徐 聰，劉宏友，湯勁松，李家寶，趙尚超，許欽華

(1.中車青島四方車輛研究所有限公司，山東 青島 266031； 2.中車齊齊哈爾車輛有限公司，黑龍江 齊齊哈爾 161002)

隨著我國對(duì)貨運(yùn)能力需求的增長，鐵路貨運(yùn)列車得到快速發(fā)展，其運(yùn)載能力也大幅提升。其中，以敞車為主力軍的貨運(yùn)車輛從建國初期的30 t級(jí)到20世紀(jì)五六十年代的50 t、60 t級(jí)再到如今研發(fā)生產(chǎn)的70 t和80 t級(jí)敞車，其總數(shù)量約占全國貨運(yùn)車輛的60%。C70E型通用敞車作為在中國標(biāo)準(zhǔn)軌距鐵路上應(yīng)用的通用型鐵路貨車，其主要用于裝運(yùn)煤炭、礦石、建材、機(jī)械設(shè)備、鋼材及木材等貨物。貨物作為影響敞車車體動(dòng)力學(xué)行為的主要因素，尤其是運(yùn)輸散粒貨物類。因其性質(zhì)介于固體和液體之間對(duì)于車體的動(dòng)力學(xué)特性影響很大。散粒貨物不具備固體的連續(xù)性和液體有規(guī)律的流動(dòng)性，有著其獨(dú)特、復(fù)雜的非線性特性。近年來許多學(xué)者對(duì)散粒貨物的模擬也嘗試了不同的方法，例如李立東[1]等將散體簡化為無剛度的質(zhì)量點(diǎn)附著于底架地板，于躍斌[2]、王婧[3]等采用Drucker-Prage材料模型建立三維實(shí)體模型。但各位學(xué)者均未能進(jìn)行統(tǒng)一的對(duì)比論證，得出比較適宜的散粒貨物模擬方法。本文采用基于C70E型通用敞車重載散粒貨物煤炭為研究對(duì)象，旨在通過相關(guān)計(jì)算對(duì)標(biāo)工作，探索散粒貨物煤炭在模態(tài)計(jì)算中的模擬方法，同時(shí)，研究預(yù)應(yīng)力對(duì)模態(tài)頻率的影響，更好地應(yīng)用于實(shí)際工程分析中。

1 基本理論

1.1 有限元模態(tài)分析

描述振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程可表示為：

(1)

X(t)——位移向量；

M——質(zhì)量矩陣；

C——阻尼矩陣；

K——?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

F(t)——載荷向量。

通常采用有限元求解系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型，主要是求解結(jié)構(gòu)無阻尼和自由狀態(tài)下系統(tǒng)的動(dòng)力特性方程[4]：

(2)

上式的解可以假設(shè)為以下形式：

X=φsinω(t-t0)

(3)

式中：φ——n階向量；

ω——向量φ的振動(dòng)頻率；

t——時(shí)間變量；

t0——由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。

將式(3)帶入式(2)可得廣義特征值求解方程：

Kφ-ω2Mφ=0

(4)

求解式(4)可確定φ和ω，得到n個(gè)特征解：

其中，ω1，ω2，…，ωn代表系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率，且0≤ω1<ω2<…<ωn。特征向量φ1，φ2，…，φn代表系統(tǒng)的n個(gè)固有振型。

則系統(tǒng)的固有頻率：

(5)

1.2 試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析

對(duì)于試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，對(duì)式(1)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得到復(fù)模態(tài)矩陣代數(shù)方程[5]：

[Ms2+Cs+K]X(s)=F(s)

(6)

獲取廣義導(dǎo)納矩陣(即傳遞函數(shù)矩陣)：

H(s)=[Ms2+Cs+K]-1

(7)

令s=jω，即可得到系統(tǒng)在頻域中的響應(yīng)向量和激勵(lì)向量的關(guān)系式：

X(ω)=H(ω)F(ω)

(8)

依據(jù)各階模態(tài)之間的加權(quán)正交性，進(jìn)一步得出j點(diǎn)激振(其余點(diǎn)激振為零)、i點(diǎn)響應(yīng)時(shí)的傳遞函數(shù)：

(9)

其中，

(10)

(11)

式中：mr——第r階模態(tài)質(zhì)量(又稱為廣義質(zhì)量)；

kr——模態(tài)剛度(又稱為廣義剛度)；

ωr——第r階模態(tài)頻率；

ξr——模態(tài)阻尼比；

φr——模態(tài)振型系數(shù)。

應(yīng)用式(9)可以識(shí)別出車體的模態(tài)參數(shù)。

2 C70E型通用敞車空車模態(tài)計(jì)算

為了保證C70E型通用敞車重載模態(tài)計(jì)算時(shí)模型的準(zhǔn)確性，需要先進(jìn)行空車模態(tài)計(jì)算并與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)標(biāo)，驗(yàn)證有限元建模的準(zhǔn)確性。

2.1 有限元模型建立

根據(jù)C70E型通用敞車設(shè)計(jì)三維模型，采用大型通用有限元建模軟件HyperMesh建立了整備車輛有限元模型，單元總數(shù)約114萬。C70E型通用敞車整備車輛的有限元模型如圖1所示?；静牧蠈傩砸姳?。

圖1 C70E型通用敞車整備車輛有限元模型

表1 C70E型通用敞車基本材料參數(shù)

敞車建模時(shí)對(duì)于車體中存在的大量板材和型材結(jié)構(gòu)件均采用中面殼單元進(jìn)行建模；對(duì)于轉(zhuǎn)向架實(shí)體結(jié)構(gòu)則采用實(shí)體單元進(jìn)行模擬；對(duì)于車體中存在的弧焊連接方式均采用共節(jié)點(diǎn)或殼單元連接的方式建模；對(duì)于心盤連接則采用剛性單元耦合模擬并釋放垂向軸轉(zhuǎn)動(dòng)自由度；對(duì)于其他鉸接連接(例如車門連接)均采用剛性單元耦合模擬同時(shí)考慮相應(yīng)的自由度釋放情況；對(duì)于整備車輛中涉及的橡膠簧和鋼簧均采用彈簧單元進(jìn)行建模并依據(jù)實(shí)際剛度設(shè)置，相關(guān)彈簧剛度如表2所示。

表2 彈簧剛度統(tǒng)計(jì)表 N·mm-1

2.2 車體垂向靜撓度對(duì)標(biāo)

在進(jìn)行模態(tài)計(jì)算之前，根據(jù)車體相關(guān)靜撓度試驗(yàn)[6]，對(duì)建立的車體有限元模型進(jìn)行了初步靜撓度試驗(yàn)對(duì)標(biāo)。垂向靜載荷包括車體自重和載重(考慮雨雪增載的影響，取標(biāo)記載重的1.15倍為載重)，C70E型通用敞車垂向靜載荷為94.9 t。

垂向靜載荷工況下，中梁中央處相對(duì)于心盤處和下側(cè)梁中央處相對(duì)枕梁端部的計(jì)算與試驗(yàn)靜撓度值。垂向靜撓度計(jì)算與試驗(yàn)一致性較好，車體有限元模型靜剛度與實(shí)車剛度相當(dāng)，因此建立的車體模型準(zhǔn)確可靠。垂向靜撓度計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比如表3所示，圖2為計(jì)算靜撓度云圖。由表3可知：垂向靜撓度計(jì)算與試驗(yàn)一致性較好，車體有限元模型靜剛度與實(shí)車剛度相當(dāng)，因此建立的車體模型準(zhǔn)確可靠。

表3 垂向靜撓度計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比 mm

圖2 垂向靜撓度計(jì)算云圖

2.3 空車模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)標(biāo)

空車模態(tài)計(jì)算(含轉(zhuǎn)向架)約束車輛1位端輪對(duì)全部自由度，2位端輪對(duì)除行進(jìn)方向的所有自由度。空車模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)[5]對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表4。根據(jù)結(jié)果顯示空車模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)的各階頻率絕對(duì)誤差均在5%以內(nèi)，各階振型及頻率對(duì)標(biāo)一致性較好，建立的車體模型準(zhǔn)確可靠。

表4 空車模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果

3 C70E型通用敞車重車模態(tài)計(jì)算

關(guān)于C70E型通用敞車重車模態(tài)計(jì)算主要以散粒貨物煤炭為研究對(duì)象，探索散粒貨物煤炭相關(guān)模擬方法的適用性。散粒貨物煤炭的模擬方法主要有質(zhì)量點(diǎn)法、等效剛度模型法和Drucker-Prage材料模型法。

3.1 質(zhì)量點(diǎn)法

質(zhì)量點(diǎn)法是將物體通過無剛度的質(zhì)量點(diǎn)進(jìn)行簡化模擬的一種方法，通常將質(zhì)量點(diǎn)置于物體質(zhì)心位置。對(duì)于C70E型通用敞車裝載散粒貨物煤炭而言，無法將煤炭質(zhì)量集于一點(diǎn)，因此，通過均布質(zhì)量點(diǎn)的方式附著于車體底架地板上。質(zhì)量點(diǎn)法有限元模型見圖3所示，重車質(zhì)量點(diǎn)法模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)[5]對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表5。

表5 重車質(zhì)量點(diǎn)法模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖3 質(zhì)量點(diǎn)法有限元模型

質(zhì)量點(diǎn)法計(jì)算的車體1階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率誤差較大，同時(shí)由于未考慮散粒貨物對(duì)側(cè)墻的影響導(dǎo)致1階橫向彎曲頻率略高，車體1階垂向彎曲計(jì)算精度較好。說明質(zhì)量點(diǎn)法均布地板上無法考慮對(duì)車體扭轉(zhuǎn)和橫向彎曲模態(tài)的影響。

3.2 等效剛度模型法

等效剛度模型法是將散粒貨物假設(shè)為彈性體并通過建立彈性體模型來等效替換原復(fù)雜的結(jié)構(gòu)模型，其等效剛度一般通過試驗(yàn)對(duì)標(biāo)獲取。本節(jié)通過調(diào)整彈性體的彈性模量在5～20 MPa之間變化的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)標(biāo)進(jìn)而擬合出煤炭模態(tài)計(jì)算時(shí)的等效剛度。等效剛度模型法有限元模型如圖4所示，表6為等效剛度模型法模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果，各階模態(tài)計(jì)算的絕對(duì)誤差擬合曲線如圖5所示。

圖4 等效剛度模型法有限元模型

表6 等效剛度模型法模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖5 絕對(duì)誤差擬合曲線

等效剛度模型法模態(tài)計(jì)算能夠擬合出1階橫向彎曲和1階垂向彎曲滿足計(jì)算精度的等效彈性模量(大約13 MPa)，但無法同時(shí)擬合出滿足1階扭轉(zhuǎn)頻率計(jì)算精度的等效彈性模量，等效剛度模型法不適用于重車全部模態(tài)振型計(jì)算。散粒貨物煤炭對(duì)重車扭轉(zhuǎn)剛度貢獻(xiàn)量較小。

3.3 Drucker-Prage材料模型法

Drucker-Prage材料模型法是基于Drucker-Prage屈服準(zhǔn)則的一種方法。采用Drucker-Prage模型能夠更加準(zhǔn)確地模擬散體的變形與受力狀態(tài)，收斂性較好,目前已經(jīng)在巖土力學(xué)相關(guān)分析中得到了廣泛運(yùn)用。本文采用Drucker-Prage材料模型進(jìn)行散粒貨物模態(tài)計(jì)算的同時(shí)，將同時(shí)驗(yàn)證2個(gè)問題：一是預(yù)應(yīng)力是否對(duì)敞車車體模態(tài)計(jì)算結(jié)果存在影響；二是散粒貨物建模時(shí)是否需要將散體劃分成若干塑性區(qū)。

關(guān)于預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析的基本過程是在進(jìn)行模態(tài)計(jì)算之前，首先進(jìn)行預(yù)應(yīng)力分析，然后模態(tài)計(jì)算時(shí)提取預(yù)應(yīng)力分析步結(jié)束時(shí)的剛度矩陣，此時(shí)預(yù)載荷將作用于模態(tài)計(jì)算。

關(guān)于散體塑性區(qū)劃分主要研究2種方式。一種是將散體劃分成3塊塑性區(qū)域，其主要考慮滑裂面理論和巴西果效應(yīng)，對(duì)不同塑性區(qū)賦予不同的塑性參數(shù)，滑裂面傾角選取常見的60 °角(圖6)，材料參數(shù)的選取見表7。第二種是將散體劃分成1塊塑性區(qū)域，賦予統(tǒng)一的塑性參數(shù)(圖7)，材料參數(shù)的選取見表8。

圖6 Drucker-Prage模型(3塊塑性區(qū)域)

圖7 Drucker-Prage模型(1塊塑性區(qū)域)

表7 材料參數(shù)(3塊塑性區(qū)域)

表8 煤炭材料參數(shù)[7](1塊塑性區(qū)域)

采用Drucker-Prage材料模型法模態(tài)計(jì)算主要進(jìn)行以下3種狀態(tài)計(jì)算，無預(yù)應(yīng)力貨物劃分成3塊塑性區(qū)、施加預(yù)應(yīng)力貨物劃分成3塊塑性區(qū)和無預(yù)應(yīng)力貨物劃分成1塊塑性區(qū)域，相關(guān)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比情況分別見表9、表10、表11。

表9 無預(yù)應(yīng)力貨物劃分成3塊塑性區(qū)模態(tài)計(jì)算結(jié)果

表10 施加預(yù)應(yīng)力貨物劃分成3塊塑性區(qū)模態(tài)計(jì)算結(jié)果

表11 無預(yù)應(yīng)力貨物劃分成1塊塑性區(qū)域模態(tài)計(jì)算結(jié)果

重車車體模態(tài)振型圖，本文僅列舉采用Drucker-Prage材料模型法(無預(yù)應(yīng)力貨物劃分成1塊塑性區(qū)域)計(jì)算的模態(tài)振型圖和重車試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型圖，見圖8所示。

圖8 重車模態(tài)計(jì)算與試驗(yàn)振型圖

由表9、表10和表11可知預(yù)應(yīng)力對(duì)敞車重車車體模態(tài)計(jì)算結(jié)果基本無影響,貨物劃分成3塊塑性區(qū)和1塊塑性區(qū)對(duì)重車車體模態(tài)計(jì)算結(jié)果無影響；采用Drucker-Prage材料模型法得到的重車各階模態(tài)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)一致性較好。

4 結(jié)論

通過對(duì)C70E型通用敞車有限元計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)標(biāo)研究，可以發(fā)現(xiàn)Drucker-Prage材料模型法與質(zhì)量點(diǎn)法和等效剛度模型法相比其更適用于散粒貨物煤炭的模擬，各階模態(tài)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)一致性較好，其計(jì)算精度能夠滿足工程應(yīng)用需求；重載產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力以及考慮滑裂面理論和巴西果效應(yīng)的貨物塑性分區(qū)法對(duì)重車車體模態(tài)計(jì)算結(jié)果無影響；基于敞車車輛的有限建模方法準(zhǔn)確、可行，能夠?yàn)槠渌丸F路貨車仿真分析提供較好的指導(dǎo)意義。