何欣榮，張 剛

(1.西安建筑科技大學(xué)設(shè)計(jì)研究總院，西安 710055；2.中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，西安 710077)

0 引言

工業(yè)機(jī)器人能降低企業(yè)用工成本，提升企業(yè)智能化和自動(dòng)化程度?？刂葡到y(tǒng)是工業(yè)機(jī)器人最具有競(jìng)爭(zhēng)力的核心技術(shù)，設(shè)計(jì)跟蹤精度高、收斂速度快、控制效果優(yōu)的機(jī)器人控制算法，是提升企業(yè)核心競(jìng)爭(zhēng)的主要手段，因此，研究工業(yè)機(jī)器人控制算法具有重要的工程應(yīng)用意義。

早期機(jī)器人控制精度要求不高，主要以PID控制器為主[1-2]，隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，反演控制[3-4]、自抗擾控制[5-6]等控制算法相繼用于工業(yè)機(jī)器人的控制，有效提升了機(jī)器人的控制精度。為提升工業(yè)機(jī)器人對(duì)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部環(huán)境干擾的魯棒性，自適應(yīng)控制[7-8]、滑?？刂芠9-10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[11]、模糊控制[12]等先進(jìn)控制技術(shù)被用于機(jī)器人控制，雖然提升了工業(yè)機(jī)器人的魯棒性和跟蹤精度，但這些控制器以漸近時(shí)間收斂為主，雖然基于終端滑模面[13]的滑?？刂颇鼙ＷC機(jī)器人的有限時(shí)間收斂，但依然存在收斂時(shí)間不能預(yù)先確定的問(wèn)題。很多工程應(yīng)用中，要求機(jī)械臂必須在給定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的精確跟蹤，因此，預(yù)先估計(jì)機(jī)械臂軌跡跟蹤收斂時(shí)間非常重要。

固定時(shí)間控制器能預(yù)先估計(jì)軌跡跟蹤時(shí)間，更符合工程實(shí)際使用需求。劉鵬等[14]結(jié)合自抗擾控制技術(shù)給出了一種固定時(shí)間收斂的李雅普諾夫定理，并為高階系統(tǒng)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂控制器；張可等[15]為多飛行器的編隊(duì)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂的控制算法。為提升固定時(shí)間收斂控制算法的魯棒性，固定時(shí)間控制算法常與滑?？刂平Y(jié)合，設(shè)計(jì)固定時(shí)間收斂滑?？刂破?，但當(dāng)前的滑模面以有限時(shí)間收斂的終端滑模為主，當(dāng)跟蹤誤差到達(dá)滑模面內(nèi)時(shí)，跟蹤誤差收斂到零的時(shí)間不能預(yù)估，因此，設(shè)計(jì)固定時(shí)間收斂的滑模面具有重要的理論意義。

為解決滑模面內(nèi)的軌跡跟蹤誤差收斂時(shí)間不可預(yù)估的問(wèn)題，本文對(duì)軌跡跟蹤誤差進(jìn)行反正切函數(shù)變換，設(shè)計(jì)了一個(gè)收斂時(shí)間與初值無(wú)關(guān)的非奇異滑模面，使位于滑模面內(nèi)的軌跡跟蹤誤差收斂時(shí)間可預(yù)估，且收斂軌跡無(wú)振蕩；再結(jié)合所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間收斂控制器，可實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)控制過(guò)程中的軌跡跟蹤收斂時(shí)間的提前預(yù)估。

1 控制問(wèn)題描述

考慮如下n自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

方程中慣性矩陣和向心力矩陣滿(mǎn)足如下性質(zhì)：

(1)矩陣D(q)為對(duì)稱(chēng)正定矩陣。

在機(jī)器人總體設(shè)計(jì)時(shí)，多采用機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程的名義方程設(shè)計(jì)控制器，即將慣性矩陣、向心力矩陣和重力矩陣分解為名義矩陣和攝動(dòng)量之和，即：

(2)

(3)

控制目標(biāo)：對(duì)機(jī)械臂設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器，使機(jī)械臂的軌跡跟蹤誤差能在固定時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡。即：

(4)

式中，Ts為收斂的固定時(shí)間；qd為機(jī)械臂的期望角度。為便于理論分析，給出固定時(shí)間收斂的Lyapunov理論。

引理1[16]若存在連續(xù)可微正定函數(shù)V(x)，正實(shí)數(shù)μ1,μ2,α∈[1,∞)及β∈(0,1)，有：

(5)

則系統(tǒng)是全局固定時(shí)間穩(wěn)定的，且收斂時(shí)間滿(mǎn)足：

(6)

2 固定時(shí)間滑模自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

2.1 固定時(shí)間收斂滑模面設(shè)計(jì)

(7)

則構(gòu)造如下固定時(shí)間收斂的非奇異滑模面：

(8)

則滑模面的導(dǎo)數(shù)為：

為保證滑模面的非奇異性，參數(shù)需滿(mǎn)足約束α>1,0<β<1。

定理1：當(dāng)滑模面當(dāng)σ=0時(shí)，ξ1在固定時(shí)間內(nèi)收斂到0，且固定收斂時(shí)間上界為：

(9)

式中，α>1；0<β<1。

取Lyapunov函數(shù)：

(10)

(11)

設(shè)收斂時(shí)間為T(mén)s，兩邊在[0,Ts]上積分，即：

因?yàn)槭諗繒r(shí)間為T(mén)s，有V(Ts)=0，則：

推論：當(dāng)滑模面σ=0時(shí)，q在固定時(shí)間內(nèi)收斂到qd，且固定收斂時(shí)間上界為：

式中，α>1；0<β<1。

2.2 固定時(shí)間滑模自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

下面基于估計(jì)時(shí)間收斂滑模面，設(shè)計(jì)滑模自適應(yīng)控制器，使軌跡跟蹤誤差在估計(jì)時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面。 取Lyapunov函數(shù)：

(12)

對(duì)V2關(guān)于t求導(dǎo)得：

為簡(jiǎn)化控制器的結(jié)構(gòu)，令：

可見(jiàn)，外部干擾和其他比較復(fù)雜項(xiàng)全部用復(fù)合項(xiàng)F表述，下面將設(shè)計(jì)自適應(yīng)估計(jì)器估計(jì)復(fù)合項(xiàng)F，能有效降低滑模自適應(yīng)控制器的結(jié)構(gòu)。替換后有：

(13)

(14)

式中，Q正定對(duì)稱(chēng)矩陣。則有：

(15)

則設(shè)計(jì)固定時(shí)間收斂滑?？刂破鳎?/p>

(16)

(17)

定理2：對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)固定時(shí)間滑模自適應(yīng)控制器：

則系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡，且固定收斂時(shí)間上界為：

(18)

式中，γ>1；0

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真條件

外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)為：

為控制器設(shè)計(jì)控制參數(shù)為：

k1=100.5，k2=10.9，k3=10.5，k4=1.9，k5=10
α=1.8，β=0.4，γ=1.2，?=0.3，Q=diag(100,100)

仿真時(shí)間10 s。

3.2 固定時(shí)間滑模自適應(yīng)控制器的有效性分析

采用MATLAB R2018a進(jìn)行編程，基于本文設(shè)計(jì)的固定時(shí)間收斂滑模自適應(yīng)跟蹤控制器(FTSMATC)進(jìn)行數(shù)值仿真，得到機(jī)械臂末端位置對(duì)期望軌跡的軌跡跟蹤圖如圖1所示，機(jī)械臂角末端位置對(duì)期望角度的軌跡跟蹤誤差圖如圖2所示，圖3為控制力矩變化趨勢(shì)圖。

圖1 角度跟蹤曲線(xiàn)

通過(guò)圖1可以看出，在存在內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾的條件下，基于本文所設(shè)計(jì)的FTSMATC，機(jī)械臂末端位置在很短時(shí)間內(nèi)收斂到期望角度，說(shuō)明本文控制算法具有較快的收斂速度、較高動(dòng)態(tài)特性和較強(qiáng)的魯棒性。

圖2顯示機(jī)械臂末端位置的角度跟蹤誤差變化趨勢(shì)圖，雖然最終角度跟蹤誤差沒(méi)有收斂到0，但軌跡跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)值小于0.1，在可接受范圍內(nèi)，所以本文所設(shè)計(jì)控制算法是有效的，滿(mǎn)足實(shí)際工程需求。

圖3顯示了控制力矩的變化趨勢(shì)，最大控制力矩在150 N·m以?xún)?nèi)，整個(gè)控制過(guò)程中存在一定的振蕩，但振蕩頻率不高，后期可以通過(guò)飽和函數(shù)的形式來(lái)降低振蕩。

圖2 角度跟蹤誤差圖 圖3 控制力矩

通過(guò)以上的分析可知，本文所設(shè)計(jì)的FTSMATC能保證機(jī)械臂末端位置在固定時(shí)間內(nèi)收斂到期望軌跡，不僅收斂時(shí)間可預(yù)估，且軌跡收斂時(shí)間較短。機(jī)械臂的角度跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)值小于0.1，滿(mǎn)足工程應(yīng)用中的軌跡跟蹤精度。表明該控制算法具有良好的控制性能，滿(mǎn)足工程應(yīng)用中對(duì)角度跟蹤精度要求。

4 結(jié)論

本文對(duì)存在參數(shù)攝動(dòng)、外部干擾的n自由度機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，給出了一種固定時(shí)間收斂的非奇異滑模自適應(yīng)跟蹤控制算法，最終得到結(jié)論如下：

(1)基于反正切函數(shù)，構(gòu)建了一種固定時(shí)間收斂的非奇異滑模面，并理論證明了位于滑模面內(nèi)的軌跡跟蹤誤差可在固定時(shí)間內(nèi)收斂到0，豐富了固定時(shí)間收斂滑模面設(shè)計(jì)的理論知識(shí)。

(2)為簡(jiǎn)化控制算法的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律估計(jì)系統(tǒng)未知項(xiàng)和其他復(fù)雜部分；基于所設(shè)計(jì)的固定時(shí)間收斂非奇異滑模面，為機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂的滑模自適應(yīng)控制器控制器，理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂性。

(3)仿真結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的控制算法具有收斂速度快、跟蹤精度高、對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾具有強(qiáng)魯棒性的優(yōu)勢(shì)。