卓 明，耿繼青，崔 中，夏 凱

(1.廣東省高性能伺服系統(tǒng)企業(yè)重點實驗室，珠海 519070；2.珠海格力電器股份有限公司，珠海 519070)

0 引言

隨著機床制造和裝配精度的提高，機械誤差在總誤差中占比下降，由熱產(chǎn)生的誤差已成為加工誤差的主要誤差源。主軸作為機床的核心部件，其發(fā)熱不可避免，主軸前端的熱伸長直接影響刀具與工件的相對位置，引入加工誤差。因此，開展主軸熱補償方法研究，對提高加工精度及提升主軸的附加值具有重要意義。

溫度與電主軸熱伸長直接相關(guān)，因此國內(nèi)外基于電主軸溫度-熱伸長關(guān)系建立預(yù)測模型是一大研究熱點。YANG等[1]對溫度-熱伸長預(yù)測模型建立的數(shù)據(jù)獲取方法、常用建模方法、溫度關(guān)鍵點選取方法進行了綜合闡述。張毅、楊漪等[2-5]對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模方法進行了研究，QIAN等[6]對比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，蟻群算法，及最小二乘法三種溫度-熱誤差預(yù)測模型的預(yù)測精度。魏弦、王桂龍等[7-8]結(jié)合模糊聚類理論和灰色關(guān)聯(lián)理論或相關(guān)分析，對溫度測點的優(yōu)化選取進行了研究。LI等[9]通過理論、仿真、實驗分析，指出主軸熱伸長受多個變量影響，包括當(dāng)前溫度、轉(zhuǎn)速和上一時刻溫度、熱伸長，通過多元回歸分析或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的多變量熱補償模型預(yù)測效果優(yōu)于單一的溫度變量模量。

上述基于溫度的熱伸長預(yù)測模型多局限于從理論層面擬合精度去評估模型預(yù)測效果，實際上機效果研究較少。楊建國等[10]借助于FANUC數(shù)控系數(shù)提供的外部機床坐標系偏置功能，實現(xiàn)基于溫度的熱補償功能上機實驗。CUI等[11]借助SIMENS 840D數(shù)控系統(tǒng)的熱補償模塊實施了溫度-熱補償線性回歸模型的上機驗證，精度約提升74%。這種基于溫度補償模型的上機驗證，依賴于支持熱補償功能或配備熱補償模塊的國外品牌數(shù)控系統(tǒng)，且只有一個溫度測點。

多溫度測點的熱補償模型應(yīng)用范圍受到限制，難以推廣，原因在于：一方面多個溫度傳感器需在主軸設(shè)計階段預(yù)先布設(shè)于主軸內(nèi)部，獲取更準確的主軸溫度并防止機床現(xiàn)場干擾；另一方面需要機床數(shù)控系統(tǒng)匹配相應(yīng)的通訊與運算能力，通常只有自主開發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)才有條件實現(xiàn)與溫度采集系統(tǒng)通訊識別測試溫度，并根據(jù)預(yù)先建立的溫度預(yù)測模型計算位移補償量。相比之下，轉(zhuǎn)速同樣與主軸熱伸長強相關(guān)，且因機床主軸大多安裝了編碼器，數(shù)控系統(tǒng)對轉(zhuǎn)速的獲取及實施運算十分便捷。固定轉(zhuǎn)速下，主軸的熱特性符合自然指數(shù)變化規(guī)律，GREIGHTON、代貴松等[12-13]采用自然指數(shù)函數(shù)的電主軸熱誤差建模方法。鄺錦祥等[14]分別建立了恒定轉(zhuǎn)速及升轉(zhuǎn)速下的電主軸軸向熱誤差自然指數(shù)預(yù)測模型，并進行了恒轉(zhuǎn)速及升轉(zhuǎn)速下的空轉(zhuǎn)及加工實驗驗證。

主軸的熱伸長與其運行工況存在極大的相關(guān)性，基于自然指數(shù)函數(shù)建立的熱補償模型雖有一定補償效果，但其局限性顯著，由恒定轉(zhuǎn)速測試數(shù)據(jù)建立的模型僅適用于恒定轉(zhuǎn)速，無法兼容隨機變轉(zhuǎn)速工況。本文從熱補償模型的通用性角度考慮，提出基于轉(zhuǎn)速及上一時刻的累積熱伸長建立熱補償模型，并對設(shè)計轉(zhuǎn)速、恒定轉(zhuǎn)速和隨機變轉(zhuǎn)速3種工況均進行上機驗證。

1 基于轉(zhuǎn)速的熱補償模型

1.1 自然指數(shù)函數(shù)補償模型

主軸在單一恒定轉(zhuǎn)速下的熱伸長滿足自然指數(shù)規(guī)律，故可用自然指數(shù)函數(shù)建立熱伸長預(yù)測模型，即：

S=S0+(Sw-S0)(1-e-t/τ)

(1)

式中，S為時變熱伸長；S0為起始時刻熱伸長；Sω為恒定轉(zhuǎn)速ω下的熱伸長；t為運行時間；τ為恒定轉(zhuǎn)速下主軸的熱變形平衡時間常數(shù)。

多個恒定轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)定熱伸長與轉(zhuǎn)速間的關(guān)系可用一次[14]或二次多項式擬合[15]，即：

Sω=a0+a1ω+a2ω2

(2)

式中，a0、a1、a2為擬合系數(shù)。當(dāng)a2≠0，式(2)為二次多項式；當(dāng)a2=0，式(2)變?yōu)榫€性關(guān)系。

冷啟動時，初始熱伸長為0，即S0=0，將式(2)代入式(1)可得：

S=(a0+a1w+a2w2)·(1-e-t/τ)

(3)

由式(3)建立的主軸熱伸長預(yù)測模型是轉(zhuǎn)速和時間的函數(shù)。應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)補償時，主軸施加的補償量應(yīng)抵消主軸的預(yù)測熱伸長，即滿足：

B=-S

(4)

這種依靠恒定轉(zhuǎn)速段測試數(shù)據(jù)建立的熱伸長預(yù)測模型，僅適用于恒定轉(zhuǎn)速及升轉(zhuǎn)速階段的熱補償，對隨機變轉(zhuǎn)速工況兼容性較差，需重新建立預(yù)測模型，因此，這種方法在實際應(yīng)用層面缺乏可實施性。

1.2 累積熱伸長補償模型

電主軸的熱伸長速率與溫升速率成正比，而其溫升速率取決于發(fā)熱速率與散熱速率間的平衡效果。主軸系統(tǒng)的發(fā)熱源主要為電機與軸承。分析電機發(fā)熱項，磁滯損耗、風(fēng)摩損耗與主軸轉(zhuǎn)速成正比，渦流損耗與轉(zhuǎn)速2次方成正比。分析軸承發(fā)熱項，由離心力引起的軸承載荷產(chǎn)生的摩擦力矩與轉(zhuǎn)速3次方成正比，其它載荷、及潤滑油粘性摩擦力矩與轉(zhuǎn)速成正比。電主軸的散熱項包含兩部分，即主軸冷卻系統(tǒng)引入的強制換熱及主軸部件與周圍空氣間的自然換熱，且在主軸靜置與運行時，散熱項明顯不同。電主軸停轉(zhuǎn)靜置時(ω=0)，發(fā)熱項為0，主軸的熱伸長率僅與散熱項有關(guān)；因停機后，主軸內(nèi)部仍有溫升，在強制或自然冷卻條件下，主軸的熱伸長量出現(xiàn)回縮，回縮速率僅與停機時的累積熱伸長有關(guān)。而主軸運行時，散熱項除受前一時刻的累積熱伸長影響外，還與轉(zhuǎn)速相關(guān)。

綜上分析，影響主軸熱伸長速率的變量有轉(zhuǎn)速及累積熱伸長，用下式表示為：

(5)

式中，S為主軸熱伸長；ω為轉(zhuǎn)速；b0、b1、…、b4為系數(shù)，首尾兩項b0S和b4Sω與放熱項相關(guān)，中間3項b1ω、b2ω2、b3ω3與發(fā)熱項相關(guān)。取轉(zhuǎn)速采樣時間為Δt，式(1)變?yōu)椋?/p>

(6)

令c0=1+Δt·b0，c1=Δt·b1，c2=Δt·b2，c3=Δt·b3，c4=Δt·b4，則式(6)變?yōu)椋?/p>

Sn=c0Sn-1+c1ω+c2ω2+c3ω3+c4Sn-1ω

(7)

式中，Sn為當(dāng)前時刻的熱位移量，通過上一時刻的熱位移量Sn-1和轉(zhuǎn)速ω計算得出。系數(shù)值c0、c1、…、c4可通過多組測試數(shù)據(jù)進行回歸分析求得。

由式(7)建立的主軸熱伸長預(yù)測模型是轉(zhuǎn)速和主軸累積熱伸長的函數(shù)。同理，應(yīng)用于數(shù)控系統(tǒng)補償時，對主軸施加的位移補償量Bn應(yīng)抵消其預(yù)測熱伸長Sn，即滿足：

Bn=-Sn

(8)

將式(8)編入數(shù)控系統(tǒng)，由數(shù)控系統(tǒng)計算各時刻的刀尖位移補償量，通過絲杠運動使主軸在熱伸長方向響應(yīng)該補償量，以保證刀尖綜合位移為0，實現(xiàn)補償目的。

需要說明的是：式(8)不僅與轉(zhuǎn)速有關(guān)，還與上一時刻的熱伸長有關(guān)，因此，即使同一轉(zhuǎn)速下，若數(shù)控系統(tǒng)采用不同的補償時間間隔，則數(shù)控系統(tǒng)計算出的下一時刻位移補償量也相應(yīng)不同。

2 兩種模型對比

兩種轉(zhuǎn)速熱補償模型的建立均依賴于主軸多組不同轉(zhuǎn)速下的熱伸長測試數(shù)據(jù)積累。為便于對比兩種模型的預(yù)測精度及適用范圍，對某立式加工中心主軸設(shè)計了轉(zhuǎn)速-熱伸長實驗，包含啟動、升速、降速、停機等多種變轉(zhuǎn)速工況，運行最大轉(zhuǎn)速為該主軸最高轉(zhuǎn)速的80%。

2.1 轉(zhuǎn)速-熱伸長實驗

實驗使用前端面為平面的特制模擬刀具作為采集對象；電渦流位移傳感器采集主軸刀具前端面的熱伸長，型號為米銥SGS4701，分辨率為0.5 μm，量程為0.5 mm。實驗裝置如圖1所示。

圖1 實驗裝置圖

千分表校驗刀具的安裝位置，確保刀具安裝良好，主軸轉(zhuǎn)動過程中不會由刀具端面形狀誤差引入測量誤差。

實驗步驟為：

步驟1：打表測量前端面的平面度，若平面度較差，重新安裝刀柄和刀具，直至平面度良好；

步驟2：用磁座支架將電渦流位移傳感器固定在工作臺面上，調(diào)整探頭正對刀柄前端面且距離在探頭量程范圍；

步驟3：驅(qū)動主軸按設(shè)定轉(zhuǎn)速曲線運行，并實時采集主軸的熱伸長。

圖2給出了主軸的設(shè)計轉(zhuǎn)速曲線及電渦流位移傳感器測試結(jié)果，其中熱位移負值表示熱伸長方向向下。

圖2 主軸轉(zhuǎn)速-熱位移實驗結(jié)果

由圖2可知，主軸的設(shè)計運行轉(zhuǎn)速共包含3階段，第1階段為啟動階梯升轉(zhuǎn)速至10 000 rpm；第2階段為變轉(zhuǎn)速至停機階段，轉(zhuǎn)速由10 000 rpm驟降至2500 rpm，再突升至7000 rpm，然后階級降轉(zhuǎn)速至停機靜置80 min；第3階段再次啟動升速至8000 rpm再突降停機靜置60 min。

主軸在變轉(zhuǎn)速處存在不同程度的熱位移突變。進一步對比各變轉(zhuǎn)速時刻的主軸熱位移突變量，其中主軸由2000 rpm降速至0，及停機80 min再升速至2000 rpm兩個時刻的突變位移最為顯著，前者在2 s突降29 μm，后者突升28.7 μm；而同樣屬于主軸靜-動態(tài)間切換的另兩個時刻，突變量則小得多，主軸靜止啟動至2000 rpm時的突降量為1 μm，而最終停機時的突降量為7.3 μm。熱伸長隨時間變化緩慢，屬于緩變量，轉(zhuǎn)速可隨時間迅速變化，為速變量。這種由切換轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的位移突變并不屬于熱伸長，而是由主軸切換轉(zhuǎn)速時慣性力引起的軸承竄動或彈性變形造成。為建立準確的轉(zhuǎn)速熱補償模型，需將測試熱位移預(yù)處理，消除突變位移。消除突變后的熱位移即為主軸的實測熱伸長。在階段1，隨階梯升轉(zhuǎn)速，主軸熱伸長持續(xù)增大，最大熱伸長發(fā)生在最高轉(zhuǎn)速10 000 rpm，約為72 μm；階段2，經(jīng)歷了一輪變轉(zhuǎn)速，主軸熱伸長減少，直至停機80 min，熱伸長趨近于0；階段3，隨新一輪升降速過程，主軸熱伸長先升高再降低。

2.2 自然指數(shù)熱伸長預(yù)測模型

由圖2中的階梯升轉(zhuǎn)速段測試數(shù)據(jù)擬合基于自然指數(shù)函數(shù)的熱伸長預(yù)測模型，結(jié)果如圖3所示。

基于自然指數(shù)的熱伸長模型在升速段擬合效果較好，最大誤差小于4 μm，相較于最大熱伸長72 μm，占比5.6%。圖4給出了此模型在全轉(zhuǎn)速段的預(yù)測效果。

圖3 自然指數(shù)模型在階梯段的擬合效果 圖4 自然指數(shù)模型在全轉(zhuǎn)速段的預(yù)測效果

由圖可知，在階梯升速后的其它轉(zhuǎn)速段，自然指數(shù)模型完全失效，無法準確預(yù)測熱伸長的后續(xù)變化趨勢。這表明：基于設(shè)計轉(zhuǎn)速建立的自然指數(shù)模型通用性差，無法兼容其它運行工況。

2.3 累積熱伸長預(yù)測模型

圖5給出了主軸的累積熱伸長預(yù)測模型在設(shè)計工況下的擬合效果。

圖5 累積熱伸長模型在設(shè)計工況的擬合效果

對模型中包含的前一時刻熱伸長，在計算擬合系數(shù)時采用實測值，得到的擬合熱伸長曲線與實測熱伸長吻合良好，最大殘差值小于2 μm，相較于自然指數(shù)模型，降低一倍。

獲取擬合系數(shù)后，主軸前一時刻的熱伸長通過模累積預(yù)測，預(yù)測得到的熱伸長趨勢與實測熱伸長曲線吻合度下降，出現(xiàn)一定偏差，最大殘差約為16 μm，但相較于主軸的最大熱伸長72 μm，約占22%，由此推斷，基于此模型對主軸進行熱伸長補償，主軸的熱伸長最少降低78%。

3 累積熱補償模型驗證

為驗證上述累積熱補償模型的有效性，驅(qū)動主軸分別在設(shè)計工況、單轉(zhuǎn)速、隨機轉(zhuǎn)速3種工況下運行。

3.1 設(shè)計工況補償效果

再次按建立模型所設(shè)計的轉(zhuǎn)速曲線運行主軸，測試經(jīng)系統(tǒng)補償后的刀尖熱位移，結(jié)果如圖6所示。

圖6 設(shè)計工況下的補償效果

由圖可知，主軸熱伸長經(jīng)數(shù)控系統(tǒng)補償后，刀柄處位移最大回縮量為5 μm，最大伸長量為25 μm，較未經(jīng)補償時的最大值72 μm大幅降低，且與預(yù)測偏差16 μm接近。這表明基于轉(zhuǎn)速的熱補償模型能將主軸熱伸長降低65%。

3.2 單轉(zhuǎn)速工況補償效果

主軸5000 rpm運行的熱補償效果如圖7所示。系統(tǒng)補償值為上述模型的計算值；經(jīng)補償后，刀柄處的最大回縮量約4.9 μm，最大熱伸長量約3.7 μm，相對模型預(yù)測的最大熱伸長40.3 μm，熱伸長至少降低88%。主軸10 000 rpm運行的熱補償效果如圖8所示。

圖7 5000 rpm運行時的補償效果 圖8 10 000 rpm運行時的補償效果

經(jīng)補償后，刀尖處的最大回縮量約9.3 μm，最大熱伸長為22.3 μm，相較于未經(jīng)補償時的最大熱伸長72 μm，熱伸長至少降低69%。

3.3 隨機工況補償效果

主軸沿某一隨機轉(zhuǎn)速曲線運行的熱補償效果如圖9所示。

圖9 隨機工況下的補償效果

經(jīng)補償后，刀尖處的最大回縮量約9.4 μm，最大熱伸長為11.8 μm，相較于未經(jīng)補償時的最大熱伸長62 μm，熱伸長至少降低81%。

4 結(jié)論

主軸的熱伸長影響因素眾多，本文選取轉(zhuǎn)速和累積熱伸長作為關(guān)鍵變量，提出一種新的熱補償模型，給出確定模型參數(shù)的確定方法，并將此熱補償模型進行了上機驗證，主要結(jié)論有：

(1)累積熱誤差補償模型通過轉(zhuǎn)速-熱伸長實驗確定模型參數(shù)，轉(zhuǎn)速曲線的設(shè)計應(yīng)包含主軸實際運行可能涉及的各種工況，如啟、停、靜止、階梯升降轉(zhuǎn)速及轉(zhuǎn)速急速升降等。

(2)基于設(shè)計轉(zhuǎn)速-熱伸長實驗所建立的熱補償模型通用性良好，不僅在設(shè)計工況下的補償效果顯著，且同樣適用于單一轉(zhuǎn)速和隨機變轉(zhuǎn)速工況。

(3)與已有的轉(zhuǎn)速-時間自然指數(shù)模型相比，新模型包含主軸歷史時刻的熱伸長項，充分考慮到主軸降速及停機過程的熱伸長適應(yīng)性，只需設(shè)計一次轉(zhuǎn)速實驗即可，而自然指數(shù)函數(shù)模型需各升/降轉(zhuǎn)速段分別建模才能保證隨機工況下的補償效果。

(4)與多溫度變量補償模型相比，機床主軸自帶編碼器，數(shù)控系統(tǒng)可直接識別轉(zhuǎn)速信號，無需額外建立模型變量與數(shù)控系統(tǒng)間的通訊，推廣更具優(yōu)勢。