王海楠，文 莉，程建蘭，熊露霖，羅 光

(重慶師范大學(xué)物 理與電子工程學(xué)院，重慶 401331)

超對稱量子力學(xué)于1981年由Witten一經(jīng)提出[1]，就受到人們的廣泛關(guān)注，并且超對稱思想很快就被應(yīng)用到諸如場論等其他領(lǐng)域[2-4]. 超對稱量子力學(xué)及其勢代數(shù)形式在討論薛定諤方程的求解時(shí)也有重要應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)精確求解的一種非常重要的方法[4，5]. 目前，各種勢約束下的薛定諤方程的精確求解或者準(zhǔn)精確求解問題一直以來都是量子力學(xué)中特別關(guān)注的問題[6-11]，而基于超對稱量子力學(xué)，能夠求解的勢約束下的薛定諤方程多達(dá)十幾種[3，10，12]. 這些勢主要有諧振子勢、庫侖勢、Morse勢、Rosen-Morse勢、Scarf勢、Eckart勢、P?sch-Teller 勢等[3，8].

庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解也是量子力學(xué)中的經(jīng)典問題[13，14]，不過處理過程相對繁瑣.基于超對稱量子力學(xué)處理庫侖勢問題，過程和結(jié)果相當(dāng)簡潔明了[15，16].雖然如此，庫侖勢作用下的薛定諤方程的討論依然還有一些有待處理的問題，比如由于在r→0時(shí)，庫侖勢是發(fā)散的，一般是考慮采取截?cái)嗵幚韀17]；以及針對零能基態(tài)波函數(shù)中的軌道角動(dòng)量量子數(shù)l的取值，即l<-1時(shí)，波函數(shù)不滿足歸一化從而出現(xiàn)超對稱自發(fā)破缺.

本文基于超對稱量子力學(xué)方法，對庫侖勢作用下的薛定諤方程的求解做了進(jìn)一步討論.首先，針對給出了徑向方程和角向方程的形狀不變性關(guān)系和勢代數(shù)理論，導(dǎo)出了勢代數(shù)形式的形狀不變關(guān)系，滿足SO(2，1)群對稱性；然后討論了徑向波函數(shù)和角向波函數(shù)的斂散性，討論了系統(tǒng)出現(xiàn)的超對稱破缺，并且采用超對稱破缺系統(tǒng)的兩步形狀不變性，通過調(diào)整參數(shù)取值，重新獲得了伴隨勢遵循的形狀不變性.

1 超對稱量子力學(xué)簡介

為簡便計(jì)算，設(shè)?=2m=1，定態(tài)薛定諤方程的哈密頓量為

(1)

根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)[2-7]引入超勢W(x，a)，定義升降算符A+與A-：

(2)

體系的勢轉(zhuǎn)化為兩個(gè)伴隨勢V±(x，a)來描述：

(3)

且伴隨勢V±(x，a)之間滿足：

V+(x，a0)=V-(x，a1)+R(a0)

(4)

其中R(a0)是一個(gè)相加性常數(shù)，且a1=f(a0).形狀不變性也可以用升降算符A±(x，a)來表示：

A+(x，a0)A-(x，a0)-A-(x，a1)A+(x，a1)=R(a0)

(5)

相應(yīng)的伴隨哈密頓量為

(6)

(7)

以及相應(yīng)的能量本征值譜.

2 超對稱量子力學(xué)處理具有庫侖勢的薛定諤方程

庫侖勢作用下球坐標(biāo)定態(tài)薛定諤方程為[13，15]

(8)

設(shè)ψ=R(r)Y(θ，φ)分離變數(shù)后，得

(9)

(10)

進(jìn)一步分離Y(θ，φ)滿足的方程，令Y(θ，φ)=Θ(θ)Φ(φ)，得

(11)

[l(l+1)sin2θ-m2]Θ(θ)=0

(12)

令u(r)≡rR(r)，代入式(9)可得

(13)

再令sinθ=shz，代入式(12)，得

(l2-m2)Θ(z)

(14)

式(11)、(13)、(14)都可以用超對稱量子力學(xué)思想處理[3，6]，它們的超勢分別為:

W1(φ，m)=m，

W3(z，l)=lthz

(15)

滿足式(4)的形狀不變關(guān)系分別為:

(16)

(17)

(18)

根據(jù)式(7)，可得出式(11)、(13)和(14)對應(yīng)的零能基態(tài)波函數(shù)：

(19)

(20)

(21)

其中，N1、N2和N3為歸一化系數(shù).可以依據(jù)式(2)的升降算符作用到上述基態(tài)波函數(shù)上，可得出對稱形式的伴隨哈密頓量的本征波函數(shù).

3 形狀不變性的勢代數(shù)形式

[J3，J+]=J+和[J3，J-]=-J-

(22)

這樣的性質(zhì).另外算符J+、J-和J3還有以下的性質(zhì)：

(23)

而且J±也滿足對易關(guān)系：

[J+，J-]=f(J3)

(24)

式(24)即為勢代數(shù)情形下的形狀不變性關(guān)系.根據(jù)f(J3)，可以確定系統(tǒng)具有的對稱性[11].

3.1 徑向方程代數(shù)形式的形狀不變性關(guān)系

(25)

可以計(jì)算出

(26)

選擇k=-1，形狀不變性的勢代數(shù)形式最簡單

(27)

即為徑向方程式(13)對應(yīng)的形狀不變關(guān)系.

3.2 Θ(z)滿足的方程的代數(shù)形式的形狀不變性關(guān)系

Θ(z)滿足的方程為式(14)，其超勢為W3(z，l)=lthz，再據(jù)a0=-l，a1=-l+1可確定s=1，用k-J3替換-l，對應(yīng)的J+與J-分別為

(28)

可以計(jì)算出

[J+，J-]=2(k-J3)+1

(29)

選擇k=-1，形狀不變性的勢代數(shù)形式最簡單：

[J+，J-]=-2J3

(30)

即為式(14)勢代數(shù)描述下的形狀不變關(guān)系，且滿足SO(2，1)群對稱性.

3.3 Φ(φ)滿足的方程的代數(shù)形式的形狀不變性關(guān)系

Φ(φ)滿足的方程為式(11)，其超勢為W3(φ，m)=m，再根據(jù)a0=m，a1=m+1可確定s=1，用k-J3替換m，對應(yīng)的J+與J-分別為

(31)

可得出J+與J-的對易關(guān)系為

[J+，J-]=2(k-J3)+1

(32)

[J+，J-]=-2J3

(33)

即為常微分方程式(11)勢代數(shù)描述下的形狀不變關(guān)系，且系統(tǒng)滿足SO(2，1)群對稱性.

4 庫侖勢的超對稱自發(fā)破缺討論

4.1 徑向方程波函數(shù)的超對稱自發(fā)破缺

(34)

(l+1)(l+2)=a1(a1+1)

(35)

可解得a1=l+1，式(17)的形狀不變性就是選擇的這個(gè)取值.式(35)還有另一個(gè)解a1=-l-2，如果針對l<-1的情形，我們發(fā)現(xiàn)-l-2≥0，代入式(34)，此時(shí)波函數(shù)恰好又是收斂了，自發(fā)破缺問題解決了.因此，選擇a1=-l-2，依然有

(36)

只不過這是調(diào)整參數(shù)后的形狀不變形式.根據(jù)超對稱量子力學(xué)，易算得

(37)

利用迭代思想，可計(jì)算出整個(gè)能譜和本征波函數(shù).

(38)

可以計(jì)算出

(39)

(40)

即為徑向方程(9)出現(xiàn)超對稱自發(fā)破缺后，采用兩步法調(diào)整參數(shù)后轉(zhuǎn)變?yōu)闈M足超對稱關(guān)系的對應(yīng)的形狀不變關(guān)系的勢代數(shù)形式.

4.2 Θ(z)滿足的方程波函數(shù)的超對稱自發(fā)破缺

根據(jù)式(7)，把W3(z，l)=lthz代入，可得零能基態(tài)波函數(shù)為

(41)

l(l-1)=a1(a1+1)

(42)

可解得a1=l+1，式(18)的形狀不變性就是選擇的這個(gè)取值.式(41)還有另一個(gè)解a1=-l，如果針對l<-1的情形，我們發(fā)現(xiàn)-l>0，代入式(41)，此時(shí)雖然波函數(shù)恰好又是收斂了，似乎自發(fā)破缺問題解決了，但是由于a1=-l與a0=l之間并未表現(xiàn)出加性特征，所以不滿足形狀不變性.因此利用形狀不變性和勢代數(shù)法無法處理這種同譜勢問題.

5 總結(jié)

基于超對稱量子力學(xué)研究了庫侖勢約束下的薛定諤方程經(jīng)分離變數(shù)后的徑向以及角向方程的勢代數(shù)法求解.首先，對超對稱量子力學(xué)做了簡介，然后，依據(jù)庫侖勢的超勢得出伴隨勢的形狀不變性，進(jìn)而得到零能量本征值和本征波函數(shù)；第三，基于勢代數(shù)法討論了庫侖勢約束下的徑向以及角向方程勢代數(shù)形式的形狀不變關(guān)系；最后，針對波函數(shù)中l(wèi)的取值情況，討論了徑向波函數(shù)出現(xiàn)超對稱自發(fā)破缺以后，通過參數(shù)調(diào)整的兩步法進(jìn)而解決了超對稱破缺的問題.