周 陽(yáng)，胡俊雄，陳曉昊，馬衛(wèi)華，羅世輝

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

自20世紀(jì)60年代開(kāi)始，德國(guó)、日本等國(guó)相繼開(kāi)展了磁懸浮列車(chē)的技術(shù)研究。當(dāng)前國(guó)際上已形成較成熟的常導(dǎo)電磁型和低溫超導(dǎo)磁懸浮交通技術(shù)體系。德國(guó)TR(Transrapid)是最具代表性的高速常導(dǎo)磁浮車(chē)輛系統(tǒng)，至今共研發(fā)了9代車(chē)型。目前，已有日本東部丘陵線(TKL線)、韓國(guó)仁川機(jī)場(chǎng)線、中國(guó)長(zhǎng)沙磁浮機(jī)場(chǎng)線及北京磁浮S1線實(shí)現(xiàn)商業(yè)運(yùn)營(yíng)[1-2]。

EMS型磁浮車(chē)輛采用電磁主動(dòng)懸浮，本質(zhì)上是不穩(wěn)定的，并且由于EMS型磁浮列車(chē)多采用高架線路運(yùn)行，軌道梁發(fā)生彈性變形時(shí)易誘發(fā)特殊的車(chē)-軌耦合振動(dòng)現(xiàn)象。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)車(chē)軌耦合振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。20世紀(jì)70至90年代，Wilson、Cai等[3-4]建立了只考慮沉浮運(yùn)動(dòng)的車(chē)輛模型，并將電磁力等效為彈簧阻尼器，研究分析了不同車(chē)速以及不同梁型的耦合響應(yīng)；Yau等[5]建立了由車(chē)載PI控制器控制的雙自由度磁浮車(chē)輛與柔性軌道耦合的動(dòng)力學(xué)模型，并提出了新的迭代計(jì)算方法，研究分析了車(chē)速、磁浮列車(chē)垂向加速度對(duì)耦合振動(dòng)的影響；Lee等[6]建立了5自由度的主動(dòng)控制磁浮車(chē)輛-柔性軌道的垂向動(dòng)力學(xué)模型，采用數(shù)值分析的方法分析了軌道不平順、車(chē)速、軌道梁跨距等參數(shù)對(duì)懸浮穩(wěn)定性的影響；高精隆等[7]分析了吸振器的質(zhì)量以及阻尼對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，建立了多種數(shù)學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)方程，研究了在有無(wú)動(dòng)靜質(zhì)量時(shí)系統(tǒng)的減振效果；殷永康等[8]按照目前的技術(shù)原理、剛度調(diào)整范圍以及對(duì)應(yīng)的速度等性能進(jìn)行了分析和比較，最后提出一種采用錐螺旋彈簧的變剛度的半主動(dòng)吸振結(jié)構(gòu)；李曉龍等[9]提出了通過(guò)設(shè)置非線性飽和環(huán)節(jié)、動(dòng)態(tài)調(diào)整飽和閾值來(lái)抑制車(chē)軌耦合振動(dòng)的新方法，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近時(shí)通過(guò)調(diào)整飽和閾值來(lái)改變控制輸出的幅值特性，逐步消除引起共振的能量，從而達(dá)到抑制振動(dòng)的目的；汪科任等[10]采用AHP(層次分析法)求取系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)中狀態(tài)加權(quán)矩陣的權(quán)重系數(shù)，建立了2種狀態(tài)反饋控制器，為懸浮控制器的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考。

本文主要采用動(dòng)力吸振器作為車(chē)-軌耦合振動(dòng)的制振措施。動(dòng)力吸振器(Dynamic Vibration Absorber)由輔助質(zhì)量、彈簧以及阻尼組成，屬于抑制共振的被動(dòng)式制振器，又稱(chēng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器TMD(Tuned Mass Damper)。其基本原理是在振動(dòng)對(duì)象以外建立一個(gè)附加的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，將制振對(duì)象的振動(dòng)響應(yīng)吸收并消耗在阻尼元素中。動(dòng)力吸振器在各個(gè)工程領(lǐng)域中運(yùn)用廣泛，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也做了很多研究。劉海平等[11]利用歐拉屈曲梁作為彈簧元件，采用復(fù)變量平均法，求解了不同類(lèi)型非線性吸振器模型的解析解。趙艷影和徐鑒[12]對(duì)兩自由度系統(tǒng)采用多尺度法研究了時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器對(duì)主系統(tǒng)的減振性能，得到了主系統(tǒng)的振幅-時(shí)滯響應(yīng)曲線。研究結(jié)果表明，對(duì)時(shí)滯非線性動(dòng)力吸振器，可以通過(guò)調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時(shí)滯控制主系統(tǒng)的振動(dòng)。李俊等[13]將簡(jiǎn)諧激振下無(wú)阻尼單自由度主系統(tǒng)的動(dòng)力消振原理推廣到多頻諧波激勵(lì)下無(wú)阻尼多自由度主系統(tǒng)的情況。

本文以某中低速空簧中置式磁浮列車(chē)為研究對(duì)象，建立了8自由度的車(chē)-軌耦合垂向動(dòng)力學(xué)模型，采用基于位移-速度-加速度反饋的PID主動(dòng)控制，基于擴(kuò)展定點(diǎn)理論與頻率傳遞函數(shù)分析單動(dòng)力吸振器和多重動(dòng)力吸振器方案的最佳參數(shù)，進(jìn)而對(duì)不同質(zhì)量比的動(dòng)力吸振器進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真對(duì)比。在研究單自由度系統(tǒng)和多模態(tài)系統(tǒng)動(dòng)力吸振器的最佳參數(shù)的基礎(chǔ)上，分析不同速度下2種減振措施的制振效果。

1 動(dòng)力學(xué)建模

1.1 磁浮車(chē)輛模型

某中低速磁浮列車(chē)每節(jié)車(chē)體通過(guò)6個(gè)空氣彈簧支撐在3個(gè)懸浮架上，空氣彈簧安裝于縱梁中間位置。懸浮電磁鐵由內(nèi)外極板以及線圈、鐵芯組成，2個(gè)線圈為一組，再通過(guò)間隙傳感器和懸浮控制器構(gòu)成一套閉環(huán)控制系統(tǒng)，一般稱(chēng)之為一個(gè)控制單元或控制點(diǎn)，建模過(guò)程將單個(gè)懸浮架的懸浮力集中在懸浮架前后端點(diǎn)處。本文主要分析磁浮車(chē)輛-懸浮控制-軌道梁-動(dòng)力吸振器系統(tǒng)的垂向動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，因此將車(chē)輛簡(jiǎn)化為由車(chē)體、懸浮架組成的剛體系統(tǒng)，僅考慮車(chē)體和懸浮架的垂向和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)自由度，建立的8自由度的磁浮車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 磁浮車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)模型

磁浮車(chē)輛垂向動(dòng)力學(xué)方程如式(1)～式(8)所示。

車(chē)體沉浮運(yùn)動(dòng)：

(1)

式中：M——車(chē)體質(zhì)量；

z0——車(chē)體垂向位移；

k——二系懸掛剛度；

c——二系懸掛阻尼；

z1，z2，z3——懸浮架1，2，3的垂向位移。

車(chē)體點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)：

(2)

式中：J——車(chē)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

θ0——車(chē)體角位移；

s0——車(chē)體半長(zhǎng)；

s1——懸浮架半長(zhǎng)。

懸浮架1沉浮運(yùn)動(dòng)：

(3)

懸浮架1點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)：

(4)

懸浮架2沉浮運(yùn)動(dòng)：

(5)

懸浮架2點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)：

(6)

懸浮架3沉浮運(yùn)動(dòng)：

(7)

懸浮架3點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)：

(8)

式中：J1，J2，J3——懸浮架1，2，3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

F11～F16——懸浮架對(duì)應(yīng)的懸浮力。

1.2 無(wú)動(dòng)力吸振器(TMD)時(shí)軌道梁模型

中低速磁浮交通軌道梁大多為簡(jiǎn)支梁，本文采用只考慮梁彎曲變形、不考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的歐拉-伯努利梁(Euler-Bernoulli beam)模擬軌道梁。動(dòng)力學(xué)模型建立在以下假設(shè)條件的基礎(chǔ)上：(1)忽略梁的結(jié)構(gòu)阻尼；(2)僅考慮軌道梁在垂向上的受力及動(dòng)力作用情況；(3)軌道梁為等截面梁，且材質(zhì)均勻；(4)軌道梁的運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)。軌道梁的振動(dòng)微分方程為：

(9)

式中：E——軌道梁彈性模量；

I——橫截面的截面慣性矩；

EI——軌道梁抗彎剛度；

ρ——軌道梁線密度；

Q——軌道梁的外作用力；

x——外力作用位置。

利用模態(tài)疊加法，將軌道梁的位移分解為i階模態(tài)下的廣義坐標(biāo)與形函數(shù)的乘積：

(10)

式中：φi(x)——軌道梁的i階振型函數(shù)；

qi(t)——軌道梁的i階模態(tài)坐標(biāo)。

將式(10)代入式(9)中得：

(11)

將式(11)兩邊同時(shí)乘以φn(x)，并沿軌道梁全長(zhǎng)進(jìn)行積分：

(12)

由于主振型的正交性，當(dāng)i≠n時(shí)，方程(12)左側(cè)兩項(xiàng)均為0，因此方程(12)可簡(jiǎn)化為：

(13)

由簡(jiǎn)支梁的邊界條件可求得振型函數(shù)：

(14)

由于本文主要研究單跨簡(jiǎn)支梁的1階振動(dòng)影響，代入式(14)整理可得簡(jiǎn)支梁受迫振動(dòng)的響應(yīng)結(jié)果：

(15)

式中：Pj(t)——第j個(gè)電磁力的大?。?/p>

xj是——第j個(gè)電磁力的位置；

L——軌道梁跨距；

1.3 有動(dòng)力吸振器(TMD)時(shí)軌道梁模型

圖2為帶TMD的軌道梁模型。

圖2 帶TMD的軌道梁模型

由式(14)可知，只考慮軌道梁的1階振動(dòng)時(shí)最大變形位置為跨中處，所以選擇在跨中設(shè)置TMD，則TMD的運(yùn)動(dòng)方程為：

(16)

將式(10)、式(14)代入可得：

(17)

式中：mt——TMD質(zhì)量；

kt——彈簧剛度；

ct——阻尼系數(shù)；

zt——垂向位移。

此時(shí)軌道梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

(18)

1.4 軌道不平順

國(guó)內(nèi)外對(duì)線路不平順研究較多，但并不統(tǒng)一，本文采用文獻(xiàn)[14]中擬合的磁浮高低線路不平順功率譜，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(19)

式中：Ω——空間頻率，m-1；

A，B，C，D，E，F(xiàn)，G——特征參數(shù)。

特征參數(shù)具體值如下：

A=0.003 782，B=-0.087 513，C=0.001 952，D=-0.213 341，E=0.017 071，F(xiàn)=-0.000 607，G=8.074 24×10-6。

采用三角級(jí)數(shù)法進(jìn)行軌道譜反演，得到的磁浮軌道垂向不平順時(shí)域圖如圖3所示。

圖3 磁浮軌道高低不平順時(shí)域圖

1.5 懸浮控制模型

本文采用基于位移-速度-加速度反饋的PID主動(dòng)控制，狀態(tài)觀測(cè)器如圖4所示。

ω0.觀測(cè)器的特征頻率；ξ0.觀測(cè)器的阻尼。圖4 狀態(tài)觀測(cè)器

控制器中位移和加速度直接反饋，速度則通過(guò)觀測(cè)器中加速度與位移信號(hào)構(gòu)造而成?？刂破麟娏鞣匠蹋?/p>

(20)

式中：KP、Kv、Ka——分別為PID中位移、速度、加速度反饋系數(shù)；

Δz——懸浮間隙位移變化值；

當(dāng)懸浮間隙在額定間隙處小范圍波動(dòng)時(shí)，懸浮力公式為：

(21)

式中：μ0——真空磁導(dǎo)率；

A——磁極面積；

N——線圈匝數(shù)；

i0，c0——額定懸浮電流和額定懸浮間隙。

將式(20)代入式(21)即可得實(shí)際作用懸浮力：

(22)

2 動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

2.1 單動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

由于動(dòng)力吸振器的阻尼系數(shù)要比軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)軌道梁動(dòng)力響應(yīng)的影響大，所以忽略軌道梁的結(jié)構(gòu)阻尼，針對(duì)軌道梁1階模態(tài)進(jìn)行制振，此時(shí)軌道梁系統(tǒng)近似為無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)。動(dòng)力吸振器與軌道梁等效系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 動(dòng)力吸振器與軌道梁等效系統(tǒng)φ1(ω)=arctan

將軌道梁上外力改寫(xiě)為Fejωt，求解方程可得軌道梁和動(dòng)力吸振器的振幅比與相位：

(23)

(24)

式中：μ——質(zhì)量比，μ=mt/ρL；

ξ——阻尼比，ξ=c/(2mω1)；

Xst——軌道梁靜變形，Xst=F/Kd；

λ——強(qiáng)迫振動(dòng)頻率比；

γ——固有角頻率比。

對(duì)式(23)兩邊取平方，并將ξ前系數(shù)化為1，則：

(25)

當(dāng)ξ=0時(shí)，振幅比為：

(26)

當(dāng)ξ=∞時(shí)，振幅比為：

(27)

當(dāng)式(26)等于式(27)時(shí)，式(25)與ξ無(wú)關(guān)，此時(shí)式(25)化簡(jiǎn)為：

(28)

此時(shí)式(27)與式(28)相同，振幅比與ξ無(wú)關(guān)的點(diǎn)就是ξ=0與ξ=∞ 2條曲線的交點(diǎn)，如圖6所示。因此可以利用定點(diǎn)現(xiàn)象進(jìn)行動(dòng)力吸振器參數(shù)設(shè)計(jì)。

圖6 不同阻尼比下振幅比曲線

利用擴(kuò)展定點(diǎn)理論可以得到動(dòng)力吸振器最優(yōu)參數(shù)的2個(gè)條件：

最優(yōu)同調(diào)條件(2個(gè)定點(diǎn)等高)：

(29)

最優(yōu)阻尼條件(定點(diǎn)處最大阻尼)：

(30)

滿(mǎn)足這2個(gè)條件后，主振動(dòng)系統(tǒng)的最大振幅比：

(31)

將式(29)、式(30)代入式(23)中得：

(32)

由式(32)可知，動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)目標(biāo)簡(jiǎn)化為對(duì)質(zhì)量比單參數(shù)的選擇,具體關(guān)系如圖7所示。

圖7 振幅比與質(zhì)量比的關(guān)系

阻尼與頻率按照上述公式選取，當(dāng)外部激勵(lì)頻率與主振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，振幅比增大；振幅比最大值隨著質(zhì)量比的增大而衰減，可見(jiàn)增大質(zhì)量比可以提高抑振效果，但是過(guò)大的質(zhì)量比會(huì)使得整體系統(tǒng)過(guò)重，從而使得軌道梁靜撓度增大，所以本文將質(zhì)量比限制在0.2以下。

根據(jù)上述條件，針對(duì)軌道梁1階振動(dòng)，可以得到動(dòng)力吸振器3個(gè)參數(shù)的設(shè)計(jì)公式：

(33)

2.2 多重動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)

考慮軌道梁第i階模態(tài)，針對(duì)第i階模態(tài)的軌道梁-動(dòng)力吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖8所示，圖中kdi、cdi、mdi分別為針對(duì)第i階模態(tài)動(dòng)力吸振器的剛度、阻尼系數(shù)和質(zhì)量。

圖8 力學(xué)模型圖

由動(dòng)力吸振器產(chǎn)生的反饋力Fdi可以表示為：

(34)

包含動(dòng)力吸振器的第i階模態(tài)傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(35)

其中，

(36)

(37)

(38)

(39)

對(duì)于控制多模態(tài)的動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以以各個(gè)模態(tài)為單位獨(dú)立考慮。將單自由度系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)法與模態(tài)控制理論相結(jié)合，可以將單自由度系統(tǒng)動(dòng)力吸振器的最優(yōu)設(shè)計(jì)推廣至i階模態(tài)制振中，由此可得針對(duì)i階模態(tài)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

(40)

(41)

軌道梁前2階模態(tài)如圖9所示。

圖9 前2階模態(tài)圖

可見(jiàn)，模態(tài)變形最大位置分別在L/4、L/2以及3L/4處。因此選擇在3個(gè)模態(tài)變形最大位置各安裝一個(gè)動(dòng)力吸振器，動(dòng)力吸振器的參數(shù)按照式(9)、式(10)設(shè)計(jì)，但L/4和3L/4處的動(dòng)力吸振器針對(duì)軌道梁第2階固有頻率設(shè)置參數(shù)，L/2處的動(dòng)力吸振器針對(duì)軌道梁第1階固有頻率設(shè)置參數(shù)。

此時(shí)多重TMD(MTMD)動(dòng)力學(xué)方程為：

(42)

(43)

(44)

3 仿真結(jié)果分析

聯(lián)立車(chē)輛-懸浮控制-軌道梁-吸振器動(dòng)力學(xué)方程組，選取軌道梁五階模態(tài)，建立垂向車(chē)-軌-吸振器耦合動(dòng)力學(xué)模型，部分參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 垂向車(chē)-軌-吸振器耦合動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)表

根據(jù)最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼調(diào)整TMD的參數(shù)，取TMD與橋梁的質(zhì)量比為0.01、0.03、0.05、0.1和0.2進(jìn)行對(duì)比分析。單個(gè)TMD跨中撓度、加速度以及抑振效果對(duì)比結(jié)果如圖10、圖11所示。多重TMD(MTMD)跨中撓度、加速度以及抑振效果對(duì)比結(jié)果如圖12、圖13所示。

圖10 TMD對(duì)跨中撓度影響及抑制效果

圖11 TMD對(duì)振動(dòng)加速度影響及抑制效果

圖12 MTMD對(duì)跨中撓度影響及抑制效果

圖13 MTMD對(duì)振動(dòng)加速度影響及抑制效果

由圖10、圖11分析可知：(1)模型中單個(gè)懸浮架前后懸浮控制點(diǎn)距離為1.7 m，當(dāng)速度為40 km/h時(shí)，懸浮控制對(duì)軌道梁激擾力的頻率為(40/3.6)/1.7=6.536(Hz)，非常接近軌道梁1階固有頻率(6.443 Hz)，因此此時(shí)軌道梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)較大，并且TMD的抑振效果隨著質(zhì)量比的增大而增大，當(dāng)質(zhì)量比為0.1時(shí)，位移抑制效果最好，接近7%，當(dāng)質(zhì)量比為0.2時(shí)，振動(dòng)加速度抑制效果最好，接近60%；(2)當(dāng)速度在60～160 km/h之間時(shí)，小質(zhì)量比的TMD抑振效果比大質(zhì)量比的TMD的抑振效果要好，這是由于列車(chē)運(yùn)行頻率遠(yuǎn)離軌道梁固有頻率，因此軌道梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)比較平穩(wěn)且響應(yīng)值較小，所以大質(zhì)量比的TMD產(chǎn)生了較大的靜撓度導(dǎo)致了位移抑制產(chǎn)生負(fù)控制；(3)當(dāng)速度大于180 km/h時(shí)，軌道梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)隨著速度增大而增大，位移抑制效果也隨著質(zhì)量比的增大而增大，但是較大的質(zhì)量比會(huì)導(dǎo)致軌道梁振動(dòng)加速度變大。由圖12、圖13可知，采用多重TMD時(shí)，當(dāng)懸浮控制對(duì)軌道梁激擾頻率與軌道梁1階固有頻率接近，跨中撓度和振動(dòng)加速度的抑制效果均超過(guò)了單TMD，最大抑制效果均出現(xiàn)在質(zhì)量比為0.1的多重TMD控制下。此外，同等質(zhì)量比下由于多重TMD質(zhì)量分散在3個(gè)單TMD上，所以產(chǎn)生的負(fù)控制小于單TMD。

4 結(jié)論

本文將某中低速磁浮列車(chē)簡(jiǎn)化為由車(chē)體、懸浮架組成的8自由度剛體系統(tǒng)，建立了基于位移-速度-加速度反饋的PID主動(dòng)控制模型，基于擴(kuò)展定點(diǎn)理論與頻率傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)了單動(dòng)力吸振器和多重動(dòng)力吸振器，并分析了2種動(dòng)力吸振器方案的最佳參數(shù)。通過(guò)對(duì)不同質(zhì)量比的動(dòng)力吸振器開(kāi)展動(dòng)力學(xué)仿真對(duì)比可以得出以下結(jié)論：

(1) 動(dòng)力吸振器對(duì)軌道梁振動(dòng)加速度的抑制效果顯著，但對(duì)軌道梁最大位移的抑制效果較??；

(2) 當(dāng)激擾力頻率接近軌道梁固有頻率時(shí)，軌道梁因共振而達(dá)到最大動(dòng)態(tài)響應(yīng)，此時(shí)0.1質(zhì)量比的多重動(dòng)力吸振器的振動(dòng)加速度抑制效果最好，接近60%，進(jìn)一步增大質(zhì)量比后，制振效果下降；

(3) 當(dāng)激擾頻率遠(yuǎn)離軌道梁1階固有頻率時(shí)，大質(zhì)量比動(dòng)力吸振器容易產(chǎn)生負(fù)控制，而過(guò)小的質(zhì)量比會(huì)使得動(dòng)力吸振器的抑振效果不明顯；

(4) 多重動(dòng)力吸振器質(zhì)量分布均勻，抑振效果優(yōu)于單動(dòng)力吸振器，并且負(fù)控制小于單動(dòng)力吸振器。