吳慶華，李宗耀，劉嘉程，黎志昂

(湖北工業(yè)大學(xué)a.機(jī)械工程學(xué)院；b.現(xiàn)代制造與質(zhì)量工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430068)

0 引言

在工業(yè)加工過(guò)程中，經(jīng)常需要測(cè)量孔軸類零件的形位誤差，用來(lái)檢測(cè)裝配質(zhì)量。由于便攜性與時(shí)效性強(qiáng)等特點(diǎn)，常用關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)[1]獲取圓柱件精加工面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，用擬合圓柱面[2]的方法來(lái)獲取孔軸類零件的幾何參數(shù)，因此，圓柱擬合算法的效果直接影響孔軸之間形位誤差評(píng)定的精度。

目前，圓柱擬合算法研究較多，傳統(tǒng)的遺傳算法[3]，特征值法[4]與均值漂移聚類方法[5]精度較高，但受限于圓柱的姿態(tài)和點(diǎn)云密度等問(wèn)題，需要良好的初值來(lái)保證其運(yùn)算的收斂性。事實(shí)上，曲線擬合的本質(zhì)是非線性函數(shù)[6]迭代收斂得到最優(yōu)解的過(guò)程，初值對(duì)擬合算法的收斂性影響很大，因而，初值的查找是擬合研究中的關(guān)鍵。ABDUL等[7]提出用主成因(PCA)法提取初值，在假定圓柱較長(zhǎng)的情況下尋找圓柱軸線初值，但該方法對(duì)軸線方向相較于直徑方向不長(zhǎng)(即矮胖圓柱)的圓柱擬合效果不佳。RUI等[8]提出一種軟投票(soft voting scheme)方法，在點(diǎn)云較為局部的情況下，消除了候選方向的歧義，粗查找出圓柱的姿態(tài)。但該方法受限于一些先驗(yàn)條件，如圓柱垂值于桌面。申旭[9]使用三點(diǎn)共線法，快速計(jì)算軸線方向的初值，但方法中的閾值常數(shù)在點(diǎn)云不均時(shí)需要人工選取，對(duì)點(diǎn)云密度要求高。

在飛機(jī)起落架各孔軸類零件的測(cè)量中，由于其點(diǎn)云具有姿態(tài)多，尺寸大和分布不均的特點(diǎn)，上述初值查找算法并不適用。受操作實(shí)效性的影響，采集的數(shù)據(jù)往往是稀疏的點(diǎn)云[10]，其局部特征不明顯，容易對(duì)形位誤差的檢測(cè)造成誤判。因此，初值的查找在該測(cè)量中更加關(guān)鍵。本文針對(duì)飛機(jī)起落架軸孔類零件測(cè)量時(shí)，用關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)采集的稀疏點(diǎn)云，提出了一種角度投影法來(lái)查找圓柱擬合的初值，利用圓柱的幾何特性計(jì)算投影角度的范圍，將最佳投影的初值代入圓柱擬合的誤差方程，使其快速收斂得到最優(yōu)解。

1 角度投影法初值算法模型

1.1 角度投影法數(shù)學(xué)模型

設(shè)有一個(gè)軸線為l的圓柱體，以及法線方向?yàn)閚的平面，如圖1所示。

(a) 圓形投影 (b) 非圓形投影

將圓柱投影到平面上，根據(jù)投影可以歸為2種情形：

(1)軸線l與平面法向量n平行時(shí)，圓柱面投影到平面上是一個(gè)圓，該圓的半徑與圓柱相等，圓心在軸線l上。

(2)軸線l與平面法向量n既不平行，也不垂直時(shí)，圓柱面投影如上圖是個(gè)矩形加兩個(gè)半圓組合的形狀。

圖1a中，當(dāng)平面法向量與軸線平行時(shí)，該平面即為最佳投影面。理論上，圓柱的軸線在最小二乘意義上是通過(guò)其點(diǎn)云坐標(biāo)重心的[11]。如圖2所示設(shè)重心為p，p在圓柱內(nèi)部。通過(guò)多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與重心p連接線段的方向，在坐標(biāo)系中計(jì)算角度范圍，使的擬合圓柱的軸線l在該角度范圍內(nèi)。

圖2 角度計(jì)算模型

1.2 投影范圍計(jì)算

投影范圍先是在原點(diǎn)處形成單位投影向量集為Φ={(Sxi,Syi,Szi)}，其中

(1)

這樣單位向量集就會(huì)形成一個(gè)密集且均勻半球型，其中(Sxi,Syi,Szi)為單位向量的分量，如圖3所示。

圖3 投影方向示意圖

其中，α、β代表投影線與z軸的角度，以及投影線投影到xoy面與x軸的角度。m1、m2代表著向量集的密度。然后計(jì)算出點(diǎn)云重心p，計(jì)算點(diǎn)云中每個(gè)點(diǎn)到重心的距離，選取多組距離長(zhǎng)的線段lpl1,lpl2,lpl3…，由于軸類零件都為細(xì)長(zhǎng)圓柱，選取角度最大的兩組線段。記該兩個(gè)線段為lpli,lplj，其中記lpli與z軸的角度為α1，投影到xoy面與x軸的角度記為β1。lplj與z軸的角度為α2，該線段投影到xoy面與x軸的角度記為β2。最后將角度范圍(α1,α2)，(β1,β2)代入式(3)中，形成一定角度范圍的投影方向。

1.3 初值計(jì)算

圖4 投影點(diǎn)集與投影角度

(2)

(3)

計(jì)算當(dāng)前投影圓的圓度，通過(guò)式(1)中的投影向量點(diǎn)集，在一定的角度內(nèi)進(jìn)行多次投影找出圓度最小的一組數(shù)據(jù)，找出F0的最小值，此時(shí)的投影方向(Sxi,Syi,Szi)，即為軸線的方向初值，由式(3)中的(d,e,f)求得平面圓心即為圓柱軸心線上的初始值點(diǎn)。

2 圓柱擬合算法實(shí)現(xiàn)

用角度投影法得到擬合的初值后，使用梯度下降法[12]進(jìn)行圓柱擬合，獲得目標(biāo)圓柱參數(shù)的精確值。圓柱面可以看作到軸線相等距離的點(diǎn)集組成曲面，首先列出誤差方程：

(4)

式中，Ai為數(shù)據(jù)點(diǎn)集坐標(biāo)；ri為數(shù)據(jù)點(diǎn)集到軸線的距離；r為擬合圓柱半徑；L為圓柱軸線方向；c為圓柱中心點(diǎn)坐標(biāo)；I為單位矩陣。

然后對(duì)誤差方程各個(gè)未知數(shù)分別求導(dǎo)，將第1.3節(jié)求出的圓柱參數(shù)初值代入各個(gè)參數(shù)方程，當(dāng)誤差函數(shù)F取最小值時(shí)，此時(shí)的軸線方向L，圓柱中心c和半徑r，即為擬合圓柱參數(shù)的精確值。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 標(biāo)準(zhǔn)圓柱擬合實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證該算法在不同姿態(tài)下擬合的效果，本實(shí)驗(yàn)在同一圓柱多種姿態(tài)下，進(jìn)行數(shù)據(jù)的采集及擬合，來(lái)驗(yàn)證算法的有效性以及擬合精度。實(shí)驗(yàn)使用某公司的Quantum W系列6軸柔性三坐標(biāo)測(cè)量臂采集數(shù)據(jù)，測(cè)量對(duì)象為金屬圓柱件，其直徑約為30 mm，長(zhǎng)度約為300 mm。將圓柱件與關(guān)節(jié)臂固定到同一臺(tái)面，共采集五組數(shù)據(jù)。為了驗(yàn)證特殊角度下的擬合效果，前三組的圓柱軸線分別與x,y,z軸平行，另外兩組為自由擺放，如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)對(duì)象不同姿態(tài)示意圖

由于圓柱體表面大都經(jīng)過(guò)磨削加工，為排除粗差對(duì)結(jié)果的干擾，用葉序理論[13]采點(diǎn)時(shí)誤差較小，在圓柱件上記上標(biāo)記點(diǎn)，使采集的測(cè)量點(diǎn)呈螺旋狀，如圖5中左上圖所示。采點(diǎn)時(shí)，用Faro測(cè)量臂的探針，依次接觸圓柱件上的標(biāo)記點(diǎn)進(jìn)行取點(diǎn)，共計(jì)20個(gè)點(diǎn)。按照本文方法計(jì)算該圓柱件的直徑與軸線方向的單位向量，并將結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中使用的SA商業(yè)軟件進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同姿態(tài)圓柱擬合結(jié)果對(duì)比

從表1實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在不同的擺放姿態(tài)下，采集的稀疏點(diǎn)云均擬合成功，沒(méi)有出現(xiàn)非線性迭代計(jì)算中的發(fā)散或者陷入局部收斂的情況。在軸線方向的計(jì)算結(jié)果中，本文算法與SA軟件結(jié)果均保持一致。在圓柱直徑擬合的結(jié)果上，本文算法與SA軟件平均誤差：Uv=0.005 mm，最大誤差：Umax=0.009 mm，由此可以看出，其精度可達(dá)到SA軟件的水平。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法對(duì)大直徑矮胖圓柱的擬合效果，采用文獻(xiàn)[3]中的實(shí)例數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，用遺傳算法測(cè)量卷板輥這種大型圓柱工件的直徑，并與本算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

表2 不同算法擬合結(jié)果對(duì)比

表中3種方法擬合的結(jié)果相近，說(shuō)明本方法針對(duì)大直徑矮胖圓柱的稀疏點(diǎn)云擬合也能達(dá)到較高精度。

3.2 飛機(jī)起落架前后輪軸平行度測(cè)量實(shí)驗(yàn)

實(shí)際實(shí)驗(yàn)在飛機(jī)起落架綜合測(cè)量平臺(tái)上進(jìn)行。選取某型號(hào)飛機(jī)的起落架仿件作為測(cè)量對(duì)象，以關(guān)節(jié)臂式三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)作為測(cè)量工具，采集前后輪軸點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行圓柱擬合，將擬合的圓柱參數(shù)應(yīng)用于前后輪軸平行度的評(píng)定。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

該起落架仿件前輪軸直徑約為φ54 mm，后輪直徑約為φ79 mm，軸長(zhǎng)約為1200 mm，兩軸相距約為1400 mm。由于加工面較短，實(shí)驗(yàn)在每個(gè)加工面采集10個(gè)測(cè)量點(diǎn)，每個(gè)輪軸有兩個(gè)加工面，共采集40個(gè)測(cè)量點(diǎn)。根據(jù)國(guó)標(biāo)規(guī)定，軸與軸之間的平行度可以用最小區(qū)域法[17]求得。當(dāng)給定任意方向時(shí)，軸線之間的平行度誤差為包圍誤差區(qū)域最小外接圓的直徑，該直徑即為最終誤差。由于涉及到形位誤差的評(píng)定，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與工業(yè)測(cè)量軟件InnovMetric進(jìn)行對(duì)比，測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 飛機(jī)起落架前后輪點(diǎn)云數(shù)據(jù)

表4中平行度誤差測(cè)量結(jié)果與軟件相差0.059 mm，由于與InnovMetric軟件存在平行度評(píng)價(jià)的差異，對(duì)于起落架這種大尺寸零件的測(cè)量，其結(jié)果誤差在接受范圍之內(nèi)。并且前后輪軸軸線方向和直徑擬合結(jié)果與InnovMetric相近，能有效驗(yàn)證該算法在起落架形位誤差測(cè)量中的實(shí)用性與準(zhǔn)確性。另外在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，針對(duì)細(xì)長(zhǎng)且分布不均勻的稀疏點(diǎn)云，InnovMetric軟件在擬合時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)軸線偏離的現(xiàn)象，導(dǎo)致擬合失敗。而本算法均擬合成功，說(shuō)明角度投影法收斂性較好，適應(yīng)此類圓柱的擬合。

表4 平行度測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)論

本文針對(duì)起落架測(cè)量過(guò)程中的圓柱面擬合問(wèn)題，提出了一種初值查找的算法，是將測(cè)量點(diǎn)向以不同方向向量為法向的平面上投影，通過(guò)計(jì)算角度來(lái)減小投影范圍，增加了初值查找的準(zhǔn)確性，在圓柱擬合中收斂性好，計(jì)算結(jié)果精度較高。實(shí)驗(yàn)有效的驗(yàn)證了該圓柱初值查找算法適用于大尺度，多姿態(tài)分布不均勻的稀疏點(diǎn)云。