□ 張志強(qiáng) □ 張為民,2 □ 薛 峰 □ 陳圣華□ 馬 瑞 □ 趙東方

1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804 2.同濟(jì)大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)中心 上海 201804 3.臺(tái)達(dá)電子工業(yè)股份有限公司 臺(tái)北 114501 4.臺(tái)達(dá)智能科技(北京)有限公司 北京 100026

1 研究背景

先進(jìn)制造技術(shù)是當(dāng)前我國(guó)制造業(yè)的重點(diǎn)發(fā)展方向之一[1]。工藝參數(shù)優(yōu)化是提升機(jī)床加工性能,提高先進(jìn)制造技術(shù)的重要途徑。工藝參數(shù)的選取直接影響機(jī)床加工的能耗、質(zhì)量、效率、成本和刀具壽命等。金屬銑削工藝具有復(fù)雜性與多變性特點(diǎn),性能指標(biāo)等優(yōu)化目標(biāo)的具體表達(dá)式及其梯度信息難以獲得,無(wú)法利用優(yōu)化目標(biāo)的自身特性和工藝參數(shù)的梯度信息來(lái)求得全局最優(yōu)解,并且往往需要花費(fèi)高額代價(jià)才能觀測(cè)到優(yōu)化目標(biāo)的返回值,這些都給工藝參數(shù)配置的尋優(yōu)帶來(lái)困難。

目前，工藝參數(shù)的優(yōu)化方法主要有兩類(lèi)。第一類(lèi)是試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)合統(tǒng)計(jì)分析的方法。Das等[2]利用灰色模糊關(guān)聯(lián)度分析法將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問(wèn)題,并通過(guò)田口法試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)合方差分析得到最終優(yōu)化結(jié)果。Ahmed等[3]以表面粗糙度和能耗為優(yōu)化目標(biāo),對(duì)比田口信噪比分析優(yōu)化方法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)多目標(biāo)遺傳算法的優(yōu)化效果,驗(yàn)證兩類(lèi)方法的可行性。Camposeco-Negrete[4]采用正交試驗(yàn)、信噪比、方差分析研究粗車(chē)加工參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。Yan Jihong等[5]提出一種基于加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)分析和響應(yīng)面法的多目標(biāo)優(yōu)化方法,用于優(yōu)化銑削過(guò)程中的參數(shù)。第一類(lèi)方法避開(kāi)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)表達(dá)式的求解,但是需要采集大量試驗(yàn)數(shù)據(jù),并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,存在分析過(guò)程復(fù)雜、優(yōu)化周期長(zhǎng)、優(yōu)化成本高的缺點(diǎn),特別是隨著待優(yōu)化因素?cái)?shù)量的增加,試驗(yàn)次數(shù)會(huì)不可避免地大幅增加。另一方面,第一類(lèi)方法的優(yōu)化結(jié)果只能在事先設(shè)定的參數(shù)組合中取得,往往不能獲得全局最優(yōu)解。第二類(lèi)是預(yù)測(cè)模型結(jié)合優(yōu)化算法的方法。Parmar等[6]將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合,用于端銑過(guò)程的多目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化。Lin Wenwen等[7]利用回歸分析建立預(yù)測(cè)模型,以加工系統(tǒng)碳排放為優(yōu)化目標(biāo),使用教與學(xué)優(yōu)化算法解出帕累托集,并且通過(guò)層次分析法得到最優(yōu)加工參數(shù)。Santhanakrishnan等[8]利用響應(yīng)面法建立預(yù)測(cè)模型,以端銑加工溫升為優(yōu)化目標(biāo),使用遺傳算法優(yōu)化工藝參數(shù)。Zhou Jinhua等[9]利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立預(yù)測(cè)模型,以表面粗糙度和殘余壓應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo),使用粒子群算法優(yōu)化多軸球頭銑削工藝參數(shù)。第二類(lèi)方法通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式、回歸分析或機(jī)器學(xué)習(xí)中的回歸算法建立從輸入到輸出的預(yù)測(cè)模型,易于使用。但是,第二類(lèi)方法也存在一些問(wèn)題,如經(jīng)驗(yàn)公式大多在有限的影響因素下提出,不適用于各類(lèi)異構(gòu)、變化加工場(chǎng)景,回歸分析及機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練需要大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的支撐。另一方面,使用搜索優(yōu)化算法的同時(shí)即會(huì)引入眾多待調(diào)節(jié)的內(nèi)置超參數(shù),不合適的超參數(shù)組合會(huì)降低算法效率和準(zhǔn)確性,反而提高參數(shù)尋優(yōu)的難度,造成優(yōu)化方法靈活性差、效果欠理想、效率較低等問(wèn)題。

貝葉斯算法是一種高效的優(yōu)化算法,通過(guò)設(shè)計(jì)合適的概率代理模型和采集函數(shù),引入待優(yōu)化目標(biāo)完整的歷史先驗(yàn)知識(shí),只需要經(jīng)過(guò)較少次數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)評(píng)價(jià)試驗(yàn),即可輸出良好的優(yōu)化結(jié)果[10]。貝葉斯算法在面對(duì)多決策變量,目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式未知、非凸、多峰,評(píng)估代價(jià)高昂的黑箱優(yōu)化問(wèn)題時(shí),已經(jīng)取得了優(yōu)良的效果。Liang Xiao[11]通過(guò)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行災(zāi)后橋梁檢測(cè),并應(yīng)用貝葉斯算法對(duì)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身的眾多模型參數(shù)進(jìn)行選擇。Wang Dong等[12]提出基于貝葉斯算法的支持向量機(jī)短期交通流預(yù)測(cè)方法。Stuke等[13]對(duì)比網(wǎng)格搜索、隨機(jī)搜索、貝葉斯算法在基于核嶺回歸的機(jī)器學(xué)習(xí)中超參數(shù)尋優(yōu)的效果,驗(yàn)證貝葉斯算法的高效性。Nguyen等[14]在金剛石刀具車(chē)削聚碳酸酯表面粗糙度預(yù)測(cè)研究中對(duì)比多種模型的回歸效果,驗(yàn)證基于貝葉斯算法的Xgboost模型的優(yōu)越性。Alajmi等[15]提出基于貝葉斯算法的支持向量機(jī)方法,對(duì)709M40合金鋼常規(guī)銑削過(guò)程中刀具的磨損優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究。Maier等[16]將貝葉斯算法直接應(yīng)用于車(chē)削加工多目標(biāo)優(yōu)化的研究中,并證明這一方法的靈活性。從以上介紹可以看到,當(dāng)前貝葉斯算法正應(yīng)用于越來(lái)越多的領(lǐng)域,其中多數(shù)為優(yōu)化其它模型的超參數(shù),很少直接用于機(jī)械加工領(lǐng)域的參數(shù)優(yōu)化。

筆者針對(duì)金屬銑削加工工藝參數(shù)尋優(yōu)問(wèn)題復(fù)雜多變的場(chǎng)景特點(diǎn),將其視為黑盒優(yōu)化問(wèn)題,以自制樣件的銑削加工過(guò)程為例,基于貝葉斯算法開(kāi)展優(yōu)化應(yīng)用研究。設(shè)計(jì)待優(yōu)化因素及待采集指標(biāo),對(duì)多個(gè)子目標(biāo)進(jìn)行基于層次分析法的歸一化,以避免多對(duì)多預(yù)測(cè)模型建模的復(fù)雜過(guò)程。通過(guò)貝葉斯算法逐輪進(jìn)行試驗(yàn),以完成參數(shù)尋優(yōu)過(guò)程,實(shí)現(xiàn)工藝參數(shù)的快速準(zhǔn)確優(yōu)化。與此同時(shí),基于田口正交試驗(yàn)法進(jìn)行工藝參數(shù)優(yōu)化試驗(yàn),并將結(jié)果與貝葉斯算法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證貝葉斯算法的尋優(yōu)效果更佳,尋優(yōu)試驗(yàn)次數(shù)更少,為單次試驗(yàn)成本高昂的金屬銑削加工場(chǎng)景提供一種低成本的實(shí)用工藝參數(shù)配置尋優(yōu)方法。

2 貝葉斯算法原理

2.1 概述

貝葉斯算法是一種基于貝葉斯定理,以近似逼近為基本思想的參數(shù)優(yōu)化方法,由多種可用的概率代理模型來(lái)擬合優(yōu)化變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的關(guān)系,通過(guò)采集函數(shù)選擇有希望的參數(shù)組合進(jìn)行迭代,最終得出效果最佳的參數(shù)組合。理論證明,在最優(yōu)化采集函數(shù)的前提下,貝葉斯算法能夠保證最終收斂[10]。

貝葉斯算法模型由五部分組成。

(1) 優(yōu)化目標(biāo)。即期望最優(yōu)化的內(nèi)容,通常通過(guò)評(píng)價(jià)函數(shù)或試驗(yàn)獲取優(yōu)化目標(biāo)取值。

(2) 優(yōu)化空間。即優(yōu)化變量的取值范圍。優(yōu)化空間的設(shè)置會(huì)影響優(yōu)化效率和最終優(yōu)化效果。

(3) 優(yōu)化變量。即用于調(diào)控以獲取最優(yōu)的優(yōu)化目標(biāo)取值的變量。

(4) 概率代理模型。用于代替優(yōu)化變量與優(yōu)化目標(biāo)之間復(fù)雜的非線性映射關(guān)系,這種映射關(guān)系通常未知且難以獲取。

(5) 采集函數(shù)。即用于選取下一組優(yōu)化變量的依據(jù),一般通過(guò)最值化采集函數(shù)來(lái)選擇下一個(gè)最有潛力的評(píng)價(jià)點(diǎn)。

其中,概率代理模型與采集函數(shù)是貝葉斯算法的核心。

2.2 概率代理模型

貝葉斯算法利用概率代理模型代替未知的黑箱函數(shù),在概率代理模型中引入先驗(yàn)知識(shí),以減少非必需的優(yōu)化目標(biāo)評(píng)價(jià)。概率代理模型分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型。參數(shù)模型有貝塔-伯努利模型、線性模型、廣義線性模型等,非參數(shù)模型有高斯過(guò)程回歸模型、隨機(jī)森林回歸模型等。非參數(shù)模型具有更高的靈活性,使貝葉斯算法不易發(fā)生過(guò)擬合問(wèn)題,其中應(yīng)用最廣泛的是高斯過(guò)程回歸模型。

2.2.1 高斯分布

對(duì)于一維隨機(jī)變量x,其一元高斯分布的概率密度函數(shù)為:

(1)

式中:μ為均值;σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

一元高斯分布由均值和標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)現(xiàn)唯一確定。

當(dāng)隨機(jī)變量數(shù)不止一個(gè)時(shí),可以推廣得到多元高斯分布。對(duì)n維隨機(jī)變量x=(x1,…,xn)T,其期望向量為:

(2)

其協(xié)方差矩陣為:

(3)

記K=Var(x),則有:

(4)

式中:Cov(xi,xj)為隨機(jī)變量xi與xj的協(xié)方差。

設(shè)μ1、μ2、...、μn為各維度隨機(jī)變量的均值,則均值向量為:

(5)

x的多元高斯分布密度函數(shù)為[17]:

(6)

多元高斯分布由均值向量和協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)唯一確定。

2.2.2 高斯過(guò)程

在了解高斯過(guò)程之前,需要了解一個(gè)更為寬泛的概念,即隨機(jī)過(guò)程。如果對(duì)于每一個(gè)x∈T,f(x)是一個(gè)隨機(jī)變量,則稱(chēng)隨機(jī)變量族{f(x),x∈T}為隨機(jī)過(guò)程,其中T為參數(shù)集,f(x)的所有取值為狀態(tài)集。如果隨機(jī)過(guò)程{f(x),x∈T}的任意有限維分布都是高斯分布,即對(duì)任意x1,x2,…,xn∈T,f(x1)、f(x2)、…、f(xn)都服從n元高斯分布,則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{f(x),x∈T}為高斯過(guò)程[17]。可以將T推廣至多維空間,即變量x在多維空間中取值。

高斯過(guò)程可以看作是多元高斯分布推廣到無(wú)限元高斯分布。當(dāng)對(duì)某一現(xiàn)象進(jìn)行無(wú)限維采樣時(shí),即為對(duì)該現(xiàn)象對(duì)應(yīng)函數(shù)進(jìn)行采樣,高斯過(guò)程可以看作是函數(shù)的分布。高斯過(guò)程表示為:

f(x)～N[μ(x),K(x,x′)]

(7)

μ(x)=E[f(x)]

(8)

K(x,x′)=E{[f(x)-μ(x)][f(x′)-μ(x′)]}

(9)

μ(x)為均值函數(shù),返回各個(gè)維度的均值。K(x,x′)為協(xié)方差函數(shù),也稱(chēng)核函數(shù),返回各個(gè)維度之間的協(xié)方差矩陣。高斯過(guò)程由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)實(shí)現(xiàn)唯一確定。

核函數(shù)是高斯過(guò)程的核心,決定高斯過(guò)程的性質(zhì)。核函數(shù)的作用是生成協(xié)方差矩陣,衡量任意兩點(diǎn)之間的關(guān)系或距離。最常用的核函數(shù)是徑向基函數(shù),基本形式為:

(10)

式中:σ1、l為待定超參數(shù)。

徑向基函數(shù)是無(wú)限可微的,以此作為核函數(shù)的高斯過(guò)程具有所有階數(shù)的均方差導(dǎo)數(shù),因此非常光滑。核函數(shù)還有Matern內(nèi)核、有理二次內(nèi)核、正弦二次方內(nèi)核等。對(duì)于核函數(shù)自身的超參數(shù),通常通過(guò)最大化邊緣似然估計(jì)方法來(lái)進(jìn)行選擇。

2.2.3 高斯過(guò)程回歸

貝葉斯定理表達(dá)式為:

(11)

D1∶t=[(x1,y1),(x2,y2),…,(xt,yt)]

(12)

yt=f(xt)+εt

(13)

式中:f為未知目標(biāo)函數(shù);D1∶t為已觀測(cè)樣本;x1、x2、…、xt為決策向量;y1、y2、…、yt為觀測(cè)值;εt為觀測(cè)誤差;p(D1∶t|f)為在f條件下y的似然分布;p(f)為f的先驗(yàn)概率分布;p(D1∶t)為邊際化f的邊際似然分布;p(f|D1∶t)為f的后驗(yàn)概率分布。

先驗(yàn)概率分布是對(duì)未知目標(biāo)函數(shù)狀態(tài)的假設(shè),后驗(yàn)概率分布描述通過(guò)已觀測(cè)數(shù)據(jù)樣本對(duì)先驗(yàn)概率分布進(jìn)行修正后未知目標(biāo)函數(shù)的置信度。邊際似然分布由于存在概率密度函數(shù)的乘積和積分,因此通常難以得到明確的解析式。

貝葉斯定理表明可以通過(guò)某一現(xiàn)象的先驗(yàn)分布與似然概率來(lái)推測(cè)后驗(yàn)分布,高斯過(guò)程回歸應(yīng)用了貝葉斯定理。在高斯過(guò)程回歸中,每一次觀測(cè)得到新觀測(cè)數(shù)據(jù)后都會(huì)更新高斯過(guò)程的均值函數(shù),使均值函數(shù)逐漸逼近真實(shí)值。初始均值函數(shù)的選取對(duì)高斯過(guò)程回歸結(jié)果的影響很小,先驗(yàn)均值函數(shù)可以取0。

對(duì)于無(wú)噪聲高斯過(guò)程回歸,對(duì)于已有數(shù)據(jù)(x,f),將高斯過(guò)程的先驗(yàn)分布表示為f(x)～N(0,Kff),現(xiàn)有一些新的觀察數(shù)據(jù)(x*,y*),假設(shè)y*與f服從聯(lián)合高斯分布,于是有:

(14)

Kff=K(x,x)

(15)

Kfy=K(x,x*)

(16)

Kyy=K(x*,x*)

(17)

后驗(yàn)分布為[18]:

(18)

式(18)表明給定數(shù)據(jù)(x*,y*)后的函數(shù)分布仍然是一個(gè)高斯過(guò)程。

(19)

聯(lián)合高斯分布變?yōu)閇18]:

(20)

高斯過(guò)程回歸的流程為根據(jù)已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)假設(shè)一個(gè)高斯先驗(yàn)分布,觀測(cè)到一些新的數(shù)據(jù),基于先驗(yàn)和聯(lián)合高斯分布假設(shè)計(jì)算得到高斯后驗(yàn)分布的均值與協(xié)方差。

隨機(jī)過(guò)程在連續(xù)域中的每個(gè)點(diǎn)都是隨機(jī)變量,也就是說(shuō)每一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)都是巧合出現(xiàn)在觀測(cè)位置。每個(gè)點(diǎn)都以一定概率出現(xiàn)在狀態(tài)空間的任意位置上,因此任意一組數(shù)據(jù)都可以看作是某一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。高斯過(guò)程回歸就是將觀測(cè)數(shù)據(jù)集合看作高斯過(guò)程的樣本函數(shù)。

在銑削工藝參數(shù)優(yōu)化的研究中,將優(yōu)化目標(biāo)與影響因素之間看作是隨機(jī)的函數(shù)關(guān)系,即滿足高斯過(guò)程。已有觀測(cè)數(shù)據(jù)和新觀測(cè)數(shù)據(jù)均來(lái)源于同一個(gè)高斯過(guò)程,因此上述先驗(yàn)高斯分布假設(shè)和聯(lián)合高斯分布假設(shè)均可滿足,高斯過(guò)程回歸可以很好地應(yīng)用于銑削工藝參數(shù)優(yōu)化場(chǎng)景。

2.3 采集函數(shù)

貝葉斯算法依靠主動(dòng)選擇策略將歷史信息和不確定性相結(jié)合,可以有效平衡寬度搜索和深度搜索之間的關(guān)系,進(jìn)而減少非必需的優(yōu)化目標(biāo)評(píng)估,同時(shí)通過(guò)將采集函數(shù)最值化,推薦優(yōu)化參數(shù)組合。

由此可見(jiàn),采集函數(shù)的作用有兩個(gè)。第一,確定下一次用于評(píng)估的評(píng)估點(diǎn)。第二,平衡寬度搜索與深度搜索的關(guān)系,使貝葉斯算法可以避開(kāi)局部最優(yōu),并減少對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的評(píng)估次數(shù)。

常用的采集函數(shù)其策略有基于增益的策略和置信邊界策略。

2.3.1 增益概率

優(yōu)化目標(biāo)考慮望大優(yōu)化,增益概率的原理為找到未知評(píng)估點(diǎn)的評(píng)估值比已知最優(yōu)評(píng)估值更優(yōu)的概率,選取這些點(diǎn)中概率最大的點(diǎn),對(duì)于相對(duì)最優(yōu)評(píng)估值的具體增益值不作考慮。增益概率數(shù)學(xué)模型PI(x)為:

PI(x)=P[F(x)≥F(x+)+ξ]

=Φ{[μ(x)-F(x+)-ξ]/σ(x)}

(21)

式中:F(x)為x的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值;F(x+)為到目前為止最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值;ξ為平衡參數(shù);Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù);σ(x)為協(xié)方差函數(shù)。

平衡參數(shù)用于平衡寬度搜索和深度搜索的關(guān)系,一般由人為設(shè)定。

2.3.2 增益期望

增益概率能夠選擇概率最大的評(píng)估點(diǎn),將所有增益看作是等量的,不反映增益量。增益期望考慮具體增益的多少。增益期望數(shù)學(xué)模型EI(x)為:

EI(x)=

(22)

Z=[μ(x)-F(x+)-ξ]/σ(x)

(23)

2.3.3 置信上界和置信下界

置信邊界策略具有明顯的概率意義,通過(guò)正態(tài)分布置信區(qū)間的概念反映寬度搜索的不確定度。置信上界UCB應(yīng)用于望大優(yōu)化,置信下界LCB應(yīng)用于望小優(yōu)化,數(shù)學(xué)模型UCB(x)、LCB(x)分別為:

UCB(x)=μ(x)+kσ(x)

(24)

LCB(x)=μ(x)-kσ(x)

(25)

式中:k為平衡參數(shù)。

平衡參數(shù)用于平衡寬度搜索和深度搜索的關(guān)系,一般由人為設(shè)定。

3 試驗(yàn)

3.1 優(yōu)化模型

金屬銑削加工中,起主要影響的工藝參數(shù)是主軸轉(zhuǎn)速、進(jìn)給速度、銑削深度、銑削寬度。將這四個(gè)工藝參數(shù)設(shè)為優(yōu)化變量。

不同加工場(chǎng)景對(duì)應(yīng)不同的加工目標(biāo),如加工時(shí)間、加工能耗、加工質(zhì)量等。在金屬銑削加工領(lǐng)域中,加工目標(biāo)可以分為約束類(lèi)加工目標(biāo)和極值類(lèi)加工目標(biāo)[19]。對(duì)于約束類(lèi)加工目標(biāo),只需將目標(biāo)控制在某個(gè)范圍內(nèi)。對(duì)于極值類(lèi)加工目標(biāo),需要使目標(biāo)達(dá)到極值。將加工質(zhì)量作為極值類(lèi)加工目標(biāo),具體細(xì)化為極小化尺寸偏差與形位偏差。由此,選擇孔徑偏差、臺(tái)階寬度偏差、臺(tái)階兩側(cè)平行度、臺(tái)階高度偏差、孔深度偏差作為優(yōu)化目標(biāo)指標(biāo)。

優(yōu)化參數(shù)的調(diào)整受到多方面約束條件限制,約束條件可以分為外在約束條件和內(nèi)在約束條件。外在約束條件指外部訂單或人員的約束,內(nèi)在約束條件指機(jī)床、刀具等設(shè)備自身的限制,以及加工工藝設(shè)計(jì)的約束。本研究只考慮內(nèi)在約束條件。

受機(jī)床性能、刀具壽命、銑削力等限制,主軸轉(zhuǎn)速與進(jìn)給速度只能在一定范圍內(nèi)調(diào)整。受機(jī)床控制精度的限制,主軸轉(zhuǎn)速與進(jìn)給速度的取值精度也有一定限制。受刀具性能、刀具壽命、工件材料、銑削力等多方面影響,銑削深度與銑削寬度同樣受到限制,并且受機(jī)床控制精度的限制,銑削深度與銑削寬度的取值精度也有一定限制。

3.2 試驗(yàn)條件

以銑削加工為試驗(yàn)場(chǎng)景,研究以銑削工藝參數(shù)為優(yōu)化變量的加工質(zhì)量?jī)?yōu)化方法。

試驗(yàn)的加工條件為濕式加工,加工設(shè)備為五軸加工中心,加工刀具為整體鎢鋼三刃立銑刀,測(cè)量設(shè)備為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī),樣件材料為6061鋁合金,試驗(yàn)樣件特征有平面、臺(tái)階、孔,毛坯尺寸為30 mm×30 mm×50 mm,如圖1所示。

▲圖1 試驗(yàn)樣件

3.3 田口法試驗(yàn)設(shè)計(jì)

田口法強(qiáng)調(diào)產(chǎn)品質(zhì)量的提高不是通過(guò)檢驗(yàn),而是通過(guò)設(shè)計(jì)。相比于依靠工程師經(jīng)驗(yàn)和傳統(tǒng)試驗(yàn)方法,田口法是一種高效率、低成本的質(zhì)量工程方法。

(1) 確定試驗(yàn)?zāi)康暮鸵?。通過(guò)田口法試驗(yàn)確定工藝參數(shù)與加工質(zhì)量的關(guān)系,優(yōu)化工藝參數(shù)。

(2) 確定待改善的優(yōu)化目標(biāo)。以尺寸偏差與形位偏差作為優(yōu)化目標(biāo),細(xì)化為具體的優(yōu)化指標(biāo),并以歸一化指標(biāo)作為總優(yōu)化目標(biāo)。

(3) 確定影響優(yōu)化目標(biāo)的因子。將以上述四個(gè)優(yōu)化變量作為影響優(yōu)化目標(biāo)的因子。

(4) 確定合適的各因子水平。綜合考慮約束條件和試驗(yàn)次數(shù)、成本的限制,試驗(yàn)中每個(gè)因子取四個(gè)水平,見(jiàn)表1。

表1 銑削加工試驗(yàn)因素水平

(5) 設(shè)計(jì)田口表。通過(guò)Minitab軟件,選取五因子四水平田口表L16(45)的前四列安排試驗(yàn),見(jiàn)表2。

表2 田口表

(6) 依據(jù)田口表實(shí)施試驗(yàn)。按照不同的因子組合組織加工、測(cè)量試驗(yàn)。

(7) 數(shù)據(jù)記錄與分析。記錄細(xì)化指標(biāo)值,計(jì)算歸一化指標(biāo)值,通過(guò)Minitab軟件進(jìn)行極差分析,得出優(yōu)化結(jié)果。

將田口法作為貝葉斯算法的對(duì)比試驗(yàn)。

3.4 貝葉斯算法試驗(yàn)設(shè)計(jì)

貝葉斯算法優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化變量與田口法相同。優(yōu)化空間時(shí),田口法各因子選取的水平為離散值,采樣間隔相對(duì)較大,容易出現(xiàn)優(yōu)值落在兩采樣值之間的情況,優(yōu)化效果相對(duì)較差。若要縮小采樣間隔,則會(huì)增加水平數(shù),總體試驗(yàn)次數(shù)與調(diào)優(yōu)成本呈指數(shù)上升,也會(huì)增加冗余試驗(yàn)次數(shù)。貝葉斯算法在理論上不限制采樣間隔大小,可以設(shè)置更密的采樣點(diǎn)。另一方面,由于更快的收斂速度及更佳的全局搜索性能,貝葉斯算法可以保證在更大搜索范圍內(nèi)的調(diào)優(yōu)效果和收斂速度,能夠避免不必要的尋優(yōu)試驗(yàn),有效降低工藝參數(shù)配置尋優(yōu)試驗(yàn)的成本?？紤]約束條件限制后,設(shè)定貝葉斯算法優(yōu)化空間,見(jiàn)表3。

表3 貝葉斯算法優(yōu)化空間

在其它調(diào)優(yōu)場(chǎng)景中,可以根據(jù)實(shí)際情況增加優(yōu)化空間樣本點(diǎn),以提高調(diào)優(yōu)成本為代價(jià)提高調(diào)優(yōu)精度。

試驗(yàn)采用適用于連續(xù)參數(shù)搜索的高斯過(guò)程回歸作為概率代理模型,選擇Matern內(nèi)核作為核函數(shù),采用置信下界策略作為采集函數(shù),并且將平衡參數(shù)設(shè)置為1.96。

貝葉斯算法流程如圖2所示。鑒于貝葉斯算法冷啟動(dòng)的特點(diǎn),需要進(jìn)行初始化,即隨機(jī)產(chǎn)生初始參數(shù)組合參與試驗(yàn),并按表3設(shè)置優(yōu)化空間。初始化完成后,通過(guò)加工、測(cè)量獲得歸一化目標(biāo)函數(shù)值。之后通過(guò)終止條件判斷是否繼續(xù)優(yōu)化,若繼續(xù)優(yōu)化,則更新參數(shù)與歸一化目標(biāo)函數(shù)值的數(shù)據(jù)集合,并根據(jù)新加入的觀測(cè)數(shù)據(jù)更新高斯分布。最后通過(guò)最小化置信下界獲取下一輪優(yōu)化的推薦參數(shù)組合,為下一次試驗(yàn)做好準(zhǔn)備。若觸發(fā)終止條件,則輸出優(yōu)化結(jié)果。

▲圖2 貝葉斯算法流程

3.5 歸一化

試驗(yàn)涉及的細(xì)化指標(biāo)量綱一致,且均為負(fù)向指標(biāo),因此不需要數(shù)據(jù)同向化與標(biāo)準(zhǔn)化處理,僅需要進(jìn)行加權(quán)歸一。多目標(biāo)綜合加權(quán)方法有層次分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、主成分分析法等。利用層次分析法將關(guān)于多個(gè)尺寸公差和形位公差目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為各目標(biāo)加權(quán)歸一,得到總目標(biāo)的單目標(biāo)優(yōu)化。

層次分析法通過(guò)構(gòu)造子目標(biāo)的重要性判斷矩陣,用數(shù)學(xué)方法表示決策者的想法,可以處理難以定量分析的復(fù)雜問(wèn)題。另一方面,引用層次分析理論可以在優(yōu)化過(guò)程中加入主觀意愿,使優(yōu)化得到的工藝參數(shù)更符合實(shí)際生產(chǎn)的要求。

(1) 建立層次分析模型,如圖3所示。

▲圖3 層次分析模型

(2) 構(gòu)造重要性判斷矩陣。通過(guò)專(zhuān)家打分和經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造重要性判斷矩陣,各子目標(biāo)對(duì)總目標(biāo)的相對(duì)重要性比較見(jiàn)表4。

表4 各子目標(biāo)相對(duì)重要性

(3) 計(jì)算判斷矩陣最大特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。最大特征值λmax為5.095 1,所對(duì)應(yīng)的特征向量為[-0.734 0 -0.438 8 -0.259 2 -0.438 8 -0.094 5]T。

(4) 一致性檢驗(yàn)。層次分析法通過(guò)一致性指標(biāo)檢驗(yàn)各子目標(biāo)相對(duì)重要性設(shè)置的合理性。一致性指標(biāo)CI為:

(26)

一致性比率CR為:

CR=CI/RI

(27)

式中:RI為判斷矩陣的隨機(jī)一致性指標(biāo),對(duì)于5階判斷矩陣,取1.12。

通過(guò)計(jì)算得到一致性指標(biāo)為0.023 8,一致性比率為0.021 25。一致性比率小于0.1,認(rèn)為判斷矩陣與專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)一致,通過(guò)一致性檢驗(yàn)。

(5) 確定各子指標(biāo)權(quán)重。將特征向量歸一化,即可得到權(quán)向量為[0.373 4 0.223 3 0.131 9 0.223 3 0.047 1]T。

(6) 歸一化指標(biāo)。得到歸一化指標(biāo)為:

F=0.373 4A+0.223 3B+0.131 9C

+0.223 3D+0.048 1E

(28)

加工質(zhì)量歸一化指標(biāo)值越小,表示加工質(zhì)量越高。

3.6 結(jié)果分析

通過(guò)對(duì)田口法優(yōu)化結(jié)果與貝葉斯算法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證貝葉斯算法的優(yōu)越性。田口法極差分析結(jié)果見(jiàn)表5。由極差分析結(jié)果可知各因子對(duì)歸一化指標(biāo)的影響程度從大到小依次為主軸轉(zhuǎn)速、銑削寬度、銑削深度、進(jìn)給速度。對(duì)田口法得到的優(yōu)化參數(shù)組合進(jìn)行補(bǔ)充驗(yàn)證,并作為貝葉斯算法結(jié)果的對(duì)比組。

表5 田口法極差分析結(jié)果

貝葉斯算法試驗(yàn)為交互式試驗(yàn),按照貝葉斯算法的推薦參數(shù)組織每一輪試驗(yàn),上一輪試驗(yàn)的輸出是下一輪試驗(yàn)的輸入,試驗(yàn)順序嚴(yán)格且各輪推薦相互關(guān)聯(lián)。貝葉斯算法試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表6。其中,前兩組試驗(yàn)結(jié)果為初始化試驗(yàn)中的兩組初始值,并以此為先驗(yàn)知識(shí),經(jīng)貝葉斯算法處理,得出迭代次數(shù)為1的試驗(yàn)因素組合。

表6 貝葉斯算法試驗(yàn)結(jié)果

貝葉斯算法試驗(yàn)結(jié)果與田口法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表7。從試驗(yàn)結(jié)果看,貝葉斯算法優(yōu)化成本降低58.8%,優(yōu)化效果提高9.3%,在提升優(yōu)化效果的同時(shí)極大節(jié)省了試驗(yàn)成本,驗(yàn)證貝葉斯算法在銑削工藝參數(shù)配置優(yōu)化中的有效性。貝葉斯算法具有對(duì)復(fù)雜和高試驗(yàn)成本場(chǎng)景的普適性,可以將貝葉斯算法推廣應(yīng)用至其它金屬銑削加工的優(yōu)化場(chǎng)景中。

表7 貝葉斯算法與田口法效果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者分析了貝葉斯算法概率代理模型與采集函數(shù)的基本原理,研究了貝葉斯算法在金屬銑削加工工藝參數(shù)配置優(yōu)化中的可行性,提出了基于貝葉斯算法的銑削工藝參數(shù)配置優(yōu)化方法。

以尺寸偏差與形位偏差最小為優(yōu)化目標(biāo),以銑削工藝參數(shù)為優(yōu)化變量,建立銑削加工工藝參數(shù)優(yōu)化模型,基于層次分析理論研究子指標(biāo)的綜合加權(quán)方法,設(shè)計(jì)田口法與貝葉斯算法,完成銑削工藝參數(shù)優(yōu)化試驗(yàn)。通過(guò)對(duì)比,表明貝葉斯算法在優(yōu)化速度與優(yōu)化效果兩個(gè)維度的表現(xiàn)均優(yōu)于田口法。應(yīng)用貝葉斯算法對(duì)工藝參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,可以在大幅降低優(yōu)化成本的同時(shí)提高加工質(zhì)量。在實(shí)際生產(chǎn)中,可以在金屬銑削加工工藝參數(shù)配置優(yōu)化場(chǎng)景中推廣應(yīng)用貝葉斯算法?？紤]能量消耗、加工效率、零件表面質(zhì)量的工藝參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化是后續(xù)研究重點(diǎn)。