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        LPIC中的歸一化與洛倫茲變換

        2022-09-28 01:11:38李夢超
        大學(xué)物理 2022年9期
        關(guān)鍵詞:實驗室

        李夢超,劉 巧

        (1.贛南師范大學(xué) 低溫等離子體技術(shù)研究所,江西 贛州 341000;2. 南昌大學(xué) 第二附屬醫(yī)院,江西 南昌 330000)

        PIC的英文全稱為Particle In Cell,是一種將物理量近似到網(wǎng)格格點上進(jìn)行計算的一種方法.PIC在等離子體物理仿真領(lǐng)域獲得快速發(fā)展,尤其是在激光等離子體相互作用仿真上[1-12].LPIC是Laser plasma interaction simulation via Particle In Cell code的縮寫,即利用PIC進(jìn)行激光等離子體相互作用仿真.等離子體仿真涉及大量粒子,舉例來說,在分子直徑數(shù)量級為10-10m時,則 1 cm3的空間中,分子數(shù)量約為1024個.如果給每個分子都賦予速度和位置等參量,并用雙精度格式(8 bytes)存儲,則該數(shù)量的分子在電腦中所占的內(nèi)存約為6*8*1024bytes,約4.8*1013TB.可見,僅僅是1 cm3的空間,且僅考慮粒子的速度和位置,其數(shù)據(jù)量也是非常驚人的,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出現(xiàn)在計算機的處理能力.因此,對大數(shù)量粒子進(jìn)行仿真,需要做近似處理.比如,利用一個粒子代替幾千甚至幾萬個分子,即超級粒子;將空間用網(wǎng)格劃分,將分布的粒子分配至每個網(wǎng)格上,通過計算網(wǎng)格格點來獲得電磁場等,然后再作用于空間粒子,使粒子前進(jìn),即網(wǎng)格法;為節(jié)省計算內(nèi)存和時效,還需對計算機處理的物理量做特殊處理,例如歸一化處理.

        1 歸一化的定義

        歸一化處理是將真實的物理量除以某個數(shù)值后再輸入計算機程序進(jìn)行計算,計算機計算完后,再對輸出的數(shù)據(jù)做反歸一化處理,得到真實的物理量.舉例來說,某個超級粒子具有電荷量q=1.602 189 2×10-16C,質(zhì)量m=9.109×10-28kg.對其進(jìn)行歸一化處理:qN=q/e,mN=m/me.qN和mN為歸一化量,e為電子電荷量,me為電子的靜止質(zhì)量.歸一化處理后輸入計算機中進(jìn)行計算的是qN=1 000,mN=1 000.顯然,歸一化處理將大大節(jié)省計算機內(nèi)存和計算時間.然而即使做出上述超級粒子、網(wǎng)格處理、歸一化處理等,等離子體的PIC仿真計算依然耗費大量時間.根據(jù)以往經(jīng)驗,對于二維LPIC程序,采用二百核心以上的大型服務(wù)器,一般計算時間為數(shù)周甚至數(shù)月.

        物理量歸一化處理后,相應(yīng)的物理公式也要做相應(yīng)變化.這里我們討論LPIC中的入射激光參與歸一化后不同坐標(biāo)系間的洛倫茲變換做出的對應(yīng)改變.通過這些討論,希望給高年級大學(xué)生、研究生及科研工作者等提供參考.

        2 如何歸一化

        本文采用國際單位制,歸一化采用單位為:xN=x/λ,tN=t/T,vN=v/c,qN=q/e,mN=m/me,pN=p/m0c,EN=eE/mewc,BN=eB/mew,ρN=ρ/enc,JN=J/encc.這里用物理量添加下標(biāo)N表示其被歸一化后,λ為入射激光波長,T為入射激光周期,c為光速,e為電子電荷量,me為電子的靜止質(zhì)量,m0為靜止質(zhì)量,w為入射激光角頻率,nc=w2meε0/e2為粒子密度歸一化單位.本文的歸一化與參考文獻(xiàn)[7]和[8]是一致的,參考文獻(xiàn)[1]和[9]中的歸一化是針對非相對論情況的,與本文不同.當(dāng)然,等離子體仿真中的歸一化沒有標(biāo)準(zhǔn)格式,這取決于仿真人員的考量.舉例來說,對坐標(biāo)x進(jìn)行歸一化,在激光等離子體仿真中多采用激光波長λ,如參考文獻(xiàn)[7-8,13-15]和本文;對某些等離子體仿真,歸一化可采用網(wǎng)格長度,例如參考文獻(xiàn)[1]和[9];對于宇宙空間仿真,則需要視仿真尺度來定.

        本文討論的坐標(biāo)系沿坐標(biāo)軸Y方向運動,采用復(fù)數(shù)形式的洛倫茲變換矩陣a[5,6]:

        (1)

        本文采用激光在運動坐標(biāo)系中正入射的情況,其在運動系中對應(yīng)的四維波矢量KM為

        (2)

        上標(biāo)M表示物理量位于運動坐標(biāo)系內(nèi),上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置矩陣.之所以采用列矩陣表示四維矢量,是為了方便用矩陣運算的語言描述洛倫茲變換.激光在運動系中沿x方向正入射,相應(yīng)實驗室系下的四維波矢量為KL=(k0/γ,βk0,0,iw0/c)T,上標(biāo)L表示物理量位于實驗系內(nèi),w0為實驗室系內(nèi)的入射激光角頻率.洛倫茲變換中的參數(shù)γ和β之間滿足

        (3)

        k0為實驗室系下入射激光波矢量.角頻率wM=w0/γ,周期TM=γTL,波長λM=γλL.入射激光的λ、T、w均參與歸一化.

        四維空間矢量X=(x,ict)T的洛倫茲變換式為XM=aXL,其歸一化與激光波長λ和周期T有關(guān),即yN=y/λ,tN=t/T,將歸一化與洛倫茲變換結(jié)合得

        yM=γyL-βγctL,

        (4)

        上式(4)中的箭頭?表示推導(dǎo)可得,同理可推導(dǎo)出其它3個歸一量的洛倫茲變換關(guān)系:

        (5)

        四維動量矢量P=(γm0u,iγm0c)T=(p,iW/c)T.動量的歸一化為pN=p/m0c,實驗室系至運動系的洛倫茲變換為PM=aPL,帶入得y方向歸一化動量的洛倫茲變換為

        (6)

        (7)

        同理x與z方向歸一化動量的洛倫茲變換為

        (8)

        (9)

        同理可獲得其它3個歸一化分量的洛倫茲變換為

        (10)

        四維電磁場張量F的歸一化分別采用EN=eE/mewc和BN=eB/mew,結(jié)合洛倫茲變換公式FM=aFLaT,x方向歸一化電場的變換式為

        (11)

        同理可獲得其它幾個分量的洛倫茲變換:

        (12)

        上述討論了部分歸一化物理量由實驗室系向運動系的洛倫茲變換,可以看出,由于歸一化與入射激光有關(guān),歸一化量的洛倫茲變換也與入射激光有關(guān).由運動系至實驗室系的洛倫茲變換在參考文獻(xiàn)[7]、[8]中已有相關(guān)描述,這里我們補充四維空間矢量X、四維速度矢量U、電磁場張量F的變換形式.

        由運動系至實驗系,四維空間矢量X的洛倫茲變換為XL=aTXM,歸一化處理后的洛倫茲變換如下式(13)所示,可以看出其與式(4)、式(5)有明顯差異.

        (13)

        由運動系至實驗室系,四維速度矢量U=(γu,iγc)的洛倫茲變換為UL=aTUM.需要注意的是,iγc這一項的歸一化處理為除以光速c,其歸一化后對應(yīng)的洛倫茲變換為

        (14)

        對Ux分量進(jìn)行洛倫茲變換后并帶入上述式(14)可求解ux的洛倫茲變換為

        (15)

        最終可得速度歸一化后的洛倫茲變換為

        (16)

        由運動系至實驗室系,四維電磁場張量F的洛倫茲變換為FL=aTFMa,其歸一化的求解與上述相似,這里我們直接給出,可以看出其與式(11)、式(12)有明顯差異,即

        (17)

        (18)

        3 結(jié)論

        通過上述討論可以看出,歸一化量的洛倫茲變換與歸一化采用的參數(shù)有關(guān).在上述LPIC程序中,歸一化量的洛倫茲變換與入射激光有關(guān).這里需要注意的是,上述入射激光在移動坐標(biāo)系中正入射,若采用其它角度入射,例如在實驗室系下正入射,歸一化量的洛倫茲變換將會與上述方程不同,上述方程式并不具有廣泛的適用性.但上述歸一化量洛倫茲變換的推導(dǎo)方法是具有適用性的.不僅在激光等離子體相互作用仿真程序中需進(jìn)行歸一化處理[13-16],在其它仿真計算中,歸一化處理也能大大節(jié)省計算內(nèi)存和時效,這時便可參考上述處理方法開展洛倫茲變換或者其它方程的推導(dǎo).

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