張大義，莫遠(yuǎn)哲，范雨

（北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京 100191）

0 引言

“機(jī)械振動基礎(chǔ)”是北京航空航天大學(xué)飛行器動力工程專業(yè)本科生的專業(yè)課，也是國內(nèi)各高校機(jī)械類專業(yè)的一門必修專業(yè)課，該課程的首要教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生運用振動基本理論解決工程中的實際問題。因此，在教學(xué)過程中要格外注重將理論講授內(nèi)容與實際工程問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力[1]。

目前國內(nèi)多個高校在“機(jī)械振動基礎(chǔ)”教學(xué)環(huán)節(jié)中暴露出如下問題：（1）理論學(xué)習(xí)與工程實踐脫節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)振動理論后，仍然難以解決實際問題[2]，畢業(yè)生的工程素質(zhì)常被企業(yè)行業(yè)質(zhì)疑。（2）理論推導(dǎo)過程枯燥，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣低，學(xué)習(xí)效率低下。上述問題的解決途徑包括：增加工程案例分析、增加實驗環(huán)節(jié)、引入計算機(jī)輔助軟件、問題式導(dǎo)向教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué)、討論式教學(xué)等，其中最為有效且便捷的方式是增加工程案例教學(xué)的教學(xué)方法。案例教學(xué)法是一種以案例為基礎(chǔ)的教學(xué)方法，該方法最早于20世紀(jì)20年代被美國哈佛大學(xué)商學(xué)院所采用，案例教學(xué)通常圍繞實際問題展開[3]，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。毛崎波[4]、舒海生[5]、郭朋彥[6]等在“機(jī)械振動基礎(chǔ)”課程教授中均探索引入了實際工程案例，取得了良好的教學(xué)效果。但上述案例并不適用于飛行器動力工程專業(yè)的學(xué)生，有待進(jìn)一步從科研工作中挖掘更多實例。

1 教學(xué)理念與教學(xué)方法

“機(jī)械振動基礎(chǔ)”課程教學(xué)過程中的關(guān)鍵問題是如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性；同時提高學(xué)生對知識的運用能力，實現(xiàn)理論與實踐的無縫結(jié)合。對此，課件準(zhǔn)備與教學(xué)過程的關(guān)鍵有3個方面。

（1）建立具有學(xué)術(shù)前沿性和工程指導(dǎo)性的課程體系與教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過程中堅持“加強(qiáng)基礎(chǔ)、擴(kuò)充領(lǐng)域、注重工程應(yīng)用”的原則，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，適應(yīng)面向機(jī)械大類通識性人才和航空領(lǐng)域?qū)I(yè)型人才培養(yǎng)的需要。

（2）建立兼顧理論與實踐的機(jī)械振動基礎(chǔ)課程教學(xué)模式。重點理論采用溯源式講解，結(jié)合國內(nèi)航空航天中的技術(shù)成果展示，增強(qiáng)學(xué)生的技術(shù)自信。

（3）秉持講授式教學(xué)與探究式教學(xué)有機(jī)結(jié)合的授課理念，培育學(xué)生工匠精神的同時，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。注重通過大量工程案例的引入，實現(xiàn)知識傳授、思維方法、工程實踐能力三者并重的培養(yǎng)；設(shè)計來源于科研的具有一定挑戰(zhàn)性的課后習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

為了完成上述教學(xué)任務(wù)，需要科研反哺教學(xué)，從實際科研中提取合適的案例應(yīng)用于教學(xué)過程。從航空發(fā)動機(jī)實際工程研制過程遇到的振動問題出發(fā)，針對工程中最為關(guān)注的模態(tài)頻率，給出與“機(jī)械振動基礎(chǔ)”各知識點緊密相關(guān)的具體案例，建立從工程對象到力學(xué)模型，再到數(shù)學(xué)方程求解，最后使用分析結(jié)果指導(dǎo)工程設(shè)計的工程思維模式，為機(jī)械振動課程授課教師的課件準(zhǔn)備提供案例和教學(xué)思路。

2 轉(zhuǎn)子葉片的一階彎曲振動模態(tài)頻率

2.1 工程對象及力學(xué)模型

航空發(fā)動機(jī)中低壓渦輪葉片常采用帶冠形式，以提高密封效果、增大剛度和干摩擦阻尼。葉片在工作中承受高負(fù)荷的交變氣動載荷作用，可能誘發(fā)共振帶來的疲勞問題，因此需要對帶冠葉片的彎曲模態(tài)頻率進(jìn)行分析和設(shè)計。單個葉片在高速旋轉(zhuǎn)時，葉片根部可以近似認(rèn)為與渦輪盤固接，進(jìn)一步簡化得到其力學(xué)模型，如圖1所示，圖中m為葉冠的質(zhì)量，l為葉片高度，y0為葉冠處的初始撓度。該力學(xué)模型主要誤差來源為：其一是將非等截面的葉片簡化為等截面梁；其二是葉片根部并未是完全固定的支承條件。

圖1 帶冠渦輪葉片力學(xué)模型

2.2 數(shù)學(xué)模型及求解

運用瑞利法建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程，不考慮阻尼因素影響的前提下，該系統(tǒng)振動時有：

由材料力學(xué)知，在梁端靜載荷P的作用下，懸臂梁自由端的撓度為：截面x處的撓度為：

假定梁自由振動時的振動形式與懸臂梁在自由端加一集中靜載荷的靜撓度曲線相同，則沿葉高方向各截面x的振幅為：

設(shè)ρ為葉片單位葉高的質(zhì)量，則微段dx的動能為：

由此可得全梁的動能為：

令y0為梁自由端振幅，則質(zhì)量m的自由振動可以表示為：ym=y0sinωnt。

則質(zhì)量m的速度為

故整個系統(tǒng)動能的最大值為：

整個系統(tǒng)的勢能最大值為：

由Tmax=Umax可得：

對于不帶冠的壓氣機(jī)葉片，頻率方程為：

2.3 工程拓展

由頻率表達(dá)式可知，葉片一階彎曲模態(tài)頻率的影響因素及影響趨勢有：（1）模態(tài)頻率隨葉片長度l的增大而減?。浑S葉冠質(zhì)量m的增大而減小。（2）模態(tài)頻率與葉片材料有關(guān)，隨勢能E的增大而增大。（3）模態(tài)頻率與葉片截面形狀參數(shù)有關(guān)，隨截面慣性矩J的增大而增大。在工程實際中，可借鑒上述規(guī)律調(diào)整葉片模態(tài)頻率，使其避開激振頻率，防止共振發(fā)生。

2.4 教學(xué)過程設(shè)計

該案例可作為機(jī)械振動課程“瑞利法”的應(yīng)用案例。

（1）教師簡述航空發(fā)動機(jī)中葉片的重要性和振動導(dǎo)致葉片斷裂的災(zāi)難性后果；激發(fā)學(xué)生熱愛本專業(yè)、立足于本專業(yè)的責(zé)任感。

（2）教師提問學(xué)生如何建立其力學(xué)模型，并引導(dǎo)學(xué)生思考該力學(xué)模型的誤差來源；

（3）教師講解數(shù)學(xué)方程建立方法和求解過程，并將渦輪葉片的實際參數(shù)代入解析解，與學(xué)生一起討論相對誤差的來源，啟發(fā)學(xué)生自我反思，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

（4）教師進(jìn)行工程拓展的講解，明確采用該方法和計算結(jié)果如何直接指導(dǎo)工程設(shè)計，讓學(xué)生感受到學(xué)有所用，提高學(xué)習(xí)興趣。

3 低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭振模態(tài)頻率

3.1 工程對象及力學(xué)模型

大涵道比渦扇發(fā)動機(jī)的低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包括風(fēng)扇、增壓級和低壓渦輪部件，如圖2所示。在氣動負(fù)荷不穩(wěn)定、碰摩等情況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可能發(fā)生扭振，導(dǎo)致轉(zhuǎn)軸疲勞破壞，因此需要對航空發(fā)動機(jī)低壓轉(zhuǎn)子部件的扭振模態(tài)頻率進(jìn)行分析與設(shè)計。

將低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化如圖2所示的力學(xué)模型，兩端I1、I2分別代表風(fēng)扇增壓級和低壓渦輪的轉(zhuǎn)動慣量，系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度為kθ。

圖2 低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及其簡化力學(xué)模型

3.2 數(shù)學(xué)模型及求解

設(shè)θ1與θ2分別表示圓盤I1與I2的角位移，正方向如圖2所示，則可列該兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程為：

其特征值方程為：

特征行列式方程為：

求得方程根為：

對應(yīng)的振幅比為：

3.3 工程拓展

（1）由上述簡化模型的求解結(jié)果可知，ω出現(xiàn)一個零根，相應(yīng)的振幅比為1，這表明兩圓盤以相同的轉(zhuǎn)角進(jìn)行轉(zhuǎn)動，軸段相對無變形，整個系統(tǒng)作為一個剛體進(jìn)行定軸轉(zhuǎn)動。即相當(dāng)于等效剛度為零的單自由度系統(tǒng)。（2）當(dāng)扭振的頻率為ω2時，此時I1和I2恒沿相反方向運動，軸上存在一節(jié)面始終保持不動。

3.4 教學(xué)過程設(shè)計

該案例可作為機(jī)械振動課程“兩自由度系統(tǒng)自由振動”的應(yīng)用案例。首先，教師簡述航空發(fā)動機(jī)中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要性和轉(zhuǎn)子扭振的不利影響，并引導(dǎo)學(xué)生通過定義兩個扭轉(zhuǎn)自由度，建立分析該問題的力學(xué)模型，提高學(xué)生以問題為導(dǎo)向的知識運用能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。其次，教師講解數(shù)學(xué)方程建立方法和求解過程，利用動畫直觀的表現(xiàn)兩階振型特征。最后，教師進(jìn)行工程拓展的講解，講述準(zhǔn)確預(yù)測轉(zhuǎn)子扭振模態(tài)頻率的意義及調(diào)整頻率的方法，分享自己參與某轉(zhuǎn)子扭振分析的親身經(jīng)歷和解決工程實際問題的喜悅心情，讓學(xué)生感受到學(xué)以致用的同時，激發(fā)學(xué)生對北航和本專業(yè)的熱愛。

4 高壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的橫向振動模態(tài)頻率

4.1 工程對象及力學(xué)模型

航空發(fā)動機(jī)高壓轉(zhuǎn)子部件主要由高壓壓氣機(jī)和高壓渦輪組成，在不平衡激勵作用下可能發(fā)生橫向振動。高壓轉(zhuǎn)子一般采用彈性支承設(shè)計，可以將其簡化為圖3所示的兩自由度系統(tǒng)，其中兩端軸承的剛度分別為k1與k2，系統(tǒng)的質(zhì)心為C點，前后支點距離質(zhì)心的距離分別為l1與l2。

圖3 高壓轉(zhuǎn)子及其簡化力學(xué)模型

4.2 數(shù)學(xué)模型及求解

設(shè)在某時刻，質(zhì)心C相對于靜平衡位置向下位移x，同時轉(zhuǎn)子有仰角θ?？傻孟到y(tǒng)運動微分方程的矩陣形式為：

設(shè)x=Xsin（ωt+?），θ=Θsin（ωt+?）且，將其代入系統(tǒng)運動微分方程，可得：

其特征方程為：

求解得其固有頻率為：

其振幅比為：

4.3 工程拓展

某高壓轉(zhuǎn)子的具體參數(shù)列表見表1。

表1 某高壓轉(zhuǎn)子主要參數(shù)表

將表1參數(shù)代入固有頻率公式可求得：

其振型為：r1=-1.00＜0，r2=0.42＞0

表明在第一階固有振動時x與θ為反方向，工程中稱為俯仰振型；在第二階固有振動時x與θ為同方向，工程中稱為平動振型。

4.4 教學(xué)過程設(shè)計

該案例可作為機(jī)械振動課程“兩自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動”的應(yīng)用案例。首先，教師講述轉(zhuǎn)子橫向振動是制約我國航空發(fā)動機(jī)研制的一個關(guān)鍵性問題，以及學(xué)院老先生們在發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子減振設(shè)計方面的卓越貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生對北航和本專業(yè)的熱愛。其次，教師講述該力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過程，并讓學(xué)生自己嘗試使用兩個線自由度的方式求解該問題，培養(yǎng)學(xué)生運用多種方法綜合分析問題的能力。最后，教師進(jìn)行工程拓展的講解，討論支承剛度對轉(zhuǎn)子橫向振動頻率的影響，并講述在實際工程問題中支承剛度選取范圍的限制，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識到矛盾在實際工程問題中是無處不在的，需要有平衡設(shè)計的工程思維。

5 結(jié)語

本研究的三個工程實例在用于實際教學(xué)時，收到了較好的效果，學(xué)生上課積極性顯著提高，并且多數(shù)學(xué)生在實踐課程和課程設(shè)計時，能夠獨立完成從工程對象抽象出合適的力學(xué)模型，在對數(shù)學(xué)方程求解后，能夠使用求解結(jié)果對實際問題進(jìn)行分析。