高閣

從力學(xué)角度淺談平面機(jī)構(gòu)傳動角的求解

高閣

（江蘇科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100）

機(jī)構(gòu)傳動角常用來判斷平面機(jī)構(gòu)的傳力性能，但現(xiàn)有教材并未直接給出傳動角的定義，而需要依賴壓力角求解，容易產(chǎn)生歧義性從而造成學(xué)生理解和運(yùn)用的困難。本文從力學(xué)的角度出發(fā)解析傳動角的實(shí)際物理含義，引入有效/無效驅(qū)動力的概念，在保證教材傳動角原主體定義不變的前提下通過補(bǔ)充說明給出了傳動角的準(zhǔn)確定義，并基于該途徑給出了常用機(jī)構(gòu)的傳動角的求法。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了最小傳動角的求解。通過若干實(shí)例表明該定義方式簡單明了、具有唯一性，更加容易被學(xué)生接受及使用，完善了機(jī)械設(shè)計教材中的相應(yīng)基本概念。

傳動角；壓力角；力學(xué)

壓力角和傳動角是機(jī)械設(shè)計中的重要參數(shù)，它們直接影響機(jī)械傳動效率和是否發(fā)生自鎖。在連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計中，除了要滿足運(yùn)動要求外，還應(yīng)具有良好的傳力性能，以減小結(jié)構(gòu)尺寸和提高機(jī)械效率。為了度量方便，工程上習(xí)慣用傳動角來判斷傳力性能。根據(jù)傳動角理論，通常傳動角越大，表明機(jī)構(gòu)傳力效果越好，效率越高；反之，越小，機(jī)構(gòu)傳力越費(fèi)勁，傳動效率越低[1]。機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時，傳動角是變化的，為了保證機(jī)構(gòu)正常工作，避免傳動效率過低并防止機(jī)構(gòu)出現(xiàn)自鎖現(xiàn)象，工程上必須規(guī)定最小傳動角min的下限。對于一般機(jī)械，通常取min≥40°。對于大功率機(jī)械，可取min≥50°；對于小功率的控制機(jī)構(gòu)和儀表或不常使用的操縱機(jī)構(gòu)，min可略小于40°，只要不發(fā)生自鎖即可[2-4]。

雖然傳動角理論在機(jī)構(gòu)學(xué)中應(yīng)用廣泛，但目前大部分教材對傳動角的定義采用間接的形式，即“壓力角的余角為傳動角”[3,5-6]。由于傳動角的存在依賴于壓力角而并未直接給出，學(xué)生們在使用作圖法求解時中常常面臨壓力角有兩個余角的情況，因而求得的傳動角不具有唯一性，無法確定哪個才是正確的。針對該問題，一些學(xué)者提出傳動角的新定義以確保該物理量的唯一性，但其與教材現(xiàn)有定義差別較大[7-8]。為解決上述問題，本文力圖采用追本溯源的思路，從力學(xué)本質(zhì)出發(fā)揭示傳遞角的物理含義，力求在不改變傳統(tǒng)教材傳動角定義主體的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充說明來確保其求解的唯一性、正確性，最終目的為方便學(xué)生在應(yīng)用圖解法時高效、快速得出機(jī)構(gòu)的傳動角，且結(jié)果簡單可靠，便于掌握和使用。

1 傳統(tǒng)傳動角定義的模糊性

現(xiàn)有教材及教學(xué)方法求傳動角的方式是先通過作圖法求出機(jī)構(gòu)的壓力角，然后再求其余角得到傳動角。以圖1的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，若不考慮各運(yùn)動副中的摩擦力及構(gòu)件重力和慣性力的影響，則由主動件經(jīng)連桿傳遞到從動件上點(diǎn)的力將沿方向，而力與點(diǎn)速度正向之間的夾角（銳角）稱為機(jī)構(gòu)在此位置時的壓力角（pressure angle）。在連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計中，為了度量方便，習(xí)慣將壓力角的余角稱為機(jī)構(gòu)在此位置時的傳動角（transmission angle）[9-11]。傳動角g愈大，對機(jī)構(gòu)的傳利愈有利。所以在連桿機(jī)構(gòu)中常用傳動角的大小及變化情況來衡量機(jī)構(gòu)傳力性能的好壞。

通常在實(shí)際使用時可以根據(jù)定義很容易得到壓力角，但由于其余角并不唯一，作圖時會出現(xiàn)圖1（a）、（b）兩種情況，此時的傳動角按照教材定義都是壓力角的余角，但實(shí)際上只有圖1（a）的畫法是正確的。出現(xiàn)該問題的直接原因是壓力角的余角不唯一，導(dǎo)致傳動角歧義，其背后的根本原因是由于現(xiàn)有教材并未直接給出傳動角的定義，而是依賴于壓力角間接定義，從而導(dǎo)致其概念的模糊性。需要指出的是，壓力角和傳動角是具有同等地位的結(jié)構(gòu)參數(shù)，在傳動角度上并不存在“依附”或“從屬”關(guān)系，只是在幾何上具有互余的關(guān)系。因此，為更好的理解二者的意義，有必要重新審視二者背后的力學(xué)本質(zhì)。

2 從力學(xué)角度審視傳動角的物理意義

機(jī)構(gòu)是用來傳遞力和運(yùn)動的構(gòu)件系統(tǒng)[5]，因此提出傳動角的初衷是因?yàn)樵撐锢砹勘阌诤饬繖C(jī)構(gòu)傳動性能的好壞，準(zhǔn)確來說，傳動角反映了驅(qū)動力和運(yùn)動方向一致性的程度。通常機(jī)構(gòu)在使用過程中，驅(qū)動力并不是全部作為有用功帶動從動件運(yùn)動，根據(jù)力學(xué)三角形法則，可以分解為有效驅(qū)動力和無效驅(qū)動力兩部分（這里包含有效/無效驅(qū)動力為0的特例）。以圖1（a）為例，驅(qū)動力可以正交分解為垂直于桿方向的分力F1和沿桿方向的分力F2，其中F1＝sin為有效驅(qū)動力，它帶動從動件桿繞點(diǎn)做往復(fù)擺動，而且越大，受力方向越接近運(yùn)動方向，因而F1越大，繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩越大，傳動就越有利；而豎直分力F2＝cos＝sin為無效驅(qū)動力，由于其方向垂直于從動件運(yùn)動方向，因而它不做功而只對其產(chǎn)生拉（壓）作用，且越小，受力方向越遠(yuǎn)離運(yùn)動方向，從而越大，該拉（壓）力越大。按照教材傳動角的物理含義可知，為該機(jī)構(gòu)的傳動角。與之相對的，假如按照圖1（b）所示作圖，則該傳動角的物理意義不明確。其中F1可部分視為有效驅(qū)動力，雖然其方向與速度方向共線做正功，但其數(shù)值大小無法直接用和來表達(dá)。此外，F2沒有實(shí)際物理含義，一方面由于其方向與速度方向并不垂直，無法直接視為無效驅(qū)動力。另一方面F1、F2和不滿足力學(xué)三角形法則，因而也無法單純將F1和F2與視為分力與合力的關(guān)系。綜上，該圖示所求的傳動角是錯誤的，其對應(yīng)的物理概念模糊，它無法根據(jù)本身數(shù)值大小來定性反映機(jī)構(gòu)的傳力性能好壞。

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)傳動角提出的工程背景及初衷，傳動角一定是可以直接反映機(jī)構(gòu)從動件驅(qū)動力和其運(yùn)動方向一致性程度的物理量，且越大，驅(qū)動力越接近運(yùn)動方向，因而有效驅(qū)動分量越大，無效驅(qū)動分量越小，機(jī)構(gòu)的傳動性能越好。而根據(jù)力學(xué)三角形法則特性，作圖時當(dāng)且僅當(dāng)驅(qū)動力位于傳動角和壓力角之間時，驅(qū)動力可以分解為有效驅(qū)動力和無效驅(qū)動力兩部分。因此，對于傳動角，在不改變傳統(tǒng)教材定義方式的前提下做如下補(bǔ)充以保證其求解的唯一性：壓力角的余角為傳動角，且兩者分別位于從動件驅(qū)動力的兩側(cè)。按照這種方法來重新定義傳動角，可以直接得出圖1（a）的傳動角正確、圖1（b）的傳動角錯誤的結(jié)論。該定義使得傳動角的物理意義更加明確，即傳動角反映了從動件驅(qū)動力與其運(yùn)動方向的接近程度，且越大時，兩者越接近，有效驅(qū)動力越大，所做有效功越多，機(jī)構(gòu)的傳動效率就越高。這種定義方式對傳統(tǒng)教材的定義做了有效地補(bǔ)充，避免了壓力角余角的不唯一性而導(dǎo)致傳遞角的歧義性、模糊性，同時該判斷法迅速快捷，簡單可靠，所得結(jié)果唯一。

3 采用新方法圖解常用機(jī)構(gòu)的壓力角/傳動角

為證明該定義的高效性，選取下列常用機(jī)構(gòu)，用作圖法求解其壓力角及傳動角。這里不考慮各運(yùn)動副中的摩擦力、構(gòu)件重力和慣性力的影響。

3.1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

圖2為一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，為曲柄，為連桿，為滑塊。在圖2（a）中，曲柄為主動件，滑塊為從動件。從動件驅(qū)動力方向沿桿，從動件速度方向水平向右，兩者間的夾角為壓力角。根據(jù)前面的定義可知，傳動角應(yīng)位于下側(cè)，如圖2（a）所示。在圖2（b）中，滑塊為主動件，曲柄為從動件。從動件驅(qū)動力方向沿桿，從動件速度方向垂直于桿，兩者間的夾角為壓力角，同樣傳動角需位于下側(cè)保證驅(qū)動力在兩者之間。

圖2 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)

3.2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)

圖3為一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，為機(jī)架，為曲柄，為搖桿，為連桿。需要注意，與圖1不同的是，桿為主動件，桿為從動件。因此壓力角作圖應(yīng)選擇在從動件桿的點(diǎn)。從動件驅(qū)動力方向沿著桿，從動件速度方向垂直桿，兩者間的夾角為壓力角。按照新定義傳動角應(yīng)為和桿件的夾角，從而保證和位于兩側(cè)，如圖所示。通過圖1和圖3的這兩個例子可以看出，當(dāng)機(jī)構(gòu)處在同一位置，若原動件和從動件的選取不同，則壓力角和傳動角可能不同，這是在學(xué)習(xí)過程中需要格外注意的。

圖3 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)

3.3 導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)

圖4為一導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)，為機(jī)架，為曲柄，為搖桿，為滑塊。在圖4（a）中，搖桿為主動件，曲柄為從動件。從動件驅(qū)動力方向垂直于桿，從動件速度方向垂直桿，其壓力角和傳動角如圖4（a）所示，從而保證和位于兩側(cè)；在圖4（b）中，曲柄為主動件，搖桿為從動件。從動件驅(qū)動力方向垂直于桿，速度方向也垂直于桿，因而壓力角＝0°，傳動角＝90°。需要特別指出的是，對于圖4（b）機(jī)構(gòu)，在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中壓力角與傳動角的大小是不變的，即壓力角≡0°，傳動角≡90°，因此其具有很好的傳力性能，常用在回轉(zhuǎn)式油泵、牛頭刨床、簡易插床等機(jī)械中。

圖4 導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)

通過上面的例子不難發(fā)現(xiàn)，按照新定義求解機(jī)構(gòu)傳動角時十分方便，只要將壓力角和傳動角分別列于從動件驅(qū)動力的兩側(cè)，所求的就是正確的傳動角。這里需要指出的是，雖然上述方法是基于平面四桿機(jī)構(gòu)推導(dǎo)出來的，但是該結(jié)論具有一般性，即可以適用于其他機(jī)構(gòu)，如凸輪機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)等。

3.4 凸輪機(jī)構(gòu)

圖5為一凸輪機(jī)構(gòu)，凸輪為主動件，尖端推桿為從動件。當(dāng)凸輪逆時針繞轉(zhuǎn)動時，推桿做往復(fù)直線運(yùn)動。從動件驅(qū)動力方向?yàn)檠厍€過接觸點(diǎn)的法向-，從動件速度方向沿桿，兩者的夾角為凸輪機(jī)構(gòu)的壓力角。類似的，傳動角如圖5繪制時保證位于和之間。為便于解釋說明，根據(jù)力學(xué)三角形法則將驅(qū)動力分解為水平分量2＝cos及豎直分量1＝sin，由于1和的方向一致，1對推桿做正功，為有效驅(qū)動分力，且越大，1越大，越利于推桿運(yùn)動；而2垂直于方向，只產(chǎn)生擠壓效果而做功為0，為無效驅(qū)動分力。因此，根據(jù)傳動角的物理定義，為該凸輪機(jī)構(gòu)的傳動角。

圖5 凸輪機(jī)構(gòu)

3.5 齒輪機(jī)構(gòu)

圖6為一齒輪機(jī)構(gòu)，2為主動輪齒，1為從動輪齒，兩者嚙合于點(diǎn)。當(dāng)2順時針轉(zhuǎn)動時，從動件1逆時針轉(zhuǎn)動，且其驅(qū)動力沿接觸處齒廓曲線的公法線-方向，從動件速度方向垂直于連線，兩者間的夾角為壓力角。為使位于和之間，傳動角必須位于的下側(cè)，如圖6所示。根據(jù)力學(xué)三角形法則，將驅(qū)動力分解為分量1和2，其中1＝sin為有效分力，2＝cos為無效分力。且越大，1越大，繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)矩越大，越利于從動輪齒2運(yùn)動，因而與其物理含義相一致，為該齒輪機(jī)構(gòu)的傳動角。

4 采用新方法求解平面連桿機(jī)構(gòu)最小傳動角

在生產(chǎn)中，不僅要求連桿機(jī)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)預(yù)定的運(yùn)動規(guī)律，而且希望運(yùn)轉(zhuǎn)輕便，效率較高。因此在進(jìn)行平面連桿機(jī)構(gòu)的分析和設(shè)計時，通常的做法求找出最小傳動角，通過將其最大化來保證機(jī)構(gòu)的力傳遞性能和效率。下面以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)為例，說明最小傳動角的求解方法。

圖6 齒輪機(jī)構(gòu)

按照傳統(tǒng)教材[3]用解析法求解機(jī)構(gòu)的最小傳動角min的位置時，不妨取任意時圖7的刻曲柄搖桿機(jī)構(gòu)所在位置，假設(shè)曲柄與水平軸的夾角為，根據(jù)教材定義可以畫出壓力角和傳動角?？梢钥闯龃藭rD和傳動角為對頂角，因此可以轉(zhuǎn)而求D的數(shù)值間接求出的大小

對于△，根據(jù)余弦定理則有：

同理，對于△，有：

由此可得：

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，D是的增函數(shù)當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角＝0°時，即桿位于1的位置時，得Dmin；而根據(jù)傳動角的定義可知，傳動角為銳角。若D在銳角范圍內(nèi)變化，如圖7所示，傳動角＝D，Dmin為傳動角極小值，即min＝Dmin；當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)角＝180°，即桿位于2的位置時，得Dmax。若D在鈍角范圍內(nèi)變化，傳動角＝180°－D，顯然Dmax為傳動角的另一個極小值，即min＝180°－Dmax。綜上所述，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最小傳動角必然出現(xiàn)在曲柄與機(jī)架共現(xiàn)（＝0°或＝180°）的位置，即：

上述步驟為傳統(tǒng)求解傳動角的思路。由上面過程可以看出，如果按照傳統(tǒng)解析法求解平面機(jī)構(gòu)最小傳動角時，需要始終“關(guān)注”D的變化趨勢，且需要分銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行分別討論，增加了分析求解的復(fù)雜性。此外，容易造成誤解的是，D并不是傳動角，Dmin（或Dmax）和最小傳動角min也不可等同而言，它們只是數(shù)值上在一定幾何關(guān)系（相等或互補(bǔ)）。因此，無法單純地將“連桿和從動件之間所夾的銳角∠＝稱為傳動角”。綜上，傳統(tǒng)教材的解析法只是給出了最小傳動角的數(shù)值，而并未在結(jié)構(gòu)簡圖中正確呈現(xiàn)最小傳動角的位置關(guān)系。

當(dāng)采用新途徑求解最小傳動角時，我們同樣可以畫出連桿機(jī)構(gòu)在位置時壓力角和傳動角，如圖8所示，通過觀察可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，在該位置時在驅(qū)動力的下側(cè)在驅(qū)動力的上側(cè)。根據(jù)二者的數(shù)值關(guān)系可知＝90°－，越大，越小，機(jī)構(gòu)傳力越費(fèi)勁，傳動效率越低。且當(dāng)從動桿逆時針轉(zhuǎn)動時，呈現(xiàn)減小趨勢呈現(xiàn)增大趨勢。因此當(dāng)曲柄位于1時，max＝1，min＝1為傳動角最小值，如位置11所示。又因?yàn)?i>和D為對頂角，因此min＝Dmin；另一方面，在該過程中，銳角逐漸向0靠攏此時若從動桿繼續(xù)逆時針轉(zhuǎn)動，應(yīng)該變?yōu)樨?fù)值。但是由于壓力角的定義為銳角，因此嚴(yán)格來說壓力角不能為負(fù)角度，反映在幾何上可以解釋為壓力角“反向”了，從而導(dǎo)致和的位置關(guān)系發(fā)生變化體現(xiàn)為在上在下，如圖中2位置所示。

圖7 解析法求解連桿機(jī)構(gòu)的最小傳動角

圖8 新途徑求解連桿機(jī)構(gòu)的最小傳動角

此時二者的數(shù)值關(guān)系為＝90°－|，當(dāng)從動桿持續(xù)逆時針轉(zhuǎn)動時，|呈現(xiàn)增大趨勢呈現(xiàn)減小趨勢。且當(dāng)曲柄位于2時，|max＝1，min＝2為傳動角最小值，如位置22所示。

通過上述曲柄搖桿機(jī)構(gòu)求解最小傳動角的例子不難看出，借用新途徑可以準(zhǔn)確地求解機(jī)構(gòu)在工作過程中的最小傳動角，且可以較好地描述出壓力角與傳動角的位置關(guān)系。此外，既可以定量地給出min的具體數(shù)值，同時也能定性地反映出傳動角角度的變化規(guī)律情況。

5 結(jié)語

本文從力學(xué)角度出發(fā)，分析了機(jī)構(gòu)傳動角提出的工程背景初衷及其物理含義，通過進(jìn)一步補(bǔ)充說明改進(jìn)了傳統(tǒng)教材中傳動角的定義，使得傳動角的物理意義清晰且唯一，避免了使用時產(chǎn)生的歧義性與模糊性。通過圖解法求解常見機(jī)構(gòu)傳動角的示例，表明了新定義的有效性與可靠性，同時該定義方法使用起來簡單明了，易于被接受和理解。

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On the Solution of the Transmission Angle of the Plane Mechanism from the Perspective of Mechanics

GAO Ge

(School of Mechanical Engineering, Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 212100, China)

The transmission angleis often used to judge the force transmission performance of planar mechanism. However, the definition of transmission angle is not given directly in the existing teaching materials. It depends on the solution of pressure angle, which produces ambiguity and makes it difficult for students to understand and use. This article aims at analyzing the actual physical meaning of the transmission angle from the perspective of mechanics. By introducing the concept of valid/invalid driving force, it gives the accurate definition of the transmission angle through supplementary explanations without changing the original definition in the teaching materials. Transmission angles of commonly used mechanisms are found through the new approach, which is simple and clear to ensure the uniqueness. What is more, how to find the solution of the minimum transmission angle via the new way is further discussed. Several examples verify that the definition is simple, clear and unique, which is easily accepted and used by students. It can help improve the corresponding basic concept in the mechanical design textbook.

transmission angle；pressure angle；mechanics

TH111

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.08.002

1006-0316 (2022) 08-0006-07

2021-08-10

江蘇省高等教育教學(xué)改革研究課題（2019JSJG532）

高閣（1988－），男，吉林樺甸人，博士，講師，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，E-mail：gaoge@just.edu.cn。