浙江臺(tái)州市仙居縣步路鄉(xiāng)中心小學(xué)（317305） 張敏

什么是數(shù)學(xué)建模？教師該如何幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模？在觀(guān)摩了吳正憲老師的一節(jié)示范課后，筆者茅塞頓開(kāi)。吳老師的授課內(nèi)容是人教版教材第七冊(cè)“商的變化規(guī)律”。對(duì)于這樣的常規(guī)課，吳老師還能“玩”出什么新花樣呢？

上課伊始，吳老師并沒(méi)有什么神來(lái)之筆，她以“猴王分桃”的故事指引學(xué)生列出三個(gè)對(duì)應(yīng)的除法算式“6÷2=3、60÷20=3、600÷200=3”，并依次進(jìn)行辨析。這一方式讓我們的期望落空，情緒有些失落。突然，吳老師來(lái)了個(gè)180度大轉(zhuǎn)彎，猶如驚雷炸響，讓我們眼前一亮。

一、借助幾何直觀(guān)，勾勒模型輪廓

待學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“猴王分桃”的三個(gè)算式后，吳老師沒(méi)有讓學(xué)生對(duì)三個(gè)算式蘊(yùn)含的規(guī)律進(jìn)行繼續(xù)挖掘，而是以幾何直觀(guān)的形式來(lái)揭示規(guī)律。

師：這三個(gè)算式蘊(yùn)含著什么規(guī)律？我們慢慢揭曉。再來(lái)看一組題。（題目省略）

師（出示圖1）：從圖中你能發(fā)掘出哪些數(shù)學(xué)信息？

圖1

生1：橫軸坐標(biāo)表示短笛的支數(shù)，縱軸坐標(biāo)表示相應(yīng)的總價(jià)格。

師：你知道兩者之間存在什么數(shù)量關(guān)系嗎？

生2：采購(gòu)2支短笛需支出10元，采購(gòu)4支短笛需支出20元，采購(gòu)6支短笛需支出30元，采購(gòu)8支短笛需支出40元。

（學(xué)生邊說(shuō)，教師邊在圖中描點(diǎn)，得到圖2）

圖2

師：想一想，采購(gòu)10支短笛時(shí)，橫縱軸的交匯點(diǎn)會(huì)跑到哪兒？

生3：延長(zhǎng)橫軸末端，往上就可以找到它。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么新線(xiàn)索？

生4：每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)數(shù)除以橫坐標(biāo)數(shù)，得到的商都是5。

師：這個(gè)商5有什么實(shí)際意義？

生5：它表示一支短笛的單價(jià)。

師：你是從何得知的？

生6：用采購(gòu)短笛的總價(jià)格除以短笛的支數(shù)，可得一支短笛的單價(jià)。

師：短笛的數(shù)量和總價(jià)一直不固定呀。

生7：但是無(wú)論數(shù)量和總價(jià)格如何變化，一支短笛的單價(jià)5元一直不變。

（此時(shí)，吳老師沒(méi)有滿(mǎn)足于學(xué)生對(duì)坐標(biāo)圖的觀(guān)察和理解）

師：你們的意思是，隨著采購(gòu)的短笛的支數(shù)不斷增多，需要支付的錢(qián)款也會(huì)增多，但是每支短笛的單價(jià)一直不變。

（吳老師邊說(shuō)邊伸直左右手，左手平伸代表橫軸，右手豎直代表縱軸，兩條手臂慢慢伸展，使學(xué)生從肢體動(dòng)作中體驗(yàn)到被除數(shù)和除數(shù)同步增加的過(guò)程，揣摩商不變的本質(zhì)。）

傳統(tǒng)的建模都是先出示一個(gè)情境，然后在大量類(lèi)似的情境和變式中歸納出運(yùn)算公式，最典型的是植樹(shù)問(wèn)題模型，其先出示大量的植樹(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生從中概括出植樹(shù)問(wèn)題的模型，那就是“間隔數(shù)+1=棵數(shù)”，然后通過(guò)變式繼續(xù)擴(kuò)大、豐富模型，概括出“間隔數(shù)-1=棵數(shù)”“間隔數(shù)=棵數(shù)”兩個(gè)種子模型。即使是“比例”這種模型，一般也是從相關(guān)變量中進(jìn)行概括構(gòu)建（如速度一定，路程與行駛時(shí)間成正比），并利用表格來(lái)展示和總結(jié)。這樣的建模缺少直觀(guān)性，而且學(xué)生很難建立變量的連續(xù)變化思想（也就是函數(shù)思想）。吳老師的這種建模獨(dú)樹(shù)一幟、別開(kāi)生面，直接跳過(guò)對(duì)直觀(guān)表象的提煉，出示平面坐標(biāo)系，用坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像來(lái)直觀(guān)揭示兩個(gè)變量的變化關(guān)系，這比直接出示短笛的圖片和相應(yīng)價(jià)格要高明得多。這種數(shù)學(xué)模型具有高度的概括性和抽象性，且因具有幾何直觀(guān)而更具說(shuō)服力。

二、分層漸進(jìn)感悟，初步建立模型

在上述建模的基礎(chǔ)上，吳老師指點(diǎn)學(xué)生重新探尋算式的變化規(guī)律。

師：這些算式的商為何始終固定為一個(gè)值？請(qǐng)大家任選一個(gè)題組，把自己的發(fā)現(xiàn)如實(shí)記錄下來(lái)。

（學(xué)生小組合作探究）師：誰(shuí)來(lái)展示一下自己的探究歷程和研究成果？學(xué)生展示自己的探究歷程和研究成果，如圖3：

圖3

師：你能根據(jù)探尋出的規(guī)律，寫(xiě)出幾組算式嗎？

生1：4÷2=2，40÷20=2……

生2：8÷2=4，80÷20=4……

生3：20÷5=4，200÷50=4……

師：你們說(shuō)得完嗎？

生4：無(wú)窮無(wú)盡，數(shù)都數(shù)不清，終其一生也休想說(shuō)完。

師：那么如何用一句話(huà)或者一個(gè)式子來(lái)高度概括無(wú)法說(shuō)盡的道理和規(guī)律呢？你想到什么，就直說(shuō)，一時(shí)說(shuō)不清就整理成文后再交流。

（學(xué)生反思整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，將自己的心得體會(huì)整理成文）

生5：商的大小與被除數(shù)、除數(shù)之間的比例有某種潛在的關(guān)系。

師：你們想從他嘴里再問(wèn)出點(diǎn)什么嗎？

生（齊）：這種潛在的關(guān)系到底是什么？

生5：比如被除數(shù)乘2，除數(shù)也乘2，那么商就始終為一個(gè)定值。

生6：被除數(shù)乘10，除數(shù)乘10，商也會(huì)為一個(gè)定值。

生7：被除數(shù)乘幾，除數(shù)也乘幾，商會(huì)為一個(gè)定值。

師：換言之，誰(shuí)和誰(shuí)同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，商才會(huì)為一個(gè)定值呢？

生8：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)，商會(huì)為一個(gè)定值。

師：很好，這位同學(xué)做了高度凝練的概括。你們還有要補(bǔ)充的嗎？

生9：在總結(jié)的時(shí)候，要一次性考慮到所有情況，不能有一個(gè)例外。

師：對(duì)的，要把所有情況全部囊括進(jìn)去。

師（出示圖4）：有的同學(xué)是這樣歸納的，你對(duì)此有什么看法？

圖4

生10：我覺(jué)得把方框替換成字母x更貼切。

師：x表示什么？

生11：任意數(shù)。

在這個(gè)環(huán)節(jié)中，吳老師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出心中所想，學(xué)生的想法在吳老師的問(wèn)題下不斷成熟和完善，由最初的“無(wú)窮無(wú)盡”到“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘幾，商就不會(huì)變”，再到用字母x這個(gè)簡(jiǎn)約的符號(hào)來(lái)代替方框。這不僅體現(xiàn)了學(xué)生由淺薄到深厚的積累積淀過(guò)程，也展現(xiàn)了由學(xué)生形象感知到理性分析和抽象概括的思維過(guò)程，更重要的是，他們嘗到了建模的滋味，體會(huì)了數(shù)學(xué)建模的意義。誠(chéng)然，有了充分的體驗(yàn)、漸入佳境的感知，學(xué)生的總結(jié)才能夠直擊要害“要把所有情況囊括進(jìn)去”，這個(gè)“把所有情況囊括進(jìn)去”的符號(hào)表達(dá)就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。

雖然前期建立了一個(gè)函數(shù)模型，但只是揭示正比例關(guān)系，而非本課的核心主旨。本課的核心是商不變規(guī)律，前期的模型只是一個(gè)框架、一次預(yù)演，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)商（總價(jià)與數(shù)量的比）不變時(shí)，兩個(gè)變量存在某種特殊關(guān)系，而這種特殊關(guān)系要確認(rèn)無(wú)誤地表述出來(lái)，才能完成對(duì)商不變規(guī)律模型的構(gòu)建。吳老師先順接前一個(gè)模型反映的數(shù)據(jù)特征，提取出算式，讓學(xué)生觀(guān)察幾組商不變的除法算式的特征，接著將算式對(duì)稱(chēng)排列，用箭頭指出被除數(shù)和除數(shù)相同的變化規(guī)律，最后讓學(xué)生應(yīng)用規(guī)律創(chuàng)造算式，發(fā)現(xiàn)“無(wú)窮無(wú)盡”。在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生對(duì)原有規(guī)律不斷完善和抽象，最后成功總結(jié)出商不變規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相同倍數(shù)，商不變。

三、回首全程，投用模型于實(shí)踐

假如說(shuō)前面的學(xué)習(xí)只是學(xué)生在順著教師制定的路線(xiàn)走，只是在教師授意和監(jiān)督下進(jìn)行的抽象概括，那么怎樣讓學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中擺脫教師的牽引，自己發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，并且能試著用抽象簡(jiǎn)約的符號(hào)來(lái)記錄這種規(guī)律，是這節(jié)課的一個(gè)重要戰(zhàn)略調(diào)整，也是教學(xué)理念的一次升華。于是吳老師組織學(xué)生再次回望學(xué)習(xí)全過(guò)程。

師：回望我們探究的過(guò)程，這個(gè)規(guī)律到底是怎樣出爐的？

電子白板呈現(xiàn)畫(huà)面和過(guò)程：猴王分桃→采購(gòu)短笛賬目的坐標(biāo)圖→自己看圖寫(xiě)算式→檢驗(yàn)真?zhèn)巍?/p>

師：看這個(gè)坐標(biāo)圖（如圖5），如果抹去計(jì)量單位“元”和“支”的話(huà)，你能編一個(gè)小故事嗎？

圖5

生1：我購(gòu)買(mǎi)2塊橡皮泥用了10元錢(qián)，購(gòu)買(mǎi)4塊橡皮泥用了20元錢(qián)……每塊橡皮泥5元錢(qián)。

生2：我練字，2分鐘寫(xiě)了10行字，4分鐘寫(xiě)了20行字……每分鐘寫(xiě)5行字。

……

如果說(shuō)前面的建模，是一種籌建和搭建，那么此環(huán)節(jié)就是在應(yīng)用模型，屬于模型投用階段。讓人驚喜的是，吳老師的模型投用，再次和幾何直觀(guān)勾連上了。

綜觀(guān)吳老師的授課過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，她堅(jiān)決貫徹建模思想。為了構(gòu)建出“商不變規(guī)律”這個(gè)目標(biāo)模型，前期建立了兩個(gè)小模型作為基礎(chǔ)和框架，當(dāng)目標(biāo)模型建立完畢后，前期建立的“框架”還可以循環(huán)利用，應(yīng)用到別的情境中。對(duì)模型的應(yīng)用絕不僅僅是將這個(gè)模型中蘊(yùn)含的公式拿來(lái)解題，而是運(yùn)用這個(gè)模型的基本框架去“度量”各種不同的情境，讓同一模型在不同的情境中發(fā)揮價(jià)值，利用這一模型去對(duì)照、整合不同情境下的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)不同情境下存在共同數(shù)量關(guān)系的可能，即從不同路徑去驗(yàn)證這個(gè)模型的可靠性和穩(wěn)定性。簡(jiǎn)言之，模型可以用來(lái)“度量”不同的情境，不同的情境又可以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目茖W(xué)性。

綜上，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程需要學(xué)生在分層感知中逐步地完善和抽象，是學(xué)生對(duì)體驗(yàn)的不斷沉淀和豐盈。對(duì)此，教師要多等待，少說(shuō)教，少灌輸。只有這樣，“建模課堂”才會(huì)驚喜不斷，精彩紛呈。