吳杰，李鵬飛，賈嘉陵，孔恒，郭彩霞，郭飛

（1.北京工業(yè)大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124；2.北京市政建設集團有限責任公司，北京 100048）

近年來，隨著國家經(jīng)濟不斷增長，城市化水平不斷提高，城市中出現(xiàn)越來越多的超高層建筑與大規(guī)模地下綜合體，導致深基坑的數(shù)量急劇增加［1-3］.因為深基坑底部往往存在承壓水層，當承壓水層的水頭較高時，需要采取降水減壓措施來避免坑底突涌及結(jié)構(gòu)整體上浮等問題［4］.現(xiàn)有的地下水減壓措施中，抽水井配合懸掛式止水帷幕組成的“墻-井”截排減壓系統(tǒng)［5-6］因具有控水效果好、施工簡單快速等優(yōu)點被廣泛采用.在“墻-井”系統(tǒng)的設計過程中，為了合理設計減壓井群的總抽水量或總疏干量，需準確計算出不同坑底水頭設計值下懸掛帷幕基坑內(nèi)的涌水量［7］.目前，國內(nèi)外學者綜合采用理論推導、數(shù)值模擬、室內(nèi)模型試驗等方法對懸掛帷幕基坑內(nèi)涌水量展開研究.王軍輝等［8］通過分析懸掛式止水帷幕影響下滲流場中繞流和非繞流兩個區(qū)域的滲流特征，對大井法公式進行修正并推導出含止水帷幕條件下潛水和承壓水的涌水量計算公式.張志紅等［9］針對基坑內(nèi)外流網(wǎng)分布規(guī)律，根據(jù)地下水動力學原理推導出深厚潛水層中懸掛式止水帷幕圓形基坑的涌水量計算公式.李瑛等［10］將懸掛帷幕基坑按面積等效為井壁進水的大直徑承壓完整井，推導出基坑截排減壓降水涌水量計算的簡化公式，并與數(shù)值計算結(jié)果進行對比驗證得出結(jié)論：簡化公式在帷幕插入比大于0.6、基坑半徑與承壓含水層厚度比值小于2.0 時具有較高精度.肖銘釗等［11］通過對武漢長江隧道武昌盾構(gòu)井基坑水文地質(zhì)條件的分析，建立三維滲流有限元模型，并對懸掛式止水帷幕深基坑降水過程進行數(shù)值模擬計算.在基坑總抽水量一定的條件下，定量分析了止水帷幕插入深度與基坑內(nèi)外水頭值的相互關系.李光明等［12］依托天津某地鐵換乘車站基坑降水工程，通過現(xiàn)場抽水試驗數(shù)據(jù)反演出數(shù)值模型的地層參數(shù)，然后利用有限差分法對懸掛帷幕基坑降水過程中坑內(nèi)涌水量進行數(shù)值模擬計算.張邦沛等［13-14］通過室內(nèi)模型箱實驗探究帷幕插入深度對基坑內(nèi)涌水量的影響，并提出了止水帷幕插入深度合理取值范圍，為實際工程中止水帷幕設計參數(shù)提供參考.

綜上所述，現(xiàn)有理論解析求解懸掛帷幕基坑涌水量與實際情況及數(shù)值模擬結(jié)果對比存在較大誤差，僅在某些特定r0/M、L/M范圍內(nèi)具有較好的精度（r0圓形基坑半徑，L為止水帷幕插入深度，M為承壓含水層厚度），原因是坑內(nèi)等效滲徑長度取值不合理.現(xiàn)有數(shù)值方法對懸掛帷幕基坑的研究大多是基于某些特定工程，結(jié)果的精確性依賴于特定的邊界條件的選取［8，11-12］，對工程的指導不具有普適性.在此背景下，本文應用地下水動力學原理求解出承壓水層懸掛式止水帷幕圓形基坑的涌水量，引入基坑滲徑影響系數(shù)，并提出其確定方法.經(jīng)對比顯示本文解析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果及實測數(shù)據(jù)取得了較好的一致性.

1 涌水量計算的理論解析

以圓形基坑中軸線為z軸，基坑徑向為r軸，中軸線與含水層底板交點選為原點建立柱坐標系.根據(jù)地下水動力學原理，建立如圖1 所示的承壓水地層懸掛式止水帷幕基坑數(shù)學模型.其中：H為承壓水頭高度，r0為圓形基坑半徑，R為基坑抽水影響半徑，h0為止水帷幕底部中軸線處水頭等值線的水頭值，D（z）為止水帷幕外側(cè)壁處水頭分布函數(shù)，Hd為坑內(nèi)水頭設計值，Hw為坑外承壓含水層頂板最大降深處水頭值，L為止水帷幕在插入承壓含水層的長度，M為含水層的厚度.

圖1 承壓水地層懸掛式止水帷幕基坑計算模型Fig.1 Calculation model for pit with suspended waterproof curtain in confined aquifer

本模型忽略止水帷幕厚度，假定坑內(nèi)滲流過程為三維穩(wěn)定流，坑內(nèi)的水頭線均為水平線.根據(jù)實際工程經(jīng)驗與現(xiàn)有研究成果［10，12］，可將滲流區(qū)域分為坑外（區(qū)域1）、坑內(nèi)止水帷幕下方（區(qū)域2）、坑內(nèi)豎直滲流區(qū)（區(qū)域3）3 部分.由于止水帷幕的存在，區(qū)域1 內(nèi)水流繞流進入?yún)^(qū)域2，且帷幕正下方水流流向均為水平.然后水流在區(qū)域2 內(nèi)轉(zhuǎn)向，沿豎直方向流入?yún)^(qū)域3.根據(jù)滲流連續(xù)性原理可知3 個區(qū)域內(nèi)流量相同，即Q1=Q2=Q3=Q.

計算區(qū)域滲流場內(nèi)任意一點的總水頭h（r，θ，z）與角度無關，即各點總水頭可以表示為h（r，z）.滲流區(qū)域內(nèi)的邊界條件為

1.1 基坑外滲流量Q1確定

根據(jù)達西定律，承壓含水層內(nèi)任意一點的水平滲流速度為

式中：kr為承壓含水層內(nèi)水平滲透系數(shù).在區(qū)域1 中，單位時間內(nèi)過任一斷面的流量為

將式（7）代入式（8）可得過區(qū)域1 單位時間內(nèi)任一斷面流量表達式

文獻［9］中給出了在M－L＜z＜M范圍內(nèi)止水帷幕外側(cè)水頭分布規(guī)律，結(jié)合邊界條件式（4）和式（5），可以分別得到D（z）和Q1為

1.2 基坑內(nèi)涌水量Q2和Q3確定

水流在滲流區(qū)域內(nèi)的最短滲流路徑為

最長滲流路徑為

若坑底水頭線位于上部不透水層的底板上方，即Hd＞M，則式（12）和式（13）中Hd可以用M代替.利用達西定律求解基坑內(nèi)涌水量時，現(xiàn)有理論解析大多是將基坑內(nèi)的等效滲徑長度定為（Lmax+Lmin）/2［9，15］，或直接假定2Lmin［8，10］，這兩種情況計算得到的坑內(nèi)涌水量只在r0/M、L/M的某些特定區(qū)間內(nèi)較為合理.實際上，基坑內(nèi)等效滲徑長度的取值應隨r0/M、L/M的不同而變化，直接用（Lmax+Lmin）/2 或2Lmin替代是不合理的.為了精確計算各工況下基坑內(nèi)涌水量的值，引入可以體現(xiàn)等效滲徑長度隨r0/M、L/M變化的滲徑影響系數(shù)α，并通過數(shù)值實驗探究變化規(guī)律.基坑內(nèi)等效滲徑的長度可以表示為

其中α為r0/M、L/M的函數(shù)，即

區(qū)域2 和區(qū)域3 內(nèi)的涌水量為

式中：kv為垂直滲透系數(shù).

1.3 承壓含水層頂板處最大降深水頭Hw確定

在忽略止水帷幕厚度的條件下，水流沿止水帷幕繞流時，通過帷幕內(nèi)側(cè)的水頭損失要大于通過帷幕外側(cè)的水頭損失.根據(jù)現(xiàn)有實驗數(shù)據(jù)與理論研究成果［8-9，13］，潛水含水層各工況下水流通過帷幕內(nèi)側(cè)的水頭損失約占繞流總損失的2/3 左右.而無論在承壓水層還是潛水層中，水流沿止水帷幕繞流時的方向和特征都是一致的，所以將此結(jié)論應用于承壓水地層中，帷幕底端等水頭線水頭值h0可以表示為

將式（17）帶入式（11），再根據(jù)滲流連續(xù)性原理，可以求得坑外承壓含水層頂板處最大降深水頭Hw分布函數(shù)

將式（17）和式（18）代入式（16）即可求得圓形基坑涌水量.

2 滲徑影響系數(shù)探究

根據(jù)對稱性，建立圓形基坑滲流計算數(shù)值模型，如圖2 所示.數(shù)值模型的依托工程土層特點為砂黏混合地層，含水層主要為細砂.計算取滲透系數(shù)kr=kv=5×10-6m/s，承壓層水頭高度H=30 m，坑內(nèi)水頭設計值Hd和含水層的厚度M均為10 m.

圖2 懸掛式止水帷幕圓形基坑數(shù)值模型Fig.2 Numerical model for circular pit with suspended waterproof curtain in confined aquifer

選取r0/M=1、3、5、7、9 作為試驗工況，并基于此探究系數(shù)α變化規(guī)律，剩余r0/M=2、4、6、8、10 作為驗證工況.圖3 所示為基坑涌水量隨r0/M、L/M的變化規(guī)律.由圖3（a）可知，L/M對基坑涌水量有較大影響.隨著L/M的增大，基坑涌水量不斷減小，且當基坑直徑較小時（r0/M=1），Q與L/M呈線性關系；其他情況下，Q隨L/M的增大，先線性減小，后指數(shù)形式減小.在L/M相同的情況下，隨著r0/M的增大，基坑涌水量不斷增大，但增大速率不斷減小.由圖3（b）可知，當基坑尺寸較大時，在較大插入比下（L/M=0.9），基坑內(nèi)涌水量依然很大，要有效控制涌水量，需要加大插入比形成落底式止水帷幕.

圖3 涌水量隨r0/M 以及插入比改變的變化關系Fig.3 Relationship between the variation of water inflow with r0/M and that of insertion ratio

α隨r0/M、L/M的變化規(guī)律見圖4.由圖4 可知，r0/M、L/M對α均有不同程度的影響，且L/M的影響更大.如果不考慮L/M對等效滲徑的影響，取α恒等于1，各工況大致對應圖4（a）中L/M為0.7～0.8 時的條件，即此時涌水量理論計算結(jié)果才與數(shù)值結(jié)果吻合.隨著L/M的增大，α先近似線性增大，后指數(shù)增大，近似以L/M=0.7 為分界點.隨著r0/M的增大，α先增大后減小，拐點為r0/M=3.

首先根據(jù)圖4（a）中α的變化特點建立α與L/M的函數(shù)關系

式中：A為一次函數(shù)的截距；K為一次函數(shù)的斜率；I為二次多項式截距；B1為一次項系數(shù)；B2為二次項系數(shù).將式（19）與圖4（a）中的曲線擬合，得到不同r0/M工況下的參數(shù)A、K、I、B1、B2.然后，再建立r0/M與系數(shù)α的關系，假設各參數(shù)為隨r0/M變化的一次函數(shù)為

圖4 α隨r0/M 以及插入比改變的變化關系Fig.4 Relationship between the variation of α with r0/M and that of insertion ratio

其中：a1、a2、k1、k2、i1、i2、b1、b2、b3、b4均為一次函數(shù)的參數(shù)，將不同r0/M工況下A、K、I、B1、B2的取值代入式（20），即可解得式中一次函數(shù)的參數(shù)值.再將式（20）代入式（19），得到系數(shù)α分段函數(shù)為

3 驗證及分析

3.1 算例驗證

圖5（a）為驗證工況基坑涌水量解析解與數(shù)值解計算結(jié)果對比.由圖5（a）可知，本文解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合，涌水量隨L/M變化規(guī)律與圖3（a）中分析的結(jié)論一致.兩者在r0/M=2、4、6、8、10工況下最大相對誤差分別為4.5%、2.3%、1.6%、1.4%、1.7%，均小于5%.圖5（b）為r0/M=4、6、10工況Hw解析解與數(shù)值解計算結(jié)果對比.由圖5（b）可知，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果變化規(guī)律吻合，Hw隨著L/M增加而增大.當L/M＞0.7 時，兩種計算方法得到的Hw基本相同.0＜L/M＜0.7 時，兩種方法計算結(jié)果變化趨勢相同，解析解略小于數(shù)值解.3 種工況對應的最大相對誤差分別為：3.3%、4.5%、4.2%，均小于5%.

圖5 不同面積基坑的涌水量與Hw計算結(jié)果對比Fig.5 Comparison of calculation results of water inflow and Hw under different areas of foundation pit

3.2 補充工況驗證

為了進一步驗證推導公式的準確性與普適性，分別改變數(shù)值算例中的土層滲透系數(shù)、承壓含水層厚度、基坑內(nèi)外水頭差H－Hd，并計算不同r0/M、L/M時的基坑內(nèi)涌水量.圖6 為這3 種因素改變時，r0/M為2、4 工況下的涌水量解析解與數(shù)值模擬結(jié)果對比.由圖6 可知，涌水量解析解與數(shù)值模擬結(jié)果變化規(guī)律吻合.在任一工況下，涌水量隨L/M的變化都是先線性減小，再呈指數(shù)形式減小.在其他條件不變時，涌水量分別隨著土層滲透系數(shù)、承壓含水層厚度、基坑內(nèi)外水頭差的增大而增大.當3 種條件分別改變時，解析解與數(shù)值解的最大相對誤差出現(xiàn)在r0/M=2、kr=kv=1×10-5m/s 時，r0/M=4、M=20 時以及r0/M=2、H－Hd=15m時，其值分別為4.5%、4.3% 以及3.8%，均小于5%.在不同工況下，基坑內(nèi)涌水量數(shù)值模擬結(jié)果與本文解析解基本吻合，對比結(jié)果最大相對誤差在可接受范圍之內(nèi)，可以證明推導公式具有較高的精度與普適性.

圖6 補充工況的涌水量計算結(jié)果對比Fig.6 Comparison of calculation results for water inflow under supplementary conditions

3.3 解析解與工程實測數(shù)據(jù)對比

表1 為解析解與工程實測值對比.表1中Qc1與Qr分別為來源于參考文獻［10］中的解析解涌水量計算值與既有工程現(xiàn)場實測涌水量，Qc1未考慮滲徑影響系數(shù)，Qc2為對應工況下本文解析解涌水量計算值.Qj為不考慮止水帷幕影響的計算涌水量，由規(guī)范［16］計算得到.由表1 可知，Qc1與Qc2都遠小于規(guī)范解，說明懸掛止水帷幕可以有效降低基坑涌水量.比較Qc1與Qc2可知，除案例乙中兩者值接近，其他情況Qc2都遠比Qc1更接近實測值，表明滲徑影響系數(shù)對基坑涌水量計算結(jié)果有較大影響.考慮滲徑影響系數(shù)的計算結(jié)果更準確，而且Qc2總是略大于實測值，實際工程中用于計算降水井抽水量也是偏安全的選擇.

表1 解析解與工程實測值對比Tab.1 Comparison of analytical solution and measured filed values

3.4 基坑尺寸與懸掛式止水帷幕控水效果關系

由圖3 與圖5 綜合分析可知：無論是解析解還是數(shù)值模擬結(jié)果，在L/M一定時，涌水量隨著r0/M的增大而增大，但涌水量增加的速率顯著減小，且涌水量隨L/M的變化越來越平緩.定義Qi1、Qi9為r0/M=i時（i=1，2，…，10），L/M=0.1和L/M=0.9 對應的涌水量，η為Qi1和Qi9的差值與Qi1的比值.圖7（a）為η隨r0/M的變化關系，可以反映懸掛帷幕對不同尺寸基坑的止水效果，η值越大，證明止水效果越好.由圖7（a）可知，懸掛帷幕止水效果隨r0/M的增大而降低，當0＜r0/M＜5 時，止水效果隨r0/M的增大顯著降低，r0/M＞5 以后，η值已經(jīng)遠小于初始值且不再顯著變化.圖7（b）為較大插入比時（L/M=0.9），Hw隨r0/M的變化關系，Hw越小則說明坑內(nèi)降水對坑外承壓水位的影響越大.

圖7 L/M=0.9時η與Hw隨r0/M 變化Fig.7 Relationship between η and Hw with r0/M when L/M=0.9

隨著r0/M增大，坑內(nèi)降水對坑外承壓水位的影響增大，r0/M＞5 以后，Hw值已經(jīng)遠小于坑外初始水頭（H=30 m），且與區(qū)間0＜r0/M＜5 相比不再顯著變化.止水帷幕控水效果隨著r0/M增大而降低，從止水效果（隨L/M的增加，坑內(nèi)涌水量顯著減?。┖捅Ｗo水資源（坑內(nèi)降水對坑外水位影響較?。﹥煞矫婵紤]，當基坑尺寸較大時，應當考慮選用能切斷基坑內(nèi)外水力聯(lián)系的落底式止水帷幕以達到良好的控水效果.

4 結(jié)論

1）對于承壓水地層中懸掛式止水帷幕基坑涌水量的解析模型，滲徑影響系數(shù)取值對計算結(jié)果影響很大，應根據(jù)基坑半徑、承壓水層厚度、懸掛式止水帷幕插入承壓水層厚度等因素綜合確定.

2）基坑半徑與承壓水層厚度的比值（r0/M）、懸掛式止水帷幕插入承壓水層厚度比（L/M），這兩個參數(shù)對滲徑影響系數(shù)α的影響最為直接和顯著，且r0/M=3和L/M=0.7 是二者影響分界點，本文通過數(shù)值模擬正反分析分別給出了4 種情況下α的計算公式.

3）當選用懸掛式止水帷幕作為地下水控制措施時，控水效果會隨著r0/M的增大而降低，當基坑尺寸較大時，建議選取落底式止水帷幕，達到切斷基坑內(nèi)外水力聯(lián)系的目的.