熊 朗，高紅亮，李小玲

(湖北師范大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，湖北 黃石 435002)

0 引言

伴隨著科技的飛速發(fā)展，對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)控制的深入研究也變得越來(lái)越重要。這是因?yàn)榉蔷€(xiàn)性系統(tǒng)存在于各個(gè)領(lǐng)域之中，尤其在工業(yè)領(lǐng)域無(wú)處不在，比如在汽車(chē)中就存在了很多非線(xiàn)性系統(tǒng)——減震系統(tǒng)[1]、剎車(chē)系統(tǒng)[2]、安全氣囊系統(tǒng)[3]和點(diǎn)火系統(tǒng)[4]等等。然而，由于非線(xiàn)性系統(tǒng)存在著不確定性，而且在一些特殊情況下無(wú)法估計(jì)其中的一些參數(shù)和函數(shù)，這也就使得對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究比較復(fù)雜。

劉曉瞳使用了動(dòng)態(tài)模糊邏輯控制的方法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的控制進(jìn)行了研究，該方法結(jié)合了自適應(yīng)控制和模糊邏輯控制的優(yōu)點(diǎn)，能對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行控制[5]。張春蕾等人研究了輸入飽和和輸出受限的純反饋非線(xiàn)性系統(tǒng),設(shè)計(jì)了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器[6]，最后通過(guò)仿真例子證明了控制方案的有效性。機(jī)械臂的非線(xiàn)性系統(tǒng)研究在智能控制領(lǐng)域有著極其重要的意義。文獻(xiàn)[7～9]介紹了多種對(duì)機(jī)械臂的控制方案，通過(guò)采用到了各種補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ軌驅(qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行較好的控制，最后利用仿真對(duì)所提出方法進(jìn)行了驗(yàn)證。上述文獻(xiàn)中都有各自的優(yōu)點(diǎn)，基本上都是對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的不確定部分進(jìn)行了一定的補(bǔ)償，但是在設(shè)計(jì)方法上較為繁瑣，在一些函數(shù)的構(gòu)造方面有一定的困難，需要花費(fèi)大量時(shí)間去構(gòu)造和設(shè)計(jì)。

反演控制方法在處理不確定性系統(tǒng)的相關(guān)問(wèn)題上有著良好的表現(xiàn)。黃靜雯等人研究了一類(lèi)反演控制方法并應(yīng)用于橋式吊車(chē)模型上，能夠解決吊橋負(fù)載質(zhì)量、摩擦力以及狀態(tài)耦合等不確定性問(wèn)題[10]。李雅琦等人針對(duì)汽車(chē)的懸架系統(tǒng)采用了反演控制的方法，對(duì)車(chē)輛垂直加速度、懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)位移等懸架系統(tǒng)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行了研究[11]，通過(guò)仿真采用這種控制策略提高了系統(tǒng)的性能。李洋等人針對(duì)超空泡航行體姿軌控制的模型不確定性問(wèn)題，利用反演控制方法對(duì)其控制器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，結(jié)果表明了該控制器的有效性[12]。

本文對(duì)一類(lèi)二階不確定的非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并提出了一種易于設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制方法。該方法一方面利用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力和自學(xué)習(xí)能力的特性，對(duì)系統(tǒng)的不確定部分和非線(xiàn)性部分進(jìn)行了逼近。另一方面根據(jù)反演設(shè)計(jì)方法逐步遞推的思想，對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行了一步步的設(shè)計(jì)，并且證明了該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。最后利用仿真例子說(shuō)明了本文所提出的方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

現(xiàn)考慮一類(lèi)二階不確定的非線(xiàn)性系統(tǒng)

其中系統(tǒng)的不確定項(xiàng)由φ(x1,x2)∈R表示，不確定的非線(xiàn)性函數(shù)由ψ(x1,x2)表示，系統(tǒng)的控制輸入u∈R用表示，外界的干擾用d(t)表示。

本文中系統(tǒng)的控制任務(wù)是在有系統(tǒng)的不確定項(xiàng)、不確定的非線(xiàn)性函數(shù)和干擾的情況下，設(shè)計(jì)出控制律u，并使得輸出信號(hào)x1能跟蹤期望軌跡xd，并且能使得所有的信號(hào)都有界。由于反演控制設(shè)計(jì)方法在處理不確定性非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)有很大的優(yōu)越性[13]，所以本文采用反演控制法對(duì)系統(tǒng)的控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反演控制

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)算法

在對(duì)系統(tǒng)的控制過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，通常情況下對(duì)不確定項(xiàng)的逼近可以利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。而在本文中對(duì)系統(tǒng)的不確定項(xiàng)φ(x1,x2)和不確定的非線(xiàn)性函數(shù)的ψ(x1,x2)逼近也采用了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。圖1表示的是基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)圖[14]。

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)圖

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)ψ(x1,x2)和φ(x1,x2)的逼近算法為

ψ(x1,x2)=W*Thψ(x)+εψ,φ(x1,x2)=V*Thφ(x)+εφ

其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入用x表示，網(wǎng)絡(luò)的輸入個(gè)數(shù)用m表示，第j個(gè)神經(jīng)元的輸出用hj表示，第j個(gè)神經(jīng)元的中心點(diǎn)向量值用cj表示，隱含層神經(jīng)元j的高斯基函數(shù)的寬度用bj表示，W*和V*為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差用εψ和εφ表示，且|εψ|≤εMψ，|εφ|≤εMφ[14].網(wǎng)絡(luò)的理想輸出用ψ和φ表示。

定義神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入為x=[x1,x2]T,則網(wǎng)絡(luò)輸出為

hψ(x)和hφ(x)為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)。

(2)

(3)

2.2 自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制器設(shè)計(jì)

現(xiàn)考慮理想情況下外界干擾d(t)=0.根據(jù)式(1)，定義一個(gè)角度誤差

θ1=x1-xd

則

(4)

接下來(lái)采用反演控制方法對(duì)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

1) 定義第一個(gè)Lyapunov函數(shù)。

(5)

對(duì)S1進(jìn)行求導(dǎo)，得

(6)

則式(6)可化為

2) 定義第二個(gè)Lyapunov函數(shù)。

(7)

對(duì)θ2進(jìn)行求導(dǎo)，并將式(1)代入得

(8)

則

(9)

(10)

其中k2>0.

將式(10)代入式(9)可得

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(10)可設(shè)計(jì)相應(yīng)的理想的控制律

(11)

其中，η>0.為了克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以加入了魯棒項(xiàng)ηsgn(θ2)[15].

根據(jù)2.2節(jié)的分析，由式(5)和式(7)可構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為

其中γ1>0,γ2>0.

對(duì)式(12)求導(dǎo)得

現(xiàn)對(duì)式(8)進(jìn)行改寫(xiě)

(14)

結(jié)合式(2)、式(3)、式(11)和式(14)，則式(13)可化為

θ2(εφ+εψu(yù))-η|θ2|

(15)

取自適應(yīng)律

則

因?yàn)棣纽缀挺興可以取得足夠小，若η≥|εφ+εψu(yù)|，則

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提出的控制方法的有效性，本文采用MATLAB對(duì)所設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性不確定性自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。非線(xiàn)性控制系統(tǒng)采用式(1)，控制律和自適應(yīng)律采用式(10)，式(16)和式(17)。

下面使用2個(gè)例子進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)：

a)仿真具體參數(shù)為：

其中mc=1，m=0.1，g=9.8，l=1.

取位置信號(hào)為xd(t)=sint，在10到12s時(shí)加入干擾d(t)=0.2cost，其余時(shí)間d(t)=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為[0.5 0]，網(wǎng)絡(luò)的輸入信號(hào)取x1和x2，k1=k2=10，η=0.01，γ1=0.1，γ2=0.01.

仿真部分主要分為對(duì)位置信號(hào)的跟蹤和誤差跟蹤。具體仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 位置信號(hào)和位置信號(hào)的跟蹤

圖3 誤差跟蹤

圖2表示的期望軌跡和實(shí)際跟蹤軌跡。從仿真結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，在0.5 s時(shí)，實(shí)際跟蹤軌跡就可以較好地跟蹤期望軌跡，并且在外界干擾出現(xiàn)后，系統(tǒng)能在1 s左右恢復(fù)到原有的跟蹤狀態(tài)，且在后續(xù)過(guò)程中也能一直保持穩(wěn)定。圖3顯示的是實(shí)際跟蹤軌跡與期望跟蹤軌跡之間的誤差，可以發(fā)現(xiàn)在0.5 s后，系統(tǒng)的跟蹤誤差可以控制在0.015以?xún)?nèi)，且在干擾結(jié)束后的1 s左右，系統(tǒng)的誤差能迅速地減小到0.015以?xún)?nèi)。

b)仿真具體參數(shù)為：

仿真部分主要分為對(duì)位置信號(hào)的跟蹤、誤差跟蹤和控制器輸入信號(hào)的跟蹤。具體仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 位置信號(hào)和位置信號(hào)的跟蹤

圖5 誤差跟蹤

圖4為期望軌跡和實(shí)際跟蹤軌跡。從仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在0.7 s后，實(shí)際跟蹤軌跡能較好地跟蹤期望軌跡，在持續(xù)外界干擾出現(xiàn)后的0.25 s左右，系統(tǒng)也能維持穩(wěn)定狀態(tài)，且對(duì)干擾有一定的抑制能力。圖5表示實(shí)際跟蹤軌跡和期望跟蹤軌跡之間的誤差，可以發(fā)現(xiàn)在沒(méi)有干擾時(shí)，系統(tǒng)在0.7 s后系統(tǒng)的誤差能減小到0.022以?xún)?nèi)，在干擾出現(xiàn)之后的0.25 s，系統(tǒng)也能對(duì)干擾進(jìn)行抑制，使誤差控制在0.08以?xún)?nèi)，并且在后續(xù)的過(guò)程中誤差也能維持在0.08以?xún)?nèi)。

通過(guò)上面兩個(gè)仿真研究可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)不管是在突然出現(xiàn)干擾或者持續(xù)出現(xiàn)干擾之后，都能迅速地對(duì)干擾進(jìn)行抑制，且使得系統(tǒng)維持在穩(wěn)定狀態(tài)。除此之外，在系統(tǒng)的不確定項(xiàng)和不確定的非線(xiàn)性函數(shù)發(fā)生變化后，系統(tǒng)的輸出信號(hào)仍然能對(duì)期望軌跡進(jìn)行較好地跟蹤，這說(shuō)明了本文設(shè)計(jì)方案的可行性和有效性。

4 結(jié)論

在本文中對(duì)一類(lèi)二階非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的不確定性問(wèn)題進(jìn)行了研究。針對(duì)該問(wèn)題，本文結(jié)合了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和反演控制的相關(guān)方法和理論的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了二階非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的控制器和自適應(yīng)律，然后利用了Lyapunov的穩(wěn)定性相關(guān)理論說(shuō)明了在這種控制方法下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文所設(shè)計(jì)的控制方案能對(duì)具有不確定性的二階非線(xiàn)性系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)控制，且在應(yīng)對(duì)短暫的外界干擾和持續(xù)的外界干擾時(shí)均具有一定的自適應(yīng)能力。