鄭一帆，于先文，董彥鋒

（東南大學(xué)交通學(xué)院，江蘇 南京 211189）

引言

隧道、道路、橋梁等交通構(gòu)建物在工程完工后，由于土的固結(jié)效應(yīng)以及其他因素變化所造成的沉降，被稱為工后沉降［1］。精確預(yù)測工后沉降能夠?yàn)楣こ痰陌踩栽u估與維護(hù)方案設(shè)計(jì)提供重要的參考。對于隧道、道路、橋梁等需要長期維護(hù)的工程項(xiàng)目，沉降預(yù)測的重要性更加突出。

目前，工后沉降主要通過預(yù)測模型來預(yù)測，常見的模型包括雙曲線法［2］、指數(shù)曲線法［3］、星野法［4］、Asaoka法［5］、泊松曲線法［6］等。模型的參數(shù)可以通過間接平差或序貫平差的方法解算。相比于前者，序貫解算方法具有高效、節(jié)約存儲的特點(diǎn)［7-8］。

不論何種沉降預(yù)測模型，其隨機(jī)模型一般都基于觀測值的精度確定。因此，現(xiàn)有工程普遍采用等權(quán)的隨機(jī)模型。考慮到新數(shù)據(jù)比舊數(shù)據(jù)更能體現(xiàn)預(yù)測點(diǎn)的沉降變化趨勢，等權(quán)的隨機(jī)模型用于預(yù)測工后沉降并不合理。因此，有必要探討新的隨機(jī)模型，強(qiáng)化沉降預(yù)測模型的合理性，以提高沉降預(yù)測模型的預(yù)測精度。

在沉降預(yù)測模型的隨機(jī)模型領(lǐng)域，已有一些研究及成果。殷春武［9］探討了隨機(jī)模型的一些條件，并利用了三角函數(shù)進(jìn)行了觀測數(shù)據(jù)的賦權(quán)，證明合理的隨機(jī)模型可以改善沉降預(yù)測模型的預(yù)測效果；曹文貴等［10-11］將新鮮度的概念引進(jìn)了沉降預(yù)測模型中，采用了一些新鮮度函數(shù)賦權(quán)實(shí)測觀測數(shù)據(jù)，同樣對預(yù)測效果有積極作用；李秋全［12］在曹的基礎(chǔ)上，將新鮮度與吻合度結(jié)合，創(chuàng)造了新的隨機(jī)模型應(yīng)用在隧道變形預(yù)測中，取得了良好的效果。但上述的隨機(jī)模型確定方法都一定程度上依賴經(jīng)驗(yàn)，具有一定的隨機(jī)性；同時，其要求明確沉降數(shù)據(jù)的總體數(shù)量用于定權(quán)，這與沉降預(yù)測模型的序貫解算方法不兼容。

針對上述問題，本文引入降權(quán)系數(shù)的概念，按時效性對實(shí)測沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行賦權(quán)，確定一種適用于沉降預(yù)測模型序貫解算方法的隨機(jī)模型，以強(qiáng)化沉降預(yù)測模型的合理性，改善模型的預(yù)測效果，并通過工程算例驗(yàn)證方法的有效性。

1 沉降預(yù)測模型序貫解算方法

沉降預(yù)測模型需要伴隨著工程進(jìn)展而實(shí)時更新，以實(shí)時預(yù)報(bào)沉降變化情況。序貫平差理論可以高效地解算沉降預(yù)測模型，下面列出沉降預(yù)測模型完整的序貫解算方法。

大多數(shù)沉降預(yù)測模型可以表達(dá)為統(tǒng)一的二維線性形式，基于前m（m≥2）期數(shù)據(jù)，利用最小二乘法可擬合沉降預(yù)測模型為：

式中t為觀測時間；y為包含t時刻沉降信息的因變量，為便于表達(dá)，下文直接用沉降觀測量指代；為模型系數(shù)估值，等權(quán)條件下，令所有的沉降觀測值的權(quán)都為1，其計(jì)算公式為：

估值的權(quán)陣為：

自m+1期起，即可利用序貫理論更新模型。下面以第n（n＞m）期數(shù)據(jù)為例，導(dǎo)出序貫沉降預(yù)測模型計(jì)算公式。

假設(shè)基于前n-1期數(shù)據(jù)，已得到沉降預(yù)測模型的系數(shù)估值a^(n-1)及其權(quán)陣W(n-1)，將其虛擬為觀測值，并建立其誤差陣v′(n)的方程為：

第n期新增沉降觀測數(shù)據(jù)為yn，相應(yīng)權(quán)為1。令Fn=[ 1f(tn)]，可建立觀測誤差方程為：

將式（4）與式（5）聯(lián)立，得誤差方程式為：

式中I為二階單位陣。

根據(jù)最小二乘法，可得當(dāng)前預(yù)測模型系數(shù)的最優(yōu)估值為：

相應(yīng)的權(quán)陣為：

于是，更新后的沉降預(yù)測模型：

沉降預(yù)測模型序貫解算方法可以與沉降觀測過程實(shí)時同步，將歷史觀測數(shù)據(jù)對模型的影響全部映射到預(yù)測模型的系數(shù)估值及其權(quán)陣中，節(jié)約了計(jì)算量，也可以避免歷史數(shù)據(jù)存儲，減小出錯的概率。

2 顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預(yù)測模型建模

2.1 建模及解算方法

目前的沉降預(yù)測模型普遍采用等精度的觀測數(shù)據(jù)，并依據(jù)該精度賦權(quán)并擬合模型。換言之，沉降預(yù)測模型對所有數(shù)據(jù)的依賴性等同。而實(shí)際上，實(shí)測沉降數(shù)據(jù)距離預(yù)測時間點(diǎn)的時間間隔不同，其與預(yù)測時間點(diǎn)沉降的關(guān)聯(lián)程度必定不同。時間上更接近預(yù)測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，其沉降規(guī)律與預(yù)測時間點(diǎn)的沉降規(guī)律會更接近。所以，應(yīng)當(dāng)建立新的隨機(jī)模型來反映數(shù)據(jù)的時效性，以獲得更好的預(yù)測效果。

根據(jù)已有的沉降預(yù)測模型的數(shù)據(jù)時效性研究，可以總結(jié)出隨機(jī)模型的建立原則：

（1）實(shí)測沉降數(shù)據(jù)的權(quán)是非負(fù)數(shù)。

（2）實(shí)測沉降數(shù)據(jù)的權(quán)應(yīng)當(dāng)呈現(xiàn)一個遞增的趨勢。

（3）沉降數(shù)據(jù)權(quán)的遞增應(yīng)當(dāng)是一個比較平緩的過程。雖然離預(yù)測時刻點(diǎn)越近的沉降數(shù)據(jù)對預(yù)測值的影響越大，但相鄰實(shí)測數(shù)據(jù)的權(quán)重不應(yīng)差距過大，否則可能降低某些重要參考因素的影響。

假設(shè)，已基于前m期觀測數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到預(yù)測模型系數(shù)估值a^(m)及其權(quán)陣W(m)。自m+1期起，參照上述原則，對序貫解算方法的隨機(jī)模型進(jìn)行改進(jìn)。下面以第n（n＞m）期數(shù)據(jù)為例，導(dǎo)出顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預(yù)測模型序貫解算方法。

假設(shè)基于前n-1期數(shù)據(jù)，已得到沉降預(yù)測模型的系數(shù)估值及其權(quán)陣W(n-1)，將其虛擬為觀測值，并建立如式（4）所示的誤差方程。同步引入降權(quán)系數(shù)k（0＜k≤1）對虛擬觀測值進(jìn)行降權(quán)，得到其新的權(quán)陣為：

第n期新增沉降觀測數(shù)據(jù)為yn，相應(yīng)權(quán)為1，可建立如式（5）所示的觀測誤差方程。聯(lián)合上述兩組誤差方程，得到形如式（6）所示的誤差方程組。進(jìn)而可得預(yù)測模型系數(shù)的最優(yōu)估值為：

相應(yīng)的權(quán)陣變?yōu)椋?/p>

上述內(nèi)容表述了顧及數(shù)據(jù)時效進(jìn)行模型序貫解算的完整方法。方法中降權(quán)系數(shù)k的取值為隨機(jī)模型保留了一定程度的靈活性，通過調(diào)整k的值，可以調(diào)節(jié)隨機(jī)模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。k的取值越接近1，算法顧及數(shù)據(jù)時效的程度越低；當(dāng)k=1時，算法蛻變?yōu)槌Ｒ?guī)的等權(quán)模型。相反，k的取值越接近0，算法顧及數(shù)據(jù)時效的程度越高。

2.2 數(shù)據(jù)時效性分析

隨著沉降觀測數(shù)據(jù)的增加，同一歷史觀測數(shù)據(jù)，其離預(yù)測點(diǎn)的時間間隔也在增加，其對預(yù)測模型所起的作用也在減小。為了分析歷史沉降數(shù)據(jù)的權(quán)在量級上具體的下降規(guī)律，下面對歷史觀測值的權(quán)進(jìn)行推導(dǎo)。

根據(jù)式（11），基于n期實(shí)測沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行序貫解算得到的系數(shù)估值a^(n)可寫為：

將式（14）和式（15）代入式（13）中，可以得到：

式（16）分離出了包含沉降觀測量yn-1的項(xiàng)，由此可以看出第n-1期數(shù)據(jù)的權(quán)為k。參考式（14）與式（15），可得與W′(n-2)的表達(dá)式為：

將式（17）和式（18）代入式（16）中，可以分離出包含沉降觀測量yn-2的項(xiàng)如下所示：

由上式可得第n-2期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為k2。

重復(fù)上述過程，可分離出包含第d（m＜d＜n）期沉降觀測量yd的項(xiàng)如下：

可知第d期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為kn-d。

當(dāng)d≤m時，沉降觀測量yd被包含在觀測向量Y(m)中，利用式（2）與式（3）結(jié)果，最終可從a^(n)分離出包含Y(m)的項(xiàng)如下：

根據(jù)式（21）可知，此時第d期沉降觀測數(shù)據(jù)的權(quán)為kn-m。

總結(jié)上述內(nèi)容，第d（d≤n，n為沉降數(shù)據(jù)總量）期歷史觀測數(shù)據(jù)的權(quán)重為：

由于0＜k≤1，根據(jù)式（22）可以看出，本文方法中同一歷史觀測數(shù)據(jù)的權(quán)是根據(jù)工程進(jìn)展而迅速縮減的。這不僅與序貫解算方法相適應(yīng)，也與工程的實(shí)際進(jìn)程相適應(yīng)。

3 算例驗(yàn)證

3.1 工程背景

本文以隧道沉降模型為例，對顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預(yù)測模型序貫解算方法進(jìn)行算例驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)選取南京市某地鐵隧道內(nèi)370，374，383，535號等四個沉降監(jiān)測點(diǎn)的實(shí)測沉降數(shù)據(jù)。該組數(shù)據(jù)于2013年通過精密水準(zhǔn)測量得到，每個沉降監(jiān)測點(diǎn)有82期數(shù)據(jù)。

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦x用沉降預(yù)測模型中最常見的雙曲線模型，其模型表達(dá)式為：

式中S0，t0分別為開始施工時的沉降量與時間點(diǎn)；α，β為根據(jù)實(shí)測值求出的系數(shù)；t，St分別為任意觀測時間和對應(yīng)的沉降量。

根據(jù)模型的線性方程可以進(jìn)行序貫解算，獲得參數(shù)估值后可進(jìn)行沉降預(yù)測工作。

3.2 計(jì)算結(jié)果

為探求本算例中降權(quán)系數(shù)k取值的影響，對k取不同值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，同時采用等權(quán)的隨機(jī)模型進(jìn)行預(yù)測作為對照。首先，選定降權(quán)系數(shù)k；其次，使用前3期數(shù)據(jù)基于最小二乘擬合沉降預(yù)測模型；然后，利用預(yù)測模型預(yù)測第4期的沉降值；接著，添加第4期的實(shí)測沉降數(shù)據(jù)基于序貫解算方法更新預(yù)測模型；進(jìn)而，預(yù)測出第5期的沉降值。反復(fù)循環(huán)直到數(shù)據(jù)全部參與解算，最終得到沉降預(yù)測序列。選定不同的降權(quán)系數(shù)k，可得到不同沉降預(yù)測序列。

為了直觀地分析降權(quán)系數(shù)的作用，可作沉降預(yù)測圖進(jìn)行輔助分析。以主體工程時間為橫軸，沉降量為縱軸，繪制實(shí)測的沉降數(shù)據(jù)曲線與不同降權(quán)系數(shù)k得到的沉降預(yù)測序列制成的曲線，如圖1～4所示。

從圖中可以很明顯地看出，顧及數(shù)據(jù)時效的隨機(jī)模型可以大幅優(yōu)化預(yù)測精度。對照等權(quán)情況下的預(yù)測曲線，當(dāng)k值取0.9時，相應(yīng)的沉降預(yù)測曲線急遽逼近實(shí)測沉降值；當(dāng)k值取0.8，0.7與0.6時，沉降預(yù)測曲線與實(shí)測沉降曲線更加貼近，出現(xiàn)了一些重疊的部分。

為了更具體地觀察k值與預(yù)測效果之間的關(guān)系，采用預(yù)測中誤差作為具體的數(shù)據(jù)指標(biāo)來描述預(yù)測精度。預(yù)測中誤差定義如下：將實(shí)測沉降數(shù)據(jù)作為真值，利用預(yù)測得到的預(yù)測沉降序列與其作差，得到預(yù)測誤差的序列?；谠撔蛄锌伤愕萌款A(yù)測值的均方根誤差作為預(yù)測中誤差。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，整理不同k值與相應(yīng)的預(yù)測精度如下表。

對比表1中不同k值的預(yù)測結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，k調(diào)整到0.9時，預(yù)測中誤差較等權(quán)條件下縮小了50%左右；繼續(xù)減小k的值，預(yù)測中誤差的下降幅度逐漸變小；當(dāng)k取0.6時，預(yù)測精度較等權(quán)情況能夠提升4～8倍。

表1 不同k值的模型預(yù)測精度

由上述結(jié)果可知，在該工程中，等權(quán)條件下的沉降預(yù)測模型預(yù)測效果并不理想。引入降權(quán)系數(shù)后，模型預(yù)測中誤差顯著減小，模型性能最高可提升數(shù)倍。這說明本方法可以有效提升沉降預(yù)測模型的預(yù)測效果，提高沉降預(yù)測模型在實(shí)際工程應(yīng)用中的可靠性。

4 結(jié)束語

本文提出了一種顧及數(shù)據(jù)時效的沉降預(yù)測模型序貫解算方法。該方法充分考慮了建模過程中歷史沉降數(shù)據(jù)的時效性，引入了降權(quán)系數(shù)來優(yōu)化定權(quán)方法，得到了相應(yīng)的隨機(jī)模型，并將其用于序貫解算方法中。同時，分析了隨工程進(jìn)展的歷史沉降數(shù)據(jù)權(quán)的變化情況。最后，通過實(shí)際的工程算例對本文新方法進(jìn)行了有效性驗(yàn)證。算例結(jié)果表明，通過引入降權(quán)系數(shù)k，沉降預(yù)測模型的性能得到了大幅提升，當(dāng)k取0.6時，模型預(yù)測精度較等權(quán)情況能提高4～8倍，這對實(shí)際工程中的沉降處理工作具有重要意義。由于本文篇幅有限，對于降權(quán)系數(shù)k最佳取值的研究不夠深入，后續(xù)還需進(jìn)一步研究。