王子怡, 蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 預(yù)備知識

考慮以下帶有質(zhì)量源的廣義Cahn-Hilliard方程的漸近性問題

(1)

其中,Ω?Rn(n=1,2,3)是邊界光滑的有界正則區(qū)域,Γ是Ω的邊界,f(u)是一對數(shù)型函數(shù)F的導(dǎo)數(shù),g(u)稱為質(zhì)量源項.

Cahn-Hilliard方程是一類重要的四階非線性擴(kuò)散方程,最初是由Cahn等[1]在研究熱力學(xué)中2種物質(zhì)(如合金、聚合物等)之間相互擴(kuò)散現(xiàn)象時提出來的,后來在描述生物種群競爭與排斥現(xiàn)象[2]、河床遷移過程[3]、固體表面上微滴的擴(kuò)散[4]等許多現(xiàn)象的研究中也提出了同樣的數(shù)學(xué)模型.

近年來,對Cahn-Hilliard方程的研究已經(jīng)非常豐富,主要是研究Cahn-Hilliard型方程解的存在唯一性、解的爆破以及全局吸引子存在性[5-8].后來,在一些重要的應(yīng)用領(lǐng)域提出了帶質(zhì)量源項的Cahn-Hilliard方程(又稱帶質(zhì)量源的廣義Cahn-Hilliard方程),質(zhì)量源項g(u)具體不同的形式代表不同的數(shù)學(xué)模型.例如,在描述二元合金誘導(dǎo)反應(yīng)生成超導(dǎo)體的模型中,提出了Cahn-Hilliard-Oono方程(簡稱CHO方程),其中g(shù)(u)=αu,α>0.當(dāng)質(zhì)量源項是二次函數(shù)(g(u)=αu(u-1),α>0)時,該方程能被用來描述傷口愈合和腫瘤增長的模型[9].因此,研究帶質(zhì)量源的Cahn-Hilliard方程模型有著非常重要的現(xiàn)實意義,并且目前已有一些重要的結(jié)果：文獻(xiàn)[10]研究了具有增值項且在Dirichlet邊界條件下的Cahn-Hilliard方程的漸近行為,證明了方程解有耗散半群并且存在指數(shù)吸引子;文獻(xiàn)[11]研究了Cahn-Hilliard-Oono方程在有限維吸引子方面的漸近行為.

本文研究方程(1)指數(shù)吸引子的存在性,在對方程的解做出一系列的先驗估計以及能量估計的基礎(chǔ)上,得到解的存在唯一性,從而得到解的耗散半群.最后,利用指數(shù)吸引子的存在性定理[12-13]證明解半群具有指數(shù)吸引子.

2 記號和假設(shè)

本文將在更加一般的條件下研究帶質(zhì)量源的Cahn-Hilliard方程,其中質(zhì)量源項g滿足

非線性項f滿足

因為b2q-1和c2p-1都是嚴(yán)格正的常數(shù),所以存在常數(shù)c0～c5滿足

f′(s)≥-c0,c0≥0,?s∈R,

(2)

g′(s)≥-c1,c1≥0,?s∈R,

(3)

c2G(s)-c3≤g(s)s≤c4G(s)-c5,

c2,c3,c4,c5≥0, ?s∈R,

(4)

|g(s)|≤εG(s)+cε, ?ε≥0,?s∈R, (5)

令

H=L2(Ω),V=H1(Ω),

定義〈φ〉是空間平均,即

對(1)式在Ω上積分,得到

(6)

令v=u-〈u〉,將(1)式改寫為

(7)

則

(8)

3 先驗估計

記

λ1=

從而

得到以下先驗估計.

定理 3.1假設(shè)u0∈H2(Ω),如果u(t,x)是初邊值問題(1)的解,則當(dāng)λ1>c2時,有u(t)∈H2(Ω)并且存在T0>0(充分大)使得當(dāng)t≥T0+1時,ut∈H1(Ω).

證明將(6)式乘〈u〉得

(9)

根據(jù)H?lder不等式得

c‖u‖‖g(u)‖.

因為

所以

‖g‖‖u‖≤c(‖u‖2qL2q(Ω)+1)‖u‖≤

c(‖u‖4qL2q(Ω)+1),

即

(10)

將(1)式與u做內(nèi)積得

(11)

根據(jù)假設(shè)條件有

得到

(12)

根據(jù)等價范數(shù)以及插值不等式

可得

所以

即

(13)

根據(jù)Gronwall引理得

‖u(t)‖2≤Q(‖u0‖)e-ct+c′, ?t≥0.(14)

將(1)式與A2u做內(nèi)積得

||≤‖g(u)‖‖A2u‖≤

Q(‖u‖

同樣地,H1(Ω)?L4(Ω)是連續(xù)嵌入,所以

Q(‖u‖

因此

即

(15)

(16)

令

則(16)式可以改寫成

y′≤Q(y).

假設(shè)z是如下常微分方程的解

z′=Q(z),z(0)=y(0),

y(t)≤z(t), ?t∈[0,T0],

所以

‖u(t)‖H2(Ω)≤Q(‖u0‖H2(Ω)),t≤T0.(17)

(18)

同樣地

根據(jù)上面的估計以及(18)式,可以得到

Q(‖u0‖H2(Ω)), ?t≤T0.

(19)

將(19)式在(0,T0)上積分,得

(20)

將原方程對t求導(dǎo)得

(21)

(22)

根據(jù)假設(shè)條件有

||≤‖g′(u)‖‖v‖‖v‖L∞(Ω)≤

Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω).

同樣地

||≤‖Af′(u)v‖‖v‖≤

Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖v‖H2(Ω),

所以

tQ(‖u0‖H2(Ω))‖v‖2+‖v‖2.

(23)

根據(jù)(17)、(20)、(23)式以及Gronwall引理可得

對(13)式在(0,t)上積分,可得

(25)

將(21)式乘v并重復(fù)上面的方法,可得

Q(‖u‖H2(Ω))‖v‖2.

(26)

根據(jù)(24)～(26)式以及Gronwall引理得

‖v‖2≤ectQ(‖u0‖H2(Ω)),

c>0,t≥T0.

(27)

當(dāng)t≥T0,可以將(1)式改寫為

A2u+Af(u)+g(u)=-v,

(28)

將(28)式與u做內(nèi)積,有

根據(jù)(27)式可得

‖Au‖2-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+

(29)

運用不等式

可得

(‖Au‖2+〈u〉2)-c6≤ectQ(‖u0‖H2(Ω))+

c′‖u‖2+>0,

所以

(1--c′)

即

c>0,t≥T0.

(30)

由(17)和(30)式可得

c>0,t≥0.

(31)

對(13)式在(0,1)上積分

存在T∈(0,1)滿足

事實上,重復(fù)上面的估計可以得到:當(dāng)

對(13)式在(t,t+1)上積分,并且根據(jù)(14)式,當(dāng)c>0,t≥0時可得

因此,對于每一個t≥1,存在t1∈[t-1,1]滿足

(32)

所以,當(dāng)t=t1+t2,并且t2∈[0,1],根據(jù)(31)和(32)式可得

ce

ce

即

‖u(t)‖H2(Ω)≤e-ctQ(‖u0‖H2(Ω))+c′,

c>0,t≥0.

(33)

根據(jù)(26)和(33)式,再運用Gronwall引理,可得

c>0,t≥T0.

(34)

將(1)式改寫成下面的形式

(35)

其中

當(dāng)t≥T0時,有

將(35)式與A2u做內(nèi)積得

(37)

根據(jù)(10)、(36)和(37)式可得

‖u‖H4(Ω)≤ectQ(‖u0‖H(Ω)),t≥T0.(38)

當(dāng)t≥T0時,將(21)式乘Av,有

事實上

||≤Q(‖u0‖H2(Ω))‖v‖‖Av‖,

Q(‖u0‖

綜上

Q(‖u0‖(39)

當(dāng)t≥T0時,將(26)式在(t-1,t)上積分可得

(40)

根據(jù)(39)和(40)式運用Gronwall引理可得

4 耗散半群

定理 4.1假設(shè)u0∈H2(Ω),此時(1)式有唯一解u滿足

u(t)∈H2(Ω), ?t≥0.

證明根據(jù)Galerkin方法,利用第3節(jié)所得到的類似先驗估計可以證明方程(1)解的存在性.下面將證明解的唯一性.假設(shè)u1和u2是方程(1)分別關(guān)于初值u0,1和u0,2的2個解,并且假設(shè)u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,此時有

將(40)式在Ω上積分,可得

(43)

所以

g(u2)-〈g(u1)-g(u2)〉=0.

因此

〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉)=0.

(44)

將(44)式與v做內(nèi)積可得

(45)

事實上

||=

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖A-1v‖L∞(Ω)‖u‖≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2),

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖‖〈u〉‖≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).

根據(jù)(2)式,有

≥-c0‖u‖2≥

-c0(‖v‖2+〈u〉2).

綜上

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).(46)

將(44)式與〈u〉做內(nèi)積可得

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))‖u‖|〈u〉|≤

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖H2(Ω))(‖v‖2+〈u〉2).

再運用插值不等式

可得

Q(‖u0,1‖H2(Ω),‖u0,2‖(47)

最后,對(47)式運用Gronwall引理可得

‖u1(t)-u2(t)‖H-1(Ω)≤

‖u0,1-u0,2‖H-1(Ω),c>0,t≥0.

(48)

由此可得,在H-1空間里,解是唯一的并連續(xù)依賴于初值.

根據(jù)定理4.1,可以得到連續(xù)半群

滿足

S(0)=I;

S(t+s)=S(t)°S(s),t,s≥0.

同時,根據(jù)(33)式可以推測出半群S(t)在H2(Ω)中是耗散的,即存在一個有界集(也稱其為吸收集)B1?H2(Ω),滿足對于每個有界集B?H2(Ω),存在t0=t0(B)≥0滿足當(dāng)t≥t0時,S(t)B?B1.

5 指數(shù)吸引子的存在性

定理 5.1若S(t)是H2(Ω)中的耗散半群,則S(t)具有指數(shù)吸引子M?B1,其中有界吸收集B1的定義與前面的定義一樣.

證明假設(shè)(1)式關(guān)于初值u0,1、u0,2的2個解分別是u1和u2.再次假設(shè)

u=u1-u2,u0=u0,1-u0,2,

此時有

t=

(50)

事實上

這里的常數(shù)c只依賴于B1.

‖u‖

‖u2‖

c‖u‖

這里的常數(shù)c只依賴于B1.因此

(51)

由此可得

以及

(52)

將(47)式在(0,t)上積分,再根據(jù)(48)式可得

這里的常數(shù)c和c′只依賴于B1.因此

根據(jù)(52)和(54)式,再運用Gronwall引理可得

(55)

(56)

這里的常數(shù)c只依賴于B1.因此,將(56)式在(0,1)上積分,根據(jù)(53)和(54)式可得

ce

(57)

這里的常數(shù)c和c′只依賴于B1.

將(49)式在(0,t)上積分,可以得到

(58)

這里的常數(shù)c只依賴于B1.

將(49)式與A-1做內(nèi)積,再對時間求導(dǎo),可得

(59)

其中

將(59)式與(t-1)θ做內(nèi)積可得

(60)

事實上

(‖η‖

c(‖ζ‖

根據(jù)(27)和(41)式可得

‖ζ′(t)u‖=

‖u‖H1(Ω).

綜上

(61)

根據(jù)(54)～(55)和(57)～(58)式,以及Gronwall引理可得

?t>1.

(62)

將(49)式乘A-1可得

〈f(u1)-f(u2)〉+A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉)=0.

(63)

可以將(63)式改寫為

(64)

其中

〈f(u1)-f(u2)〉-A-1(g(u1)-g(u2)-

〈g(u1)-g(u2)〉).

(65)

事實上

|〈f(u1)-f(u2)〉|+‖g(u1)-g(u2)‖+

|〈g(u1)-g(u2)〉|)≤

(66)

這里的常數(shù)c只依賴于B1.

根據(jù)(55)、(62)、(66)式以及一致橢圓正則性可得

‖u(t1)-u(t2)‖H2(Ω)≤

c,c′≥0,t>1,

(67)

這里的常數(shù)c只依賴于B1.

接下來,研究H?lder估計.事實上,根據(jù)(48)式可以證明關(guān)于時間是H?lder連續(xù)的,可以得到

‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)=

(68)

這里的u是(1)式的解.

根據(jù)(19)和(34)式容易得到

(69)

所以

‖u(t1)-u(t2)‖H-1(Ω)≤

(70)

這里的常數(shù)c只依賴于B1,并且t1,t2∈[0,T].

由文獻(xiàn)[12-13]得半群S(t)具有指數(shù)吸引子M?B1且滿足:

1) M在H-1(Ω)中是緊的;

2) M是正不變的,即

S(t)M?M, ?t≥0;

3) M在H-1(Ω)中具有有限的分形維數(shù);

4) M以指數(shù)的方式快速吸引H2(Ω)中的有界子集.

最后,根據(jù)(48)、(67)和(70)式證得耗散半群S(t)具有指數(shù)吸引子.