周運(yùn)清,黃文濤
(浙江海洋大學(xué) 信息工程學(xué)院物理系,浙江 舟山 316022 )
最近,周文平、劉奕帆和宋鐵磊3位同行發(fā)表了題為《由留數(shù)定理求解的兩類無窮積分》的文章,該文討論了兩類通過留數(shù)定理可以求解的無窮積分,一類是實(shí)軸上無奇點(diǎn)的情況,另一類是實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情況[1,2],這兩類積分很有代表性,且推導(dǎo)過程詳細(xì),思路清晰,適合在教學(xué)過程中采用,非常有教學(xué)意義. 基于上述原因, 我們想進(jìn)一步談?wù)勥@兩類積分,主要從兩方面來討論,一是對(duì)兩類積分的積分過程進(jìn)行簡化和必要說明,厘清問題的本質(zhì),便于以后碰到類似問題能靈活處理;二是通過多值函數(shù)的方法[3],把兩類積分的適用范圍進(jìn)行拓展,即n由大于1的整數(shù)拓展為大于1的實(shí)數(shù),最后可讓學(xué)生在課堂上把2種方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較,看是否能相互印證,這樣對(duì)兩類積分的理解會(huì)更全面和深刻.
對(duì)于這類積分,積分范圍內(nèi)無奇點(diǎn),可以證明該積分對(duì)于n>1收斂,即
(1)
(2)
圖1 積分回路
而回路積分由2段直線段和圓弧構(gòu)成,因而又可以寫為3部分積分之和,即
(3)
(4)
由式(4)可推得
(5)
值得注意的是,在上述推導(dǎo)過程中,n≥2,且為整數(shù),對(duì)于n為非整數(shù)不適用.本小節(jié)在利用留數(shù)定理的推導(dǎo)過程中,僅要求n為大于1的整數(shù),且說明了為什么要取圖1這樣的積分路徑, 其他路徑可讓學(xué)生自己去練習(xí),并對(duì)比了幾種路徑計(jì)算所需的工作量.
(6)
而回路由幾部分構(gòu)成,可寫成如下各部分積分之和:
(7)
圖2 積分回路
由于
因而由小圓弧引理和大圓弧引理可得
因而由式(7)可得
(8)
由式(6)與式(8)可推得
(9)
從而得到積分I1的結(jié)果:
(10)
(11)
圖3 積分回路
而回路積分由4段直線段,兩個(gè)半圓周和一個(gè)大圓弧構(gòu)成,因而又可以寫為7部分積分之和,即
(12)
當(dāng)δ→0時(shí),則在C0δ上有
(13)
由小圓弧引理可得
同理在C1δ上有
(14)
所以當(dāng)r→+∞,δ→0時(shí),由式(11)—式(14)得
(15)
從而有
(16)
式(16)中要求n>1的整數(shù),本節(jié)和1.1節(jié)的差異在于積分路線上存在奇點(diǎn),處理方法為以奇點(diǎn)為圓心且半徑無限小的半圓繞過奇點(diǎn),半圓的積分值可由小圓弧引理或留數(shù)定理來計(jì)算.
f′2(z)dz=0
(17)
而
(18)
圖4 積分回路
由于
(20)
因而由小圓弧引理和大圓弧引理可得
(21)
(22)
由式(17)、式(18)、式(21)、式(22)可得
(23)
最終求得
(24)
本節(jié)思路與1.2節(jié)類似,只是在積分路線上有奇點(diǎn),處理方法與2.1節(jié)方法相同.值得注意的是,割線上岸任一點(diǎn)的輻角規(guī)定為2kπ,則按積分回路的繞向,下岸任一點(diǎn)的輻角為2(k+1)π,這樣也可求得I2,這種情況可留作學(xué)生自行練習(xí),對(duì)多值函數(shù)的理解會(huì)有好處.