王世航，張嘉寧，周 偉，李書光，李 靜，王 龍

(中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院，山東 青島 266580)

威爾伯福斯擺由懸掛在豎直方向的螺旋彈簧和連接在彈簧末端的擺錘組成，其結(jié)構(gòu)如圖1所示.擺錘既能在豎直方向上下振動，又能繞其豎直軸扭轉(zhuǎn)擺動[1].Ronald Geballe通過對彈簧的動力學(xué)和靜力學(xué)分析，給出了螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)和伸長之間的關(guān)系[2].許裕粟等從螺旋彈簧的角度，解釋了威爾伯福斯擺共振產(chǎn)生的機理,并通過實驗得到彈簧扭轉(zhuǎn)和伸長之間的線性關(guān)系[3]，但未給出其耦合共振運動學(xué)方程的詳細描述.Richard E. Berg等使用拉氏能量函數(shù)求解出振動方程，并定量的給出了共振性能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系[4]，但未詳細探究系統(tǒng)的耦合共振現(xiàn)象.

本文通過對威爾伯福斯擺進行相應(yīng)的受力、力矩分析，得出其上下振動和繞豎直軸扭轉(zhuǎn)擺動的耦合共振方程，并通過求解分析了其影響因素；最后基于PASCO傳感器進行實驗探究，研究結(jié)果表明，擺錘的兩種運動之間存在能量共振性轉(zhuǎn)化的過程，擺錘的轉(zhuǎn)動慣量會對擺錘的運動狀態(tài)產(chǎn)生影響，其兩種振動的耦合導(dǎo)致了“拍”現(xiàn)象的出現(xiàn).

1 理論分析

如圖1所示，假設(shè)一密度均勻、質(zhì)量為m的擺錘，懸掛于一個輕質(zhì)彈簧(勁度系數(shù)為k)下.當(dāng)擺錘拉離平衡位置，從某一位置釋放，擺錘跟隨彈簧的伸長上下振動，并繞豎直方向扭轉(zhuǎn)擺動.設(shè)其扭轉(zhuǎn)系數(shù)為δ，建立空間直角坐標(biāo)系,其中x、y軸平行于地面，z軸垂直于地面；對于彈簧來說，簧絲的切線方向與水平面存在夾角，該角為彈簧的傾角[5].傾角的存在使得彈簧在豎直方向拉伸時，產(chǎn)生一個微小的扭矩；而當(dāng)彈簧扭轉(zhuǎn)時，又會產(chǎn)生豎直方向上微小的拉力[6].

圖1 威爾伯福斯擺受力分析圖

根據(jù)牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動定律，取擺錘在重力作用下靜止時的位置為坐標(biāo)原點，對擺錘進行相應(yīng)的受力和力矩分析：

(1)

(2)

其中，扭轉(zhuǎn)力矩為M=-δθ+f(z)，豎直方向的合外力F0=-kz+f(θ).根據(jù)參考文獻[3]，f(z)和f(θ)取一階的線性函數(shù)[3]，即

F0=-kz+aθ

(3)

M=-δθ+bz

(4)

其中a、b為修正參數(shù)，由彈簧的材質(zhì)、線徑等決定，aθ和bz為線性耦合項.將其代入式(1)、(2)得

(5)

(6)

對式(5)再進行時間的二階微分，并將得到的式子與式(6)進行聯(lián)立，同時消除θ得到關(guān)于z的微分方程：

(7)

同理，可得關(guān)于θ的微分方程:

(8)

對式(8)進行求解，假設(shè)通解為[7]

θ(t)=Aeiωt

(9)

為了得到ω的表達式，將式(9)代入式(8)得到

(10)

對式(10)進行求解，可以得到

當(dāng)ωθ=ωz時，上面兩式相等，此時式(10)僅有一個根.為方便求解計算，將式(9)轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)形式,即

θ(t)=Asinω1t+Bcosω1t+Csinω2t+Dcosω2t

(11)

z(t)=

(12)

同理，也可得θ(t):

(13)

2 理論可視化

式(12)和(13)分別為威爾伯福斯擺的上下振動和扭轉(zhuǎn)擺動的運動學(xué)方程，可以發(fā)現(xiàn)兩種運動的幅度變化與ωθ和ωz有關(guān)，ωθ、ωz實際為扭轉(zhuǎn)擺動和上下振動的固有頻率[9]，從理論中可以看出兩個固有頻率的關(guān)系影響著擺錘的運動.受實驗條件限制，通過改變擺錘的轉(zhuǎn)動慣量(即改變擺錘上懸盤的位置)，探究兩個固有頻率的變化如何影響擺錘的運動模式.

圖2 確定參數(shù)a時，豎直伸長量隨扭轉(zhuǎn)角度變化曲線

彈簧的參數(shù)為k=0.48 N/cm、δ=0.54 N/(°).為確定式(3)、(4)中修正參數(shù)中a、b的值，保持擺錘在平衡位置處不動，記錄此時對應(yīng)的彈簧拉力F.扭轉(zhuǎn)擺錘到所需要的角度，記錄不同扭轉(zhuǎn)角度對應(yīng)下的彈簧拉力，得到彈簧拉力的變化量.通過彈簧的彈性系數(shù)計算得到相對應(yīng)的伸長量，繪制彈簧伸長量隨扭轉(zhuǎn)角度變化的曲線，如圖2所示；將細線一端固定于擺錘底部的中心位置，細線下端穿過硬紙板中心，從擺錘的平衡位置開始緩慢豎直拉動細線，每隔5 cm在硬紙板上測量擺錘擺過的角度θ，繪制扭轉(zhuǎn)角度隨彈簧豎直伸長量變化的曲線，如圖3所示.

圖3 確定參數(shù)b時，扭轉(zhuǎn)角度隨豎直伸長量變化曲線

初始條件為z0=10 cm，θ0=0°，擺錘的重量為m=0.27 kg，當(dāng)擺錘的轉(zhuǎn)動慣量I=0.30 kg·cm2時，系統(tǒng)近似有k/m=δ/I.為判斷扭轉(zhuǎn)擺動和上下振動的固有頻率對系統(tǒng)運動模式的影響，令不同轉(zhuǎn)動慣量的差值為ΔI=0.01 kg·cm2，基于Matlab做出θ(t)和z(t)在擺錘轉(zhuǎn)動慣量不同的情況下隨時間變化的曲線，如圖4所示.

圖4 方程理論可視化

當(dāng)豎直振動z(t)幅度達到最大時，扭轉(zhuǎn)擺動θ(t)幅度達到最小，幅度越大代表著能量越大，即兩種運動之間存在能量共振性轉(zhuǎn)化的過程[10].如圖4中箭頭所指，當(dāng)二者固有頻率相等時(曲線3)，相比于其它，幅度最大值和最小值相差最大，幅度的變化最為明顯，出現(xiàn)類似于“拍”的現(xiàn)象，此時即為系統(tǒng)的耦合共振狀態(tài).依次觀察曲線1、曲線2、曲線3的“拍”現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)“拍”現(xiàn)象越來越明顯，故“拍”現(xiàn)象在耦合共振狀態(tài)最為明顯.

3 進一步探究

3.1 彈簧振動的運動模式

為進一步驗證以上推導(dǎo)，采用PASCO力學(xué)傳感器將彈簧與鐵架臺固定，計算機可顯示彈簧力F隨時間的周期性變化，裝置如圖1所示.使用長度為30 cm、內(nèi)徑為1 mm、外徑為24 mm的螺旋彈簧，下落標(biāo)度為卷尺50 cm處，得到力學(xué)傳感器的拉力曲線；由于彈簧拉力與伸長量之間為線性關(guān)系，本文實驗中用彈簧拉力數(shù)據(jù)表征彈簧的伸長量變化.將PASCO力學(xué)傳感器得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Origin進行繪圖，得到如圖5所示的變化曲線.

圖5 彈簧拉力表征彈簧伸長量隨時間變化曲線

在擺錘的運動過程中，螺旋彈簧伸長量(圖中彈簧拉力F)的幅度呈現(xiàn)周期性變化，類似于“拍”的現(xiàn)象，峰值隨時間變化呈減小趨勢，且與理論曲線圖的頻率一致(實驗曲線的縱坐標(biāo)需要一定的線性轉(zhuǎn)化)；實驗曲線存在峰值減小的現(xiàn)象，這是由于外界阻力如空氣阻力、摩擦等對系統(tǒng)的影響.實驗進行的時間較短，可認為系統(tǒng)是存在低阻尼的情況，理論推導(dǎo)中忽略了阻力，故與實驗曲線存在差異.從圖4和圖5的對比中，實驗曲線與理論分析曲線的趨勢基本吻合，證明了理論推導(dǎo)的正確性.

3.2 系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化

在記錄螺旋彈簧伸長量的同時，用高速攝像機(120幀/s)記錄擺錘扭轉(zhuǎn)；視頻分析軟件Tracker的分析追蹤過程如圖6所示.將PASCO力學(xué)傳感器得到的數(shù)據(jù)和視頻分析軟件追蹤得到的數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin進行繪圖，得到彈簧的扭轉(zhuǎn)角度和伸長量(等效為彈簧拉力F)隨時間變化的曲線，如圖7所示.

圖6 視頻分析軟件追蹤過程

圖7 彈簧拉力(上)和擺錘扭轉(zhuǎn)角度(下)隨時間變化曲線

在擺錘的運動過程中，在同一時刻，當(dāng)螺旋彈簧豎直振動的幅度達到最大時，扭轉(zhuǎn)擺動的幅度達到最小，當(dāng)螺旋彈簧豎直振動的幅度達到最小時，扭轉(zhuǎn)擺動的幅度達到最大，證明兩種運動之間存在能量共振性轉(zhuǎn)化的過程.

3.3 改變擺錘的轉(zhuǎn)動慣量，尋找系統(tǒng)耦合共振點

圖8 改變懸盤位置得到不同的彈簧拉力變化曲線

圖8中，隨著擺錘的轉(zhuǎn)動慣量逐漸增大，擺錘幅度變化由不明顯到明顯，再到不明顯；在特定位置點，存在幅度變化最明顯，曲線2所對應(yīng)的懸盤位置，即為系統(tǒng)的耦合共振點.

當(dāng)系統(tǒng)遠離共振點時，擺錘運動狀態(tài)的“拍”現(xiàn)象變得不明顯，甚至到某一位置(曲線3處)后，便不再出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象，產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因可能為：ωz和ωθ的差值過大，導(dǎo)致系統(tǒng)豎直振動達能量最高值處與扭轉(zhuǎn)擺動達能量最低值處在同一時刻不能完全對應(yīng)，而系統(tǒng)的耦合項是不變的，這就導(dǎo)致兩種振動之間的相互影響變小.當(dāng)兩個固有頻率的差值近似為無窮大時，擺錘的運動模式可完全看成兩個獨立的運動：豎直振動和扭轉(zhuǎn)擺動.

4 結(jié)束語

本文對威爾伯福斯擺的運動進行了理論和實驗的探究，理論上建立了威爾伯福斯擺運動的耦合共振數(shù)學(xué)模型，同時基于PASCO實驗系統(tǒng)搭建了威爾伯福斯擺系統(tǒng)，通過拉力表征彈簧伸長量，進行了基本的實驗探究，研究結(jié)果表明理論分析與實驗結(jié)果是一致的.該方法和思路對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)耦合共振的動力學(xué)分析具有一定的實際借鑒意義.