王 瑄 肖世國(guó)

(1.西南交通大學(xué)， 成都 610031；2.西南交通大學(xué)高速鐵路線(xiàn)路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610031)

抗滑樁或加固樁是邊坡或滑坡治理中一種常用的有效措施。對(duì)于樁體加固坡體，在其抗震設(shè)計(jì)中，合理確定地震作用下樁體內(nèi)力和臨界滑動(dòng)面，是關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。

以往有一些方法用于分析加樁邊坡的靜力和地震穩(wěn)定性。其中，數(shù)值模擬方法可全面考慮坡體與樁體性質(zhì)，但由于建模操作的復(fù)雜性及不確定性，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中有時(shí)存在計(jì)算效率低、不便操作等問(wèn)題[1-5]。擬靜力法是實(shí)際邊坡工程設(shè)計(jì)中處理地震力最為常用的方法[6]，極限平衡方法是樁體加固邊坡穩(wěn)定性分析的一種較簡(jiǎn)單方法[7-9]，二者結(jié)合可分析樁體加固邊坡的地震穩(wěn)定性。針對(duì)普通極限平衡法理論上的不嚴(yán)密性[10]，塑性極限分析法[11]可視為分析樁體加固邊坡穩(wěn)定性問(wèn)題的一種相對(duì)更加嚴(yán)密的理論方法。Ausilio等[12]采用極限分析上限法，分析了樁體加固均質(zhì)土坡的穩(wěn)定性；Nian等[13]考慮土體的非均質(zhì)性與各向異性，采用極限分析上限法對(duì)樁體加固土坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；Li和Pei[14]則采用極限分析上限法討論了加固樁合理設(shè)樁位置；Xiao等[15]基于兩個(gè)對(duì)數(shù)螺旋滑面分別位于樁排的上、下坡土體中，求出設(shè)計(jì)安全系數(shù)下樁的最大側(cè)向凈推力和相應(yīng)的臨界滑動(dòng)面；蔣贛猷[16]建立了樁體加固二級(jí)土坡地震穩(wěn)定性的擬靜力法極限分析模型；Gong等[17]采用極限分析上限法對(duì)樁體加固的各向異性非均質(zhì)邊坡進(jìn)行了地震穩(wěn)定性分析。

在以往采用極限分析方法進(jìn)行樁體加固土坡穩(wěn)定性研究中，對(duì)樁的作用一般僅考慮其在滑面處剪力和彎矩所做的功率，而忽略了樁體軸力的作用，即假定樁體軸力方向通過(guò)滑體轉(zhuǎn)動(dòng)中心。然而，當(dāng)樁軸力相對(duì)較大(如地震工況)且方向遠(yuǎn)離旋轉(zhuǎn)中心時(shí)[14,18-20]，樁軸力的功率是不可忽視的，其對(duì)樁阻力、樁長(zhǎng)和滑面位置的確定都有不同程度的影響。Li和Xiao[21]針對(duì)樁體加固的均質(zhì)二級(jí)土坡地震穩(wěn)定性，基于擬靜力法，采用上限定理且考慮樁體軸力作用，得到了更保守的樁身剪力上限解。此外，以往關(guān)于樁體加固土坡的極限分析研究多針對(duì)均質(zhì)土坡進(jìn)行，較少涉及多層土質(zhì)邊坡。

鑒于此，本文針對(duì)樁體加固多層土質(zhì)邊坡的地震穩(wěn)定性問(wèn)題，考慮樁體軸力的影響，采用擬靜力法，基于塑性極限分析上限定理，建立加固樁所提供的抗力與坡體設(shè)計(jì)安全系數(shù)、地震影響系數(shù)等因素間的定量關(guān)系，進(jìn)而討論不同地震條件下諸重要因素對(duì)樁體剪力和臨界滑動(dòng)面的影響特征。

1 分析模型與公式推導(dǎo)

1.1 分析模型

對(duì)于層狀土坡的臨界滑動(dòng)破壞機(jī)構(gòu)，可考慮為對(duì)數(shù)螺旋破壞模式[22-24](圓弧滑面為其特例)，為不失一般性，本文采取過(guò)坡腳外任一點(diǎn)的對(duì)數(shù)螺線(xiàn)式滑裂面，且假定樁體足夠長(zhǎng)，滑面從樁體中間穿過(guò)，如圖1所示。

圖1 樁體加固的層狀土坡分析模型圖

以樁體加固的3層土坡為典型示例具體闡述。在圖1中，對(duì)數(shù)螺線(xiàn)式潛在滑動(dòng)面BDFIH的旋轉(zhuǎn)中心為O，點(diǎn)D、F、I分別為潛在滑動(dòng)面與土層分界線(xiàn)和加固樁的交點(diǎn)，ω為滑體繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角速度?；鍮DFIH的幾何方程可寫(xiě)為：

r(θ)=ris×e(θ-θis)tanφi

(1)

式中：r——滑面上任一點(diǎn)的矢徑(m)；

θ——滑面上任一點(diǎn)的矢徑與水平向夾角/(°)；

i——土層編號(hào)，由坡頂向下依次為1、2、3；

ris——各土層滑面起點(diǎn)B、D、F的矢徑(m)；

θis——各土層滑面起點(diǎn)B、D、F的矢徑的水平傾角/(°)；

φi——相應(yīng)各土層的內(nèi)摩擦角/(°)。

根據(jù)圖1中所示的幾何關(guān)系，有：

(2)

(3)

(4)

[sin(θ3e+α1)×e(θ1e-θ1s)tanφ1×e(θ2e-θ2s-tanφ2×

e(θ3e-θ3s)tanφ3-sin(θ1s+α1)]}

(5)

r2s=r1se(θ1e-θ1s)tanφ1

(6)

r3s=r1s×e(θ1e-θ1s)tanφ1×e(θ2e-θ2s)tanφ2

(7)

(8)

(9)

h0=rpsinθp+ltanβ-H-r1ssinθ1s-L1sinα1

(10)

式中：X——滑面與邊坡底面交點(diǎn)到坡腳(圖1中G點(diǎn))的距離(m)；

H——坡高(m)；

β——坡角(°)；

β′——圖1中輔助線(xiàn)AH的傾角(°)；

β′1——圖1中輔助線(xiàn)CH的傾角(°)；

β′2——圖1中輔助線(xiàn)EH的傾角(°)；

η——邊坡底面傾角(°)；

Hi——各土層的層高(m)；

rie——各土層滑面終點(diǎn)D、F、H的矢徑(m)，其中r1e=r2s、r2e=r3s；

θie——各土層滑面終點(diǎn)D、F、H的矢徑的水平傾角(°)，其中θ1e=θ2s、θ2e=θ3s；

α1——坡頂面傾角(°)；

α2、α3——層面傾角(°)；

L1——滑面與坡頂面的交點(diǎn)(圖1中B點(diǎn))到坡頂?shù)木嚯x/m(圖1中A點(diǎn))；

L2、L3——滑面與層面的交點(diǎn)(圖1中D、F點(diǎn))到坡面與層面的交點(diǎn)(圖1中C、E點(diǎn))的距離(m)；

h0——樁體受荷段長(zhǎng)度(m)；

rp——樁與滑面的交點(diǎn)的矢徑(m)；

θp——樁與滑面的交點(diǎn)的矢徑的水平傾角(°)；

l——從設(shè)樁位置到坡腳的水平距離(m)。

1.2 公式推導(dǎo)

1.2.1 滑體重力功率Wg

對(duì)于圖1所示模型，采用疊加方法，可得滑體重力所做的功率Wg為：

Wg=ω[γ1(f1-f2-f3+f4)+γ2(f5-f4-f6+f7)+γ3(f8-f7-f9-f10)]

(11)

式中：γ——土體重度/(kN·m-3)；

f1～f10——與θ1s、θ2s、θ3s、θ3e、β＇相關(guān)的單位厚度滑體的功率計(jì)算系數(shù)(分區(qū)依次為對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)區(qū)域OBD、三角形區(qū)域OAB、OAC及OCD、對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)區(qū)域ODF、三角形區(qū)域OCE與OEF、對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)區(qū)域OFH、三角形區(qū)域OEH與EHG)。

f1～f10表達(dá)式分別為：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：OA、OC、AC、OE、CE——圖1中線(xiàn)段長(zhǎng)度(m)；

P1——三角形區(qū)域OAC的半周長(zhǎng)(m)；

P2——三角形區(qū)域OCE的半周長(zhǎng)(m)。

1.2.2 水平地震力功率Wkh

按照擬靜力法，將水平地震力簡(jiǎn)化為水平地震影響系數(shù)與滑體重力之積。于是，水平地震力所做功率Wkh可表示為：

Wkh=ωkh[γ1(f11-f12-f13+f14)+γ2(f15-f14-f16+f17)+γ3(f18-f17-f19-f20)]

(29)

式中：kh——水平地震影響系數(shù)；

f11～f20——與θ1s、θ2s、θ3s、θ3e、β′相關(guān)的單位厚度滑體的功率計(jì)算系數(shù)(與重力功率計(jì)算時(shí)的分區(qū)相同)。

f11～f20表達(dá)式依次為：

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

1.2.3 豎向地震力功率Wkv

由于豎向地震力與重力同向，采用擬靜力法，由式(11)可得豎向地震力功率Wkv為:

Wkv=ωkv[γ1(f1-f2-f3+f4)+γ2(f5-f4-f6+f7)+γ3(f8-f7-f9-f10)]

(40)

式中：kv——豎向地震影響系數(shù)。

1.2.4 內(nèi)部能量損耗率Dc

滑動(dòng)機(jī)構(gòu)內(nèi)能耗散率Dc發(fā)生在速度間斷面BDFIH上，分為3段(相應(yīng)于3個(gè)土層)，每段均可采用積分方法確定，其表達(dá)式為:

(41)

(42)

式中：ci——各層土體的黏聚力(kPa)；

fc——關(guān)于θ1s、θ2s、θ3s、θ3e的函數(shù)。

fc可表示為：

(43)

1.2.5 加固樁作用功率Ep

在滑面處樁身存在彎矩、剪力和軸力，其彎矩與軸力均可近似以剪力表達(dá)[20]，即:

M=mh0Q

(44)

(45)

于是，加固樁內(nèi)力所做功率為：

EP=ω(QrPsinθP+NrPcosθP-M)

(46)

式中：m——加固樁受荷段凈坡體推力(后側(cè)推力-前側(cè)抗力)的合力作用點(diǎn)到滑面距離與受荷段長(zhǎng)度比值，若將凈坡體推力視作三角形或矩形分布，則m為1/3或1/2；

M——單位厚度下滑面處樁體彎矩(kN)；

Q——單位厚度下滑面處樁體剪力(kN/m)；

N——單位厚度下滑面處樁體軸力(kN/m)；

γp——樁體重度(kN/m3)；

Ap——樁的橫截面面積(m2)；

S——樁間距(m)；

μ——樁側(cè)表面與土體的摩擦系數(shù)。

1.3 樁體剪力求解

根據(jù)極限分析上限定理[11]，外力功率與內(nèi)能損耗率應(yīng)滿(mǎn)足:

Wg+Wkv+Wkh=EP+Dc

(47)

將式(11)、式(29)、式(40)、式(41)、式(46)代入式(47)，經(jīng)整理可得：

(48)

對(duì)于在設(shè)計(jì)安全系數(shù)為Fs的情況下，可通過(guò)強(qiáng)度折減法對(duì)土體剪切強(qiáng)度參數(shù)進(jìn)行折減，以確定加固樁需提供的相應(yīng)剪力。其中，強(qiáng)度折減表達(dá)式為：

(49)

(50)

式中：c′i——折減后各層土體的黏聚力(kPa)；

φ′i——折減后各層土體的內(nèi)摩擦角(°)。

由于在極限狀態(tài)下加固樁需提供的剪力應(yīng)取極大值以滿(mǎn)足穩(wěn)定性要求，所以，樁體剪力Q與獨(dú)立自變量θis、θp、θ3e、β′之間應(yīng)滿(mǎn)足：

(51)

同時(shí)，還需滿(mǎn)足設(shè)樁位置和滑面位置間的約束條件，即：

(52)

由此，根據(jù)式(48)、式(51)和式(52)可計(jì)算搜索確定(數(shù)學(xué)規(guī)劃求解)加固樁的剪力極大值及相應(yīng)的臨界滑面。具體可通過(guò)MATLAB(主要以fmincon函數(shù))或其他軟件編程實(shí)現(xiàn)，不再贅述。

此外，需要說(shuō)明的是，對(duì)于加固坡體如果采用圓弧滑面，同樣可按照本文考慮樁體軸力的模式分析樁體作用，即樁體軸力對(duì)抗滑或下滑力矩的作用，但此時(shí)一般需采取傳統(tǒng)的極限平衡法(圓弧滑動(dòng)條分法)計(jì)算。由于極限分析上限定理得到的是樁體提供剪力的上限值，所以，若采用傳統(tǒng)圓弧滑動(dòng)條分法，其得到的樁體剪力值一般小于本文方法的計(jì)算結(jié)果。即，本文方法計(jì)算結(jié)果比圓弧滑動(dòng)條分法的結(jié)果可能相對(duì)偏保守。

2 實(shí)例分析與驗(yàn)證

2.1 實(shí)例一

樁體加固的均勻土質(zhì)邊坡[18]如圖2所示，樁體重度γp=25 kN/m3，橫截面面積Ap=2.25 m2，樁間距S=3 m。受荷段抗力視作三角形分布，即m=1/3，樁土摩擦系數(shù)μ取0.3，加固邊坡設(shè)計(jì)安全系數(shù)Fs=1.5。

圖2 樁體加固的均質(zhì)土坡實(shí)例圖(m)

在水平地震影響系數(shù)kh分別為0、0.05、0.1的情況下，由式(48)、式(51)和式(52)計(jì)算搜索得到的樁體剪力及坡體臨界滑動(dòng)面分別如表1和圖3所示。在kh=0時(shí)，本文結(jié)果與Nian等結(jié)果(沒(méi)有考慮軸力)較吻合，本法相對(duì)略小，偏差為4%；但隨著kh的增加，兩法計(jì)算的剪力偏差呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，當(dāng)kh=0.1時(shí)，本法結(jié)果相對(duì)增高約20%；但坡體臨界滑動(dòng)面差異并不顯著。由于兩種方法(考慮與不考慮軸力)在坡體滑動(dòng)機(jī)制上沒(méi)有大的差異，偏差原因之一可能在于是否考慮樁體軸力作用。此外，由圖3可知，在“樁體足夠長(zhǎng)，滑面從樁體中間穿過(guò)”的假定前提下，隨著地震影響系數(shù)的增大，臨界滑面深度逐漸增大，滑體范圍逐漸擴(kuò)大，進(jìn)而導(dǎo)致樁體軸力的影響隨之增大(見(jiàn)式(45))，使得兩種算法的剪力值差異隨之亦顯著增大。

表1 實(shí)例一樁體剪力結(jié)果對(duì)比表

圖3 實(shí)例一坡體臨界滑動(dòng)面圖(m)

2.2 實(shí)例二

一樁體加固的3層土坡實(shí)例如圖4所示，坡體的物理力學(xué)參數(shù)如表2所示，樁體主要參數(shù)(同實(shí)例一)如表3所示，加固坡體設(shè)計(jì)安全系數(shù)Fs=1.25。

圖4 樁體加固的3層土坡實(shí)例圖(m)

表2 實(shí)例二坡體主要物理力學(xué)參數(shù)表

表3 樁體參數(shù)表

根據(jù)式(48)、式(51)和式(52)，以kh= 0、kh=0.1和kh=0.2以及kv=0.5kh為例分別計(jì)算搜索得到相應(yīng)的樁體剪力和坡體臨界滑面。同時(shí)，采用FLAC3D給出數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證本文方法的合理性，數(shù)值模型如 圖5 所示，采取擬靜力法模擬地震力，土體采用理想彈塑性本構(gòu)模型、關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，且以樁單元模擬加固樁。理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果如表4和圖6所示。

圖5 實(shí)例二數(shù)值模型圖(m)

表4 實(shí)例二樁體剪力計(jì)算結(jié)果表

圖6 實(shí)例二坡體臨界滑動(dòng)面圖(m)

由表4可知，在靜力和地震條件下，本文方法與FLAC3D模擬得到的樁體剪力的相對(duì)偏差不超過(guò)7.1%，二者吻合良好。由圖6可知，本文理論方法搜索計(jì)算與數(shù)值模擬的坡體臨界滑動(dòng)面位置也基本一致。綜上，本文提出的方法具有一定的合理性。

3 影響因素分析

由前述本文方法可知，坡體材料特性、水平與豎向地震影響系數(shù)、設(shè)樁位置、樁體截面尺寸以及層狀坡體的各土層厚度、各土層界面傾角、樁間距等因素都對(duì)樁身剪力和坡體臨界滑動(dòng)面有影響?；诒疚姆椒?，以上述實(shí)例二相關(guān)參數(shù)為基本參數(shù)量，采用控制變量方式，分別討論這些因素的影響特征。

鑒于以往研究中關(guān)于坡體材料特性方面的討論較多，限于篇幅，這里不再予以討論(作者經(jīng)大量試算發(fā)現(xiàn)其影響特征與以往結(jié)果具有一定的相似性)，而重點(diǎn)闡述其它因素。其中，為方便比較各土層厚度的影響，這里以相關(guān)的4種模型為例進(jìn)行分析，即：(1)模型一：H1∶H2H3=111；(2)模型二：H1H2H3=121；(3)模型三：H1H2H3=112；(4)模型四：H1H2H3=211。

3.1 水平地震影響系數(shù)

kv=0.5kh條件下4種模型的樁體剪力隨kh變化曲線(xiàn)如圖7所示。4種情況下，隨著kh的增大，樁體所需提供的剪力均呈非線(xiàn)性增大趨勢(shì)。

圖7 樁體剪力隨水平地震影響系數(shù)變化曲線(xiàn)圖

3.2 豎向地震影響系數(shù)

當(dāng)kh=0.2時(shí)隨樁體剪力kv變化曲線(xiàn)如圖8所示。在4種情況下，樁體剪力隨kv并非單調(diào)變化。當(dāng)kv≤0.05時(shí)，隨著kv的增大，剪力值呈明顯非線(xiàn)性減??；當(dāng)kv>0.05時(shí)，隨著kv的增大，剪力值則呈緩慢增大變化。

圖8 樁體剪力隨豎向地震影響系數(shù)變化曲線(xiàn)圖

3.3 設(shè)樁位置

考慮樁體軸力作用時(shí)，設(shè)樁位置與滑體旋轉(zhuǎn)中心的相對(duì)關(guān)系顯得尤為重要。下面以xp/Ls描述設(shè)樁位置，其中xp為樁中心距離坡腳的水平距離，Ls為坡面在水平方向的投影長(zhǎng)度。樁體建立隨設(shè)樁位置變化曲線(xiàn)如圖9所示，在4種情況下，隨著設(shè)樁位置由坡腳向坡頂移動(dòng)，樁體剪力均呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，在xp/Ls=0.25時(shí)達(dá)到最大值。實(shí)際設(shè)樁時(shí)宜避開(kāi)這一位置，以適當(dāng)減小樁體受力。

圖9 樁體剪力隨設(shè)樁位置變化曲線(xiàn)圖

3.4 加固樁直徑

樁體剪力隨樁身直徑的變化曲線(xiàn)如圖10所示。在 4種情況下，隨著樁徑的增大，樁體剪力均略呈非線(xiàn)性增大。

圖10 樁體剪力隨樁徑變化曲線(xiàn)圖

3.5 坡面及層面傾角

為便于比較，假定坡面傾角與各土層界面傾角一致且均為α。樁體剪力隨層面傾角變化曲線(xiàn)如圖11所示，在4種情況下，隨著α的增加，樁體剪力均呈顯著的非線(xiàn)性增大模式，而各模型之間的結(jié)果差異則逐漸縮小。

圖11 樁體剪力隨層面傾角變化曲線(xiàn)圖

3.6 土層厚度

由前述的4種層厚模型相關(guān)影響因素分析結(jié)果可見(jiàn)，在不同因素影響下，4種模型的樁體剪力大小關(guān)系始終相對(duì)不變，即：模型四剪力最大，模型三剪力最小，模型一和模型二介于其間，且模型二剪力略大于模型一。也就是說(shuō)，對(duì)于3層土坡，樁體剪力受較軟弱土層的層厚影響較為顯著，該層相對(duì)層厚越大，樁體剪力就越大。但是，隨著設(shè)樁位置不斷靠近坡頂或者層面傾角逐漸增大，其影響逐漸減小。

4 結(jié)論

針對(duì)樁體加固的多層土質(zhì)邊坡的地震穩(wěn)定性，基于對(duì)數(shù)螺旋面滑動(dòng)模式，采用極限分析上限法和擬靜力法，推導(dǎo)了考慮樁體軸力作用的樁體剪力表達(dá)式，得到主要結(jié)論如下：

(1)層狀土坡加固樁軸線(xiàn)未必通過(guò)坡體臨界滑面的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，樁體軸力對(duì)坡體穩(wěn)定性存在影響。樁體軸力的功率可呈現(xiàn)于極限分析上限法確定在給定設(shè)計(jì)安全系數(shù)下樁體所需提供剪力的表達(dá)式中，通過(guò)極值原理可確定樁體提供的剪切阻力以及相應(yīng)的坡體臨界滑面。

(2)在地震力作用下，隨著地震影響系數(shù)的增大，臨界滑面深度逐漸增大，層狀土坡滑體范圍逐漸擴(kuò)大，進(jìn)而導(dǎo)致樁體軸力的影響隨之增大，考慮樁體軸力所得到的樁體剪力值比忽略樁體軸力作用時(shí)結(jié)果偏大，且二者差異隨地震影響系數(shù)增大而增大?？紤]軸力的方法偏于安全保守一面。

(3)本文方法可定量反映坡體材料特性、地震影響系數(shù)、設(shè)樁位置、樁徑、層面傾角、各土層厚度、樁間距等因素對(duì)樁體剪力的影響。其中，水平地震影響系數(shù)、層面傾角及設(shè)樁位置影響較大，樁體剪力與前兩者呈成顯著正相關(guān)性；隨著設(shè)樁位置由坡腳向坡頂移動(dòng)，樁體剪力呈現(xiàn)先增后減的趨勢(shì)，其間存在最大值，實(shí)際設(shè)樁時(shí)宜避開(kāi)這一位置；隨豎向地震影響系數(shù)增大，樁體剪力呈先減小后增大的變化特征，但整體上其對(duì)樁體剪力影響較小。

(4)對(duì)于多層土質(zhì)邊坡，樁體剪力受較軟弱層的土層相對(duì)厚度影響顯著，其值隨較軟弱土層相對(duì)層厚增大而增加，但當(dāng)設(shè)樁位置靠近坡頂或者層面傾角較大時(shí)，較軟弱土層相對(duì)層厚對(duì)樁體剪力影響減弱。