上節(jié)給出了各促動(dòng)器單位力與鏡面低階像差之間的影響程度分析，可以看出雖然6 個(gè)促動(dòng)器位置分布不同，但它們對(duì)鏡面像差的影響是交互的，不同促動(dòng)器對(duì)同一種像差均有不同程度的影響，為了深入探究半主動(dòng)光學(xué)技術(shù)對(duì)鏡面像差的校正能力，采用Isight 集成Patran、Nastran、sigfit 建立鏡面低階像差多目標(biāo)優(yōu)化平臺(tái)。其數(shù)學(xué)模型如式12 所示，其中Z4-11表示Zernike 第4～11階系數(shù)，單位為nm；act01～act06表示6 個(gè)促動(dòng)器輸出的校正力大小，單位為N。

上文支撐系統(tǒng)優(yōu)化均是在鏡面處于兩個(gè)極限位置，即光軸水平狀態(tài)和豎直狀態(tài)下的鏡面面形情況，而望遠(yuǎn)鏡實(shí)際工作時(shí)這兩個(gè)極限位置幾乎不會(huì)出現(xiàn)，大部分時(shí)間望遠(yuǎn)鏡指向在30°至75°之間，因此需要分析半主動(dòng)光學(xué)技術(shù)在鏡面系統(tǒng)工作狀態(tài)下的校正能力。為清晰表達(dá)望遠(yuǎn)鏡工作狀態(tài)，首先定義一個(gè)直角坐標(biāo)系，明確鏡面在坐標(biāo)系中的位置。坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)置在主鏡面中心，光軸正方向?yàn)閆軸正向，X方向沿鏡面半徑方向并垂直其中一根側(cè)支撐柔性桿，按照右手定則確定Y軸的方向，實(shí)際上Y軸沿另一條半徑并垂直于X軸。

將鏡面俯仰過程以15°為間隔細(xì)分，采用多島遺傳算法分別對(duì)各角度狀態(tài)下的鏡面像差進(jìn)行優(yōu)化校正，校正結(jié)果如圖15（彩圖見期刊電子版）所示。其中0°和90°分別代表光軸水平和光軸豎直狀態(tài)。

圖15 半主動(dòng)支撐系統(tǒng)俯仰過程中鏡面各像差校正前后對(duì)比及校正率圖Fig. 15 Comparison before and after correction and their correction rate of each aberration of the mirror surface during the pitching process of the semi-active support system

圖15 給出了半主動(dòng)支撐系統(tǒng)在鏡面支撐系統(tǒng)俯仰過程中各角度對(duì)Zernike 第4～11 階像差的校正效果，可以看出：

（1）對(duì)于由支撐系統(tǒng)引入的鏡面初級(jí)離焦、像散、慧差、球差等像差，半主動(dòng)支撐系統(tǒng)可以進(jìn)行有效校正，校正率最高可達(dá)99%，校正后各像差幅值均低于1 nm。

（2）對(duì)于0°和90°三葉草像差，半主動(dòng)支撐系統(tǒng)對(duì)其校正能力一般，大多數(shù)情況下其幅值有所增大。

校正前后，鏡面面形RMS 值相對(duì)于俯仰角度變化如圖16（彩圖見期刊電子版）所示，其中俯仰過程中鏡面變形云圖校正前后對(duì)比如圖17（彩圖見期刊電子版）所示。

圖16 鏡面面形與俯仰角度關(guān)系圖Fig. 16 The relationship between mirror surface shape and pitch angle

圖17 俯仰過程中鏡面校正前（上）后（下）云圖Fig. 17 Cloud maps before (top) and after (bottom) mirror correction during pitching

由圖16 知：鏡面系統(tǒng)在0°～90°俯仰過程中校正前鏡面面形RMS 值呈三角函數(shù)曲線變化，經(jīng)校正后鏡面面形RMS 值范圍由5.6 nm～14.0 nm降至3.3 nm～13.3 nm；對(duì)鏡面面形的校正率隨鏡面系統(tǒng)從光軸水平俯仰至光軸豎直狀態(tài)的過程中逐漸減小，其范圍在4.7%～46.5%之間，校正能力優(yōu)秀。

4.3 半主動(dòng)支撐系統(tǒng)熱力學(xué)校正能力分析

鏡面支撐系統(tǒng)靜力學(xué)分析滿足線性定律，但是實(shí)際分析過程中受溫度和重力的雙重影響，所以在分析溫度載荷影響時(shí)，鏡面總變形等于重力引起的變形和溫度變化引起的變形的線性疊加。望遠(yuǎn)鏡工作時(shí)圓頂內(nèi)設(shè)有溫度保持裝備，工作溫度范圍不會(huì)太大。假設(shè)鏡面在室溫20 °C 時(shí)的面形誤差是理想值，分析半主動(dòng)支撐系統(tǒng)在室溫30 °C 時(shí)對(duì)鏡面面形RMS 值及Z4～11階像差校正前后情況。結(jié)果如表6 所示，校正前后鏡面變形云圖如圖18（彩圖見期刊電子版）所示，從位移云圖校正前后的對(duì)比可以看出鏡面離焦像差被有效校正。

表6 30°C 時(shí)鏡面面形校正前后對(duì)比Tab.6 Comparison of mirror surface shapes before and after correction at 30°C

圖18 10 °C 溫升狀態(tài)下鏡面面形校正前（左）后（右）變形云圖Fig. 18 Deformation cloud diagrams of the mirror’s surface shapes before (left) and after (right) correction under a 10°C temperature rise

由圖18 可知溫升10 °C 狀態(tài)下鏡面經(jīng)多目標(biāo)集成優(yōu)化校正前后：

（1）校正前后鏡面面形RMS 值由19.2 nm 降至13.2 nm，校正率為31.28%

（2）半主動(dòng)支撐系統(tǒng)對(duì)由溫升引起的鏡面離焦、初級(jí)像散、初級(jí)球差均有較好的校正能力，校正率最高可達(dá)97.23%，且校正后各像差幅值均小于1 nm。

（3）對(duì)于溫升引入的0°和90°初級(jí)慧差，由于其校正前幅值最大為0.02 nm，校正后其幅值仍小于0.05 nm，可以忽略不記。

（4）對(duì)于溫升引入的0°和90°三葉草像差，校正前像差幅值分別為12.8 nm 和1.43 nm，校正后為12.4 nm 和3.45 nm，可以看出半主動(dòng)支撐系統(tǒng)對(duì)該像差校正能力有所欠缺。

4.4 模態(tài)分析

鏡面支撐系統(tǒng)另一個(gè)重要特征是諧振頻率，諧振頻率影響其穩(wěn)定性和半主動(dòng)控制系統(tǒng)精度。建立有限元模型分析望遠(yuǎn)鏡支撐系統(tǒng)前4 階諧振頻率，約束鏡室固定位置的3 個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析，計(jì)算結(jié)果如表7 所示。

表7 鏡室組件前四階諧振頻率Tab.7 The first four-order resonance frequencies of the mirror chamber assembly

由表7 可知，經(jīng)集成優(yōu)化后半主動(dòng)支撐系統(tǒng)一階諧振頻率由80 Hz 提升至130 Hz，動(dòng)態(tài)剛度有了明顯的提升。

5 結(jié) 論

針對(duì)反射鏡傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的缺陷，本文采用一種傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)與尺寸參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)相結(jié)合的集成優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法收斂速度快，容易找到全局最優(yōu)解，在軸、側(cè)向支撐柔性件和WH 彈簧葉片結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以及三角板柔節(jié)連接點(diǎn)位置選定中采用了該優(yōu)化方法，效果顯著。設(shè)計(jì)了一種三角形開放式鏡室，相較于傳統(tǒng)圓形封閉式鏡室，支撐系統(tǒng)總質(zhì)量大大降低，提高了鏡室內(nèi)零件安裝和檢測維修的可操縱性。同時(shí)采用該方法對(duì)半主動(dòng)支撐系統(tǒng)校正能力進(jìn)行驗(yàn)證，包括各促動(dòng)器校正力相對(duì)鏡面Zernike 4～11 階像差影響分析、常溫狀態(tài)和溫升10 °C 狀態(tài)下鏡面半主動(dòng)系統(tǒng)俯仰過程中對(duì)各低階像差校正能力分析。

利用本文提出的集成優(yōu)化設(shè)計(jì)方法完成了：

（1）500 mm 口徑反射鏡半主動(dòng)支撐系統(tǒng)的鏡面支撐點(diǎn)位置、軸向和側(cè)向支撐結(jié)構(gòu)以及WH 彈簧葉片厚度的優(yōu)化設(shè)計(jì)。經(jīng)優(yōu)化后軸、側(cè)柔性件仍滿足解耦要求。

（2）鏡面支撐系統(tǒng)經(jīng)優(yōu)化后反射鏡光軸豎直及光軸水平狀態(tài)下面形精度RMS 值分別達(dá)到了13.3 nm 和4.8 nm，說明本支撐系統(tǒng)對(duì)鏡面面形精度影響較小。

（3）1 °C 溫差狀態(tài)下鏡面面形最大差值由2.8 nm 降至1.9 nm，說明本支撐系統(tǒng)溫度適應(yīng)性較好。

（4）一階諧振頻率由80 Hz 提升至130 Hz，鏡面半主動(dòng)支撐系統(tǒng)動(dòng)態(tài)剛度有明顯的提升。

（5）由本套半主動(dòng)支撐系統(tǒng)對(duì)鏡面低階像差的校正能力驗(yàn)證結(jié)果可知：對(duì)鏡面系統(tǒng)俯仰過程中由支撐系統(tǒng)、鏡面自身重力、溫度變化等引入的鏡面離焦、低階像散、低階慧差、初級(jí)球差等鏡面低階像差，半主動(dòng)光學(xué)技術(shù)的校正率最高可達(dá)到99%。經(jīng)校正后各像差幅值均小于1 nm，校正能力十分優(yōu)秀。

（6）這套半主動(dòng)支撐系統(tǒng)在室溫狀態(tài)下對(duì)鏡面俯仰過程中由重力引起的鏡面面形RMS 值的變化校正率在4.7%～46.5 之間，其中光軸水平狀態(tài)下校正效果最好；同時(shí)對(duì)由溫升引起的鏡面面形RMS 值變化校正率達(dá)到31.28%。校正能力優(yōu)秀。

可以看出本套半主動(dòng)支撐系統(tǒng)經(jīng)本文采用的集成優(yōu)化設(shè)計(jì)后各方面性能均得到大幅度提升，說明該集成優(yōu)化方法在支撐系統(tǒng)設(shè)計(jì)中具有很好的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)為同類鏡面支撐系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定的參考。