鄧欣雨，張?zhí)煊?，陸建隆，?鳴，王 巍

(1. 南京師范大學 物理科學與技術(shù)學院，江蘇 南京 210023；2. 南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210023)

威爾伯福斯擺(以下簡稱韋氏擺)的奇特振蕩現(xiàn)象是1894年威爾伯福斯觀察到的，并以其名字命名[1]. 韋氏擺由上端固定的螺旋彈簧和連接在彈簧下端的物體(通常稱為擺錘)組成，豎直拉伸韋氏擺并從靜止釋放后，出現(xiàn)豎直方向振蕩和水平方向周期性來回旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，豎直振蕩的振幅逐漸減小，水平最大旋轉(zhuǎn)角度逐漸增大，直到豎直振蕩的振幅達到最小時，水平最大旋轉(zhuǎn)角度達到最大. 之后豎直振蕩的振幅逐漸增大，水平最大旋轉(zhuǎn)角度逐漸減小，直到豎直振蕩的振幅達到最大，同時水平最大旋轉(zhuǎn)角度達到最小，韋氏擺以此規(guī)律進行周期性運動.

與韋氏擺不同，豎直懸掛的彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力、不考慮彈簧的質(zhì)量、不考慮擺錘的大小和形狀的理想化物理模型，擺錘只沿豎直彈簧軸線做簡諧振動. 當擺錘具有一定的形狀時，整個系統(tǒng)的振動狀態(tài)發(fā)生了改變，擺錘的轉(zhuǎn)動慣量是不可忽略的因素，此時彈簧振子的振動就是韋氏擺的振動狀態(tài).

1990年Richard E. Berg首次提出了韋氏擺的運動方程，從理論上證明韋氏擺的運動狀態(tài)是豎直運動和水平運動的耦合[2]. 所謂耦合即兩種運動狀態(tài)相互關(guān)聯(lián)、相互影響，后人對韋氏擺的研究多基于這篇論文中的理論. 2008年許裕栗通過對彈簧伸長和擺錘扭轉(zhuǎn)關(guān)系的分析，間接探究了豎直和水平方向受力間的傳遞關(guān)系，提出“傳遞力”概念，以量化兩垂直方向運動耦合的強弱[3]. 2019年P(guān)ierre Devaux對韋氏擺的運動狀態(tài)在純平移和純旋轉(zhuǎn)之間周期性切換的特殊情況進行了分析，并通過傅里葉分析實驗數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)此現(xiàn)象中平移和旋轉(zhuǎn)以相同的頻率振蕩[4]. 但是，在韋氏擺的實際運動過程中，無論是運動狀態(tài)還是振蕩頻率都是復雜多變的.

本文首先從力學角度解釋韋氏擺的運動耦合現(xiàn)象，并使用分析力學對韋氏擺的運動進行理論分析得到韋氏擺的運動方程. 在理論分析的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計實驗裝置，并采用雙機位拍攝的實驗方法，發(fā)現(xiàn)逐漸增大韋氏擺擺錘的轉(zhuǎn)動慣量，其豎直振蕩頻率和水平扭轉(zhuǎn)頻率的數(shù)值差距由小變大，且韋氏擺依次會出現(xiàn)強耦合狀態(tài)、弱耦合狀態(tài)和近似不耦合狀態(tài)三種運動狀態(tài)，并探究了轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺運動的影響；采用控制變量法探究彈簧初始伸長量對韋氏擺運動的影響.

1 理論分析

1.1 韋氏擺系統(tǒng)受力、力矩分析

如圖1(a)所示，韋氏擺由彈簧和擺錘相連接而成. 通過對韋氏擺受力分析，可定性了解韋氏擺豎直運動和水平運動間耦合的原因. 圖1(b)分析了彈簧和擺錘相連接處擺錘的受力情況(圖中的接觸點，距離轉(zhuǎn)軸為r). 彈簧絲中存在沿簧絲軸線的力F‖和沿簧絲橫截面的切應(yīng)力F⊥[5]，將擺錘豎直拉離平衡位置并靜止釋放的瞬間，由于彈簧的拉伸作用，與擺錘固定處彈簧絲的切線與水平面成一定的夾角，此時F‖的豎直分力與F⊥的豎直分力之和大于擺錘重力，3個力的合力為豎直方向的回復力，驅(qū)使擺錘回到豎直平衡位置，從而發(fā)生豎直方向的振蕩；F‖的水平分力與F⊥的水平分力的作用線與轉(zhuǎn)軸不在同一平面內(nèi)，且F‖的水平分力大于F⊥的水平分力，因此存在兩個大小不等、方向相反的力矩的作用，兩個力矩的合力矩為水平方向的回復力矩，方向沿逆螺旋方向，回復力矩驅(qū)使擺錘沿逆螺旋方向轉(zhuǎn)動，當轉(zhuǎn)動到F‖的水平分力等于F⊥的水平分力時，回復力矩為零，到達水平平衡位置，但由于慣性，擺錘繼續(xù)轉(zhuǎn)動，此時F‖的水平分力小于F⊥的水平分力，產(chǎn)生順螺旋的回復力矩，從而形成水平方向的振蕩.由于豎直方向的振蕩和水平方向的振蕩同時進行，二者同時影響彈簧絲中的F‖和F⊥的大小和方向，同時影響F‖和F⊥在水平和豎直方向的分力，即豎直方向的回復力會受到水平振蕩的影響，水平方向的回復力矩也會受到豎直振蕩的影響，從而形成豎直方向運動與水平方向運動的相互耦合.

平衡狀態(tài) 韋氏擺離開平衡位置并由靜止釋放的瞬間圖1 韋氏擺受力分析圖

同樣也可以僅給韋氏擺一個初始旋轉(zhuǎn)角度或以豎直拉伸和水平旋轉(zhuǎn)相結(jié)合的方式啟動韋氏擺，運動出現(xiàn)耦合的原因均為F‖的豎直分力、F⊥的豎直分力和擺錘重力的合力使擺錘產(chǎn)生豎直方向的振蕩，F(xiàn)‖的水平分力與F⊥的水平分力的合力使擺錘發(fā)生水平方向的振蕩，又兩個方向的運動相互影響對方的回復力或回復力矩，從而形成豎直方向運動與水平方向運動的相互耦合.

1.2 韋氏擺系統(tǒng)角振幅θ(t)和豎直振幅z(t)隨時間變化的理論分析

首先構(gòu)建韋氏擺的理論模型，假設(shè)韋氏擺在無阻尼的理想情況下運動，螺旋彈簧為輕質(zhì)彈簧，忽略彈簧自重對擺錘運動的影響.假設(shè)韋氏擺的擺錘始終在一條豎直直線上運動，即忽略擺錘的圓錐運動；假設(shè)豎直方向上的運動與水平方向上運動的耦合方式為線性耦合，該種耦合方式已被廣泛地接受并采用[2,4,6,7].

將韋氏擺簡化為二自由度系統(tǒng)，如圖2所示，以韋氏擺處于平衡位置時擺錘質(zhì)心所在位置為坐標原點，以彈簧軸線所在直線為豎直軸，豎直向下為正方向建立坐標系，z為運動過程中擺錘質(zhì)心所在的豎直位置，z(t)用于描述擺錘豎直方向上的運動；在擺錘底部用黑點做一個標記，以擺錘質(zhì)心為坐標原點，以平衡狀態(tài)下擺錘的質(zhì)心與黑點連線為極軸，θ為運動過程中質(zhì)心-黑點連線與極軸所成的夾角，θ(t)用于描述擺錘水平方向上的運動.

圖2 韋氏擺系統(tǒng)兩個自由度：z、θ

使用分析力學對韋氏擺的運動進行理論分析.韋氏擺系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[1]

(1)

由拉格朗日函數(shù)得到系統(tǒng)的拉格朗日方程為

(2)

(3)

設(shè)系統(tǒng)的初始條件為韋氏擺靜止釋放，即

解上述方程得到豎直位置與時間的關(guān)系式為

z(t)=Acosω1t+Bcosω2t

(4)

其中，

(5)

(6)

其中，

(7)

(8)

水平旋轉(zhuǎn)角度θ與時間t的關(guān)系式為

θ(t)=Ccosω1t+Dcosω2t

(9)

其中

(10)

由式(7)、(8)、(10)可知，當ωz、ωθ數(shù)值相近時，可以滿足ω1與ω2相差不大，且ω1-ω2與ω1+ω2的比值很小的條件，由于ω1與ω2的方程較為復雜，而ωz與ωθ更易計算，因此，可以通過比較ωz、ωθ的數(shù)值，更方便地判斷韋氏擺的豎直振蕩與水平振蕩是否會出現(xiàn)振幅隨時間發(fā)生強弱周期性變化.

2 實驗探究

2.1 實驗裝置及參數(shù)測量

如圖3所示，選用中間為100 g的砝碼、兩側(cè)為1 g的砝碼和質(zhì)量為0.4 g的木板作為韋氏擺的擺錘，改變兩側(cè)小砝碼的位置以改變振子的轉(zhuǎn)動慣量.選用各參數(shù)如表1所示的螺旋彈簧進行實驗,計算得彈簧的勁度系數(shù)為k=2.518 N/m，扭轉(zhuǎn)系數(shù)為δ=1.521×10-4.使用熱熔膠槍使螺旋彈簧的下端與擺錘固定，螺旋彈簧的上端通過鐵架臺固定.為了觀察振子的運動情況及記錄參數(shù)，設(shè)置雙機位拍攝，仰視機位于韋氏擺的正下方，用于記錄韋氏擺水平方向的運動，正視機位于韋氏擺平衡位置所處的水平面中，用于記錄韋氏擺豎直方向的運動.將拍攝到的視頻導入tracker軟件中進行打點分析，得出韋氏擺的振動曲線.考慮到螺旋彈簧并非輕質(zhì)彈簧，在計算ωz、ωθ時，質(zhì)量m取擺錘質(zhì)量加三分之一的彈簧質(zhì)量，轉(zhuǎn)動慣量取擺錘的轉(zhuǎn)動慣量加三分之一的彈簧轉(zhuǎn)動慣量.

圖3 實驗裝置實拍圖

2.2 探究擺錘轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺耦合狀態(tài)影響

2.2.1 強耦合狀態(tài)

實驗曲線

2.2.2 弱耦合狀態(tài)

當ωz、ωθ的數(shù)值差距增大時，韋氏擺的豎直振蕩的振幅或水平振蕩的振幅隨時間發(fā)生強弱周期性變化程度減弱.調(diào)整圖3中小砝碼的位置，當擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為6.532×10-6kg·m2時，ωz=4.908 rad/s、ωθ=4.825 rad/s，ωz、ωθ的數(shù)值差距增大，韋氏擺的耦合狀態(tài)會相比強耦合狀態(tài)減弱.同樣以僅給予初始伸長量的方式啟動韋氏擺(即給予豎直方向一定的能量)，并獲取豎直方向和水平方向的運動曲線，如圖5(a)所示，當韋氏擺水平振動振幅達到最大時，豎直振動振幅到達最小值但不為零；當韋氏擺水平振動振幅達到最小時，豎直振動振幅到達最大值，即當水平方向的能量達到最大時，豎直方向的能量不為零，即豎直方向的能量向水平方向的能量轉(zhuǎn)移不完全，因此，在該實驗的條件下，兩個方向的運動的相互影響程度較弱，故稱為弱耦合狀態(tài).

同樣將測量所得的實驗參數(shù)代入到z(t)和θ(t)的方程中，并繪制出該條件下的理論曲線，其中耦合系數(shù)ε=0.002 52.圖5(b)為韋氏擺豎直振動振幅z(t)與水平振動振幅θ(t)的理論曲線.將繪制出的理論曲線與實驗曲線進行對比，在t=10 s和t=30 s左右，韋氏擺的豎直振蕩振幅均達到最小值，大約為1.8 cm，水平振蕩振幅均達到最大；在t=20 s左右，韋氏擺的豎直振蕩振幅均到達最大值，水平振蕩振幅均為0.實驗曲線與理論曲線中在一個“拍”內(nèi)，豎直運動和水平運動均為振蕩16次.理論與實驗符合良好.

實驗曲線

2.2.3 近似不耦合狀態(tài)

當擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為15.215×10-6kg·m2時，ωz=4.908 rad/s、ωθ=3.162 rad/s，ωz、ωθ的數(shù)值差距明顯，韋氏擺的豎直振蕩的振幅與水平振蕩的振幅不再出現(xiàn)隨時間發(fā)生強弱周期性變化的情況.觀察實驗現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)，韋氏擺僅發(fā)生上下振動與水平轉(zhuǎn)動中的一種運動，即給予韋氏擺一個豎直拉伸并靜止釋放后，韋氏擺僅做豎直振動，幾乎不發(fā)生繞軸旋轉(zhuǎn)；當給予韋氏擺一個水平旋轉(zhuǎn)角度并靜止釋放后，韋氏擺僅做繞軸旋轉(zhuǎn)，幾乎不發(fā)生豎直振動，即水平方向的能量幾乎不向豎直方向轉(zhuǎn)換，豎直方向的能量幾乎不向水平方向轉(zhuǎn)移，因此，在該實驗的條件下，兩個方向的運動幾乎不相互影響，故稱為近似不耦合狀態(tài).將測量得到的實驗參數(shù)代入到z(t)和θ(t)的方程中，并用Matlab繪制出理論曲線，由于實驗中并沒有觀察到振幅周期性變化的現(xiàn)象，無法獲取“拍”周期對耦合常數(shù)進行測量，代入耦合系數(shù)ε=0.002 52進行擬合，如圖6所示，可以觀察以給予豎直伸長量的方式啟動時，水平振蕩的最大振幅很小，并且考慮到實際實驗中存在阻尼作用，因此幾乎觀察不到該種運動的出現(xiàn).

圖6 近似未耦合狀態(tài)理論曲線

2.2.4 轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺運動的影響分析

下面探究擺錘的轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺的水平振蕩的影響.以僅給予豎直初始伸長量的方式啟動韋氏擺，隨著擺錘轉(zhuǎn)動慣量的增加，韋氏擺的水平振蕩曲線如圖7所示.圖7(a)為擺錘的轉(zhuǎn)動慣量為7.664×10-6kg·m2的旋轉(zhuǎn)角度隨時間變化曲線，可以看出曲線的線條較為密集，若多條類似的曲線重疊在一起難以分辨，因此，圖7(b)繪制出旋轉(zhuǎn)角度隨時間運動曲線的包絡(luò)線.

7.664×10-6 kg·m2旋轉(zhuǎn)角度隨時間變化曲線

圖8 扭轉(zhuǎn)振蕩頻率與轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系圖

2.3 實驗探究強耦合狀態(tài)下初始條件韋氏擺運動狀態(tài)的影響

在強耦合狀態(tài)下研究彈簧初始伸長量對韋氏擺運動狀態(tài)的影響.以僅給予韋氏擺初始伸長量的方式啟動韋氏擺，改變初始伸長量，探究初始伸長量對韋氏擺運動的影響.獲取運動曲線圖，如圖9所示.

初始伸長量為3.20 cm的豎直運動曲線

圖9(a)為初始伸長量為3.20 cm的實驗條件下的韋氏擺豎直運動曲線，多條類似的曲線重疊會難以分辨，因此同樣繪制出豎直運動曲線的包絡(luò)線便于觀察，如圖9(b)所示.由圖9(b)可見，當給予韋氏擺不同的初始伸長量時，韋氏擺的振動頻率幾乎沒有發(fā)生變化，而初始伸長量越大，韋氏擺的振動振幅越大.

由對強耦合情況的分析可知，韋氏擺豎直振動振幅z(t)與水平振動振幅θ(t)隨時間t變化曲線的形狀及規(guī)律相同，因此僅對豎直振蕩曲線進行分析，以方程(4)即z(t)中的系數(shù)A、B作為研究對象進行探究.將視頻導入到tracker中逐幀打點獲得韋氏擺的豎直運動曲線.對豎直運動曲線進行傅里葉變換，得到z(t)中的ω1和ω2，將得到的兩個數(shù)據(jù)作為初始值對運動曲線進行擬合得到對應(yīng)的系數(shù)A和B，以獲取更加準確的數(shù)據(jù).

在此對所使用的擬合曲線進行說明.在實驗過程中，由于空氣阻力、鐵架臺固定端的輕微振動、韋氏擺發(fā)生橢圓擺運動等因素影響，韋氏擺的最大振幅會出現(xiàn)衰減現(xiàn)象，但是如果詳細考慮各因素的影響，僅空氣阻力就存在兩個阻尼系數(shù)，理論分析將會十分復雜，因此對這些因素的影響進行簡化，只考慮振幅的指數(shù)衰減，而忽略阻尼對振蕩頻率的影響，即使用z(t)=[Acos(ω1t)+Bcos(ω2t)]e-βt對運動曲線進擬合[4].

為驗證假設(shè)的合理性，繪制出韋氏擺運動過程豎直振蕩頻率隨時間的變化圖像，由于視頻拍攝的幀率為50幀/s，獲取的振蕩周期存在一幀左右的誤差，即0.02 s左右的誤差，由圖10可知，在誤差允許的范圍內(nèi)，振蕩頻率沒有隨時間發(fā)生明顯的變化，因此認為假設(shè)是合理的.

圖10 頻率散點圖

對方程(5)、(6)進行分析，由ω1、ω2、ωz、ωθ的方程可知，當韋氏擺系統(tǒng)中的彈簧和擺錘確定后，ω1、ω2、ωz、ωθ便相應(yīng)確定，它們的數(shù)值均與初始伸長量z0無關(guān)，因此由方程(5)、(6)可知初始伸長量與疊加系數(shù)A、B均呈一次函數(shù)關(guān)系，將實驗參數(shù)代入理論公式(5)、(6)中，得到圖11(a)、(b)中的實線，即理論曲線，實驗數(shù)據(jù)與理論曲線擬合較好.

系數(shù)A

2.4 誤差分析

在進行實驗探究初始伸長量對韋氏擺運動行為的影響時，在給予韋氏擺初始伸長量的同時，可能會同時給予韋氏擺初始旋轉(zhuǎn)角度，但是這個初始旋轉(zhuǎn)角度在5度以內(nèi)對實驗探究結(jié)果影響較小；并且在實驗中韋氏擺在水平方向上不僅是繞軸旋轉(zhuǎn)，還會發(fā)生圓錐擺運動，本文進行了多次實驗，選取橢圓擺運動幅度較小的實驗進行分析處理，但是后續(xù)也可以進行韋氏擺系統(tǒng)的三維分析，對橢圓擺運動加入研究.當擺錘較重時，鐵架臺的固定端也會發(fā)生小幅度的振動，對實驗的影響較小.

3 結(jié)論

本文利用分析力學對韋氏擺的運動進行了理論分析.研究發(fā)現(xiàn)，耦合系數(shù)決定了韋氏擺豎直和水平兩個方向運動的耦合程度，而耦合系數(shù)與擺錘的豎直方向運動振動頻率和水平方向的旋轉(zhuǎn)振蕩頻率有關(guān)，即耦合系數(shù)與擺錘的轉(zhuǎn)動慣量、質(zhì)量和彈簧的外徑、線徑、材料有關(guān).實驗研究了擺錘轉(zhuǎn)動慣量對韋氏擺耦合狀態(tài)的影響.通過實驗驗證了增大擺錘轉(zhuǎn)動慣量，韋氏擺會出現(xiàn)三種不同的耦合狀態(tài)，并從能量角度分析了三種耦合狀態(tài)的本質(zhì)區(qū)別.通過將韋氏擺的實驗運動曲線與理論運動曲線對比，驗證了理論的正確性.驗證了韋氏擺的豎直振動頻率及水平旋轉(zhuǎn)頻率與擺錘的轉(zhuǎn)動慣量近似成反比，與初始啟動條件無關(guān).初始條件決定了韋氏擺的振蕩振幅，但是不改變韋氏擺的運動狀態(tài)，初始伸長量越大，韋氏擺振蕩的最大振幅越大.

致謝：感謝南京師范大學物理競賽指導團隊張開楊、莊偉、俞之舟、袁啟榮老師在課題研究中的指導，感謝郭嘉鈺、張玲、徐蕾、楊友為等同學對該課題研究的幫助.